第一章能带理论-2

2
ikx
* A , 其波矢 k
2

电子在空间是等几率分布的，即自由电子在 空间作自由运动。
2. 晶体中的电子
一维理想晶格 的势场和电子能量E（ｋ）
孤立原子的势场是：
N个原子有规则的沿 x轴方向排列： v
a
晶体的势能曲线
x
电子的运动方程（薛定谔方程）为
2 d 2 V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
电子共有化运动示意图
3s
○
3s
○
3s
○
3s
○
○
2p
2p
2p
2p
○
○ ○
○ ●○ ○
○
○
○
(2)能级分裂 设有A、B两个原子
孤立时, 波函数（描述 微观粒子的状态）为 A和B,不重叠.
孤立原子的能级
简并度=状态/能级数=2/1=2 (不计原子本身的简并)
A . B 两原子相互靠近, 电子波函数应是A和B 的线形叠加:
2.绝缘体和半导体的能带
6#C电子组态是:1s22s22p2
sp3反键态 sp3成键态
1s
2p 2s 1s
（1）满带中的电子不导 电 I（k）=-I（-k） 即是说，+k态和-k态的 电子电流互相抵消。 （2）对部分填充的能带， 将产生宏观电流。
半导体能带图可简化成:
电 子 能 量
Ec Eg Ev 禁带宽度
Eg EC EV
绝缘体、半导体和导体的能带示意图 导带
半满带
导带 禁带
禁带 价带
绝缘体 Eg: 6-7 eV
价带
半导体 1-3eV
满带
导体
常温下Eg：Si（1.12 eV）、Ge（0.67 eV）、 GaAs（1.43 eV）
本征激发 当温度一定时，价带电子受到激发而成为导 带电子的过程 。
4. 三维布里渊区与能带
E（k）- k的对应意义：
（1）一个 k 值与一个能级（能量状态）相对应； （2）每个布里渊区有N（N：晶体的固体 物理 学原胞数）个 k 状态，故每个能带 中有N 个能级； （3）每个能级最多可容纳自旋相反的两个电子， 故每个能带中最多可容纳 2N 个电子。
注意:
能带的宽窄由晶体的性质决定,
2
2
微观粒子具有波粒二象性
由粒子性
p m0V 1 1 p 2 E m0V 2 2 m0
2
由德布罗意关系
E h p hk
hk V , m0
hk E 2m0
2
2
波矢k描述自由电子的运动状态。
1.自由电子
h d ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
( x) Ae
激 发 前： 激 发 后：
导带电子
价带电子
空的量子态（ 空穴）
空穴
将价带电子的导电作用等效为带正电荷的准 粒子的导电作用。
空穴的主要特征：
A、荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； C、vp=vn D、EP=-En E、mP*=-mn*
因此，在半导体中存在两种载流子： （1）电子； （2）空穴； 而在本征半导体中，n=p。
V ( x) V ( x na)
布洛赫定理: ( x) e
其中：
ikx
uk ( x)
uk ( x) uk ( x na)
布洛赫函数 uk(x), 是一个具有晶格
周期的周期函数, n 为任意整数, a 为晶 格周期.
k k u ( x)u ( x)
k k


分布几率是晶格的周期函数，但对每个原胞 的相应位置，电子的分布几率一样的。 波矢k描述晶体中电子的共有化运动状态。
E（k）
自 由 电 子
-1/2a 0 1/2a
}允带
}允带
k
} 允带
称第一布里渊区为简约布里渊区
禁带出现在布里渊区边界（k = n/2a）上。 每一布里渊区对应于每一能带。
布里渊区的特征：
n E(k) 是 k 的周期性函数 E (k ) E (k ) a
（1）每隔 1/a 的 k 表示的是同一 个电子态； （2）对有限晶体，波矢 k 只能取一系列分立的 值，每个 k 占有的线度为1/L；


Ge: a=5.43089埃 Si: a=5.65754埃
金刚石型结构的晶胞
金刚石型结构{100}面上的投影：
金刚石结构的半导体： 金刚石、硅、锗
0
3 4
1 2
1 2
0
1 4
0
1 4
3 4
1 2
1 2
0
0
2、闪锌矿结构和混合键
极性半导体
材料: Ⅲ-Ⅴ族和Ⅱ-Ⅵ族二元化合物半导体
例: ZnS、ZnSe、GaAs、GaP
与晶体中含的原子数目无关,
但每个能带中所含的能级数目与
晶体中的原子数有关。
电子填充允许带时,可能出现: 电子刚好填满最后一个带 →绝缘体和半导体
最后一个带仅仅是部分被电子占有
→导体
三、 导体、绝缘体和半导体的能带
1.导体的能带
3s
2p 2s 1s
11#Na,它的电子组态是:1s22s22p63s1
m*为导带底或价带顶电子的有效质量
导带底
价带顶 电子的m*>0; 电子的m*<0;
得到能带极值附近电子的速度为
1 dE hk V * h dk m
(1)在整个布里渊区内，V~K不是线性关系.
(2)正负 K 态电子的运动速度大小相等, 符 号相反.
E (k ) E (k )
1 dE (k ) 1 dE (k ) V (k ) V (k ) h d (k ) h dk
3. 一维近自由电子近似的布里渊区与能带
周期布里渊区
简约布里渊区
能带
n k (n 0, 1, 2, )时， 布里渊区边界， 2a 能量不连续，形成允带和禁带。
允带出现在以下几个区（布里渊区）中：
1 1 k 第一布里渊区 2a 2a 1 1 第二布里渊区 k , a 2a 3 1 k , 第三布里渊区 2a a 1 1 k 2a a 1 3 k a 2a
空穴与导电电子
§1.3 半导体中电子的运动 －－有效质量 一、自由空间的电子
从粒子性出发, 它具有一定的质量 m0和
运动速度 V, 它的能量E和动量P分别为:
1 2 E m0V 2
P m0V
从波动性出发, 电子的运动看成频率为、 波矢为 K 的平面波在波矢方向的传输过程.
E hv
化学键: 共价键+离子键
(共价键占优势）
闪锌矿结构的结晶学原胞
立方对称性
沿着[111]方向看，（111）面以双原子 层的形式按ABCABCA…顺序堆积起来。
3、纤锌矿型结构
材料: Ⅱ-Ⅵ族二元化合物半导体
例: ZnS、ZnSe、CdS、CdSe
化学键: 共价键+离子键 (离子键占优势）
(001)面是两类原子各自 组成的六方排列的双原子 层按ABABA…顺序堆积
第一章 半导体中的电子状态
半导体的晶格结构和结合性质
半导体中电子状态和能带
半导体中电子的运动和有效质量
半导体中载流子的产生及导电机构 半导体的能带结构
§1· 1 半导体的晶体结构和 结合性质
1、金刚石型结构和共价键
化学键: 构成晶体的结合力. 共价键: 由同种晶体组成的元素半导体,其
dE Fds FVdt
dE 1 dE FV F dt h dk
dE dE dk dt dk dt
dk dk F h dt dt d (hk ) d (moV ) F mo a dt dt F a mo
二、半导体中的电子：
1.速度 V 晶体中作共有化运动的电子平均速度:
角量子数 l：0，1，2，…（n－1），决定角
动量，对能量有一定影响（s球形、p哑铃形、 d梅花形……） 磁量子数 ml：0，±1，±2，…±l，决定 L的空间取向，引起磁场中的能级分裂 自旋量子数 ms：±1/2，产生能级精细结构
2.晶体中的电子
（1）电子的共有化运动
在晶体中，电子由一个原子转移到相 邻的原子去，因而，电子将可以在整 个晶体中运动。
(3) V(k) 的大小与能带的宽窄有关.
内层: 能带窄, E(k)的变化比较慢, V(k)小.
外层: 能带宽, E(k)的变化比较陡, V(k)大.
1 dE hk V * h dk m
2. 加速度
设 E(k) 在 k=k0 处取得极值
E E E ( k ) E ( ko ) ( ) ko k x ( ) ko k y k x k y E 1 E ( ) ko k z ( 2 ) ko ( k k z 2 k x
实际晶体的能带不一定同孤立原子的 某个能级相当。
金刚石型结构价电子的能带
对N个原子组成的晶体:共有4N个价电子

空带 ，即导带

满带，即价带 2s和2p能级分裂的两个能带 sp3杂化后形成的能带
二、半导体中电子的状态和能带
波函数：描述微观粒子的状态 薛定谔方程：决定粒子变化的方程
h d [ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2 2m dr
1 = A + B →E1
2 = A - B
→E2
四个原子的能级的分裂
ñ ¡
± µ Ð Ó Nö · ­ Ô Ó ×± Ê ¹ £
相互间隔的很远时： 是N度简并的。 相互靠近组成晶体后： 它们的能级便分裂成N个彼此靠得很 近的能级－－准连续能级，简并消失。 这N个能级组成一个能带，称为允带。
2
1 d2 E 2 k E (k ) E (0) 2 2 dk k 0
令
1 d E 1 2 , 2 * h dk k 0 m
2
得导带底或价带顶附近 E (k ) 为
1hk E ( k ) E ( 0) * 2 m
2
2
研究固态晶体中电子的能量状态的方法
单电子近似
单电子近似
假设每个电子是在周期性排列且固定不动的 原子核势场及其他电子的平均势场中运动， 该势场是具有与晶格同周期的周期性势场。
能带论
用单电子近似法研究晶体中电子 状态的理论。
一.能带论的定性叙述
1.孤立原子中的电子状态 主量子数 n:1,2,3,…，决定能量的主要因素
1 dE (k ) V h dk
设导带底或价带顶位于 k=0, 则
dE 0, V 0 dk
以一维情况为例：
设 E(k)在 k=0 处取得极值，在 极值附近按泰勒级数展开：
dE E (k ) E (0) ( ) k 0 K dk
1 d E 2 ( 2 ) k 0 k ...... 2 dk

原子间无电负性差,它们通过共用 一对自旋相反而配对的价电子结 合在一起.
共价键的特点


饱和性 方向性 正四面体结构
共价键是原子通过电子云的重叠形成的 作用，所以，既有方向性，也有饱和性， 即电子云要按照一定的方向重叠，才能 保证最大重叠，保证共价键的稳定性， 所以导致了分子中的共价键间的键角。 另外，原子都有自己特定的成键数目， 如H原子只能形成1个共价键，O原子可 以形成2个键，即饱和性
p hk
1.能量 E(k)
德布罗意关系
E
1 (hk ) 2 E moV 2 2m0
2Βιβλιοθήκη Baidu
0
k
自由电子E与k 的关系
2. 速度 V(k)
对 E(k)微分, 得到
dE hk h dk mo
3. 加速度 a
p hk 1 dE V mo mo h dk
当有外力 F 作用于电子时, 在 dt 时间内, 电子 位移了ds 距离, 那么外力对电子所作的功等于 能量的变化, 即:
纤锌矿结构（四面体间隙）
S Cd
1 5 3 2 4
典型晶体：ZnS、CdS
4、氯化钠型结构
不以四面体结构结晶
材料: IV-Ⅵ族二元化合物半导体
例: 硫化铅、硒化铅、 碲化铅等
简单化合物晶体（填隙） NaCl结构（八面体间隙）
Cl-
典型晶体：NaCl、LiF、KBr
§ 1.2 半导体中电子的状态 与能带的形成
N1022~1023/cm3
a. s 能级（不计自旋）
S能级没有简并；N个孤立原子
N度简并
组成晶体后，s能级分裂成N个能级
b. p 能级（l=1, ml=0,1）
º · Ò ö pÄ Ü » ¶ ¶ Ô Ó ¦ È ý · ö × ´ Ì ¬ £ ¬ È ý ¶ È » ò ¢ £ ² º N· ö ¸ Â Á ¢ Ô ­ × Ó ¡ ú 3N ¶ È » ò ² ¢ ¡ £
组成晶体后，p 能级分裂成 3N 个能级。
c. d 能级（l=2, ml=0,1,2）
d 能级，N 个原子组成晶体后，d 能级 分裂成 5N 个能级。
原子能级分裂为能带的示意图 能带 原子级能 能量E
允带
{ {
{
原子轨道
d
禁带 p 禁带
s
s 能级：共有化运动弱，能级分裂 晚，形成能带窄； p、d 能级：共有化运动强，能级 分裂早，形成的能带宽。