2.2.1 二次函数的图象与性质

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二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出 它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行
交流。 y
y=x2
它与抛物线y=x2图
y
它与抛物线y=x2 图像的形状相同
o x
像的开口方向相反
o
x
y=－x2
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说说二次函数y=－x2的图象
小?最小值是什么？你是如
o
何知道的？
(5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
y=x2
x
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y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点是该 抛物线的顶点.
伸展;当x=0时,函数y
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的值最小,最小值是0.
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做一做
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴
进行交流。
x
… -3 -2 -1 0
1
2
3…
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y
5 y=2(x+3)2
4. 3. 2. 1.
-3. -2 -1 0.
y=2(x+3)2 -1
-1
y=2x2
1. 2. 3.
x
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议一议：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与y=ax2 有什么关系？
y
y=2(x+3)2
5
y=2x2
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0. y=2(x+3)2 -1
2
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做一做
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=2x², y=2(x+3)2和 y=2(x+3)2-1的图象. 二次函数y=2x² , y=2(x+3)2和y=2(x+3)2-1的图象有什么关 系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看 一看．
?
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有哪些性质？与同伴交流。
（1）图象与x轴交于原点(0，0)
（2） y ≤0
（3）当x <0时，y 随x 的增大而增大； 当x >0时，y 随x 的增大而减小。 （4）当 x = 0时，y最大值 = 0 （5）图象关于y 轴对称。
y
y=x2
o
x
y=－x2
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练习
1.设正方形的边长为a，面积为S，试做出S随a的变化而变 化的图象.
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想一想
函数y=ax²的图象
二次函数 y=2x2 的图象是什么形状?它与我们已经作过的二
次函数的图象有什么关系?
在同一坐标系中作出二次函数y=x2和y=2x2的图象。
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做一做
比较二次函数y=x2和y=2x2的图象。
⑴完成下表,并比较x2和2x2的值,它们之间有什么关系?
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点
外）,它的开口向上,并且向上无限伸；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶
点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增 大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小, 当x=0时,函数y的值最大.
在向左平移2个单位,得到函数 y=2(x+1)²的图象.
相同点: (1)图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同.
(2)都是轴对称图形.
(3)顶点都是最低点.
(4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称轴右侧,都随 x 的增大而增大.
(5)它们的增长速度相同.
不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.
y=2x2
顶点都是 原点(0,0).
只是开口 大小不同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y= 1 x2的图象,会是什么样望?哥出品，
2
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说一说
在直角坐标系中，画出函数
y
1 2
x2
的图象．观wenku.baidu.com它与y=x2，
y=2x2的图象有什么相同和不同？
相同点：
(1)开口都向上; (2)顶点是原点而且是抛物线 的最低点;
y
y=x2
o
x
y=－x2
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总结
y x2
二次函数y=x2 与y=-x2的性质
抛物线 对称轴 顶点坐标
开口方向
位置 增减性
最值
y=x2
y轴 （0，0）
向上 在x轴的上方 如图所示 最小值为0
y= -x2
y轴
（0，0）
向下 在x轴的下方 如图所示 最大值为0
y x2
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2．点 A（2，4）在二次函数 y x2 的图象上吗？请分别
写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标、关于 y 轴的对 称点 C 的坐标、关于原点 O 的对称点 D 的坐标．点 B，C，D 在二次函数 y x 2的图象上吗？
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由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
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小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数 图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k 的性质:
4
2）在连
2
接时必须 依次连接
1
-4 -3 -2 -1 0 1 -2
2
3
4
x
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探究二次函数 y=x2 的图象和性质
(1)你能描述图象的形状吗?
y
与同伴进行交流.
(2)图象与x轴有交点吗？
如果有,交点坐标是什么?
(3)当x<0时,随着x的值增大, y 的值如何变化？当x>0时呢？
(4)当x取什么值时,y的值最
5 4. 3. 2. 1.
-3. -2 -1 0. -1
y=2x2
y=2(x-1)2
1. 2. 3.
x
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议一议
二次函数y=2(x-1)²和y=2x²的图象的关系？ 1、它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 2、当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？ 当 x取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？
(3)对称轴是y轴.
y 1 x2 2
y=2x2 y=x2
不同点： a越大，抛物线的开口越小．
树
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在直角坐标系中画出y=2x2+1的图象，说说你是怎样画的？ 与同伴交流
x
…
-2
-1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
...
2x2+1 …
9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9
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4、结论:将 y=2x2的图象向 平移 _个单位就得到
y=2(x-1)²的图象.
5、猜一猜： y=2(x+1)²的图象是怎么样的？它的图象
与y=2x2 的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！
猜测：将y=2x2 的图象向 平移 个单位就得到
y=2(x+1)²的图象.
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y=ax2 y=ax2+c
开口方向
a>o
a<o
向上 向下
向上 向下
对称轴 顶点坐标
y轴 （0，0） y轴 （0，c）
y=ax2
c>0 上移 c<0 下移
y=ax2+c
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回忆一下
1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值 和增减变化情况:
1)y=ax2
2)y=ax2+c
请说出二次函数y=ax²+c与y=ax²的平移关系。
当c>0时,向上平移c个单位
y=ax2 当c<0时,向下平移 c 个单位
y ax2 c
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温故引新
看黑板填下表，回答问题：
抛物线 y = 2x2 y =2x2+3
开口方向
向上 向上
对称轴
y轴 y轴
顶点坐标
( 0,0 ) ( 0,3 )
2
0
2
8 18
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=2x2和y=2(x-1)2的图象．
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在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2的图象
y
5
y=2x2 4
3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1–O1
–2 –3 –4 –5
y=2(x–1)2
12345
x
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y
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增减性
y x2
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
当x<0 (在对称轴的左 侧)时,y随着x的增大而 减小.
当x>0 (在对称轴的右 侧)时, y随着x的增大而 增大.
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 当x=1时，y=1 向上,并且向上无限 当x=2时，y=4
将y=2x²的图象向 平移 y=2(x-1)²图象;
单位,就得到的
将y=2x²的图象向 平移 y=2(x+1)²图象.
单位,就得到的
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探究二: y a(x h)2 k 图像的特点.
二次函数
y = 2x2 -,1
2
， y = 2x , 32
y = 2x 32 1 的图象的关系？
二次函数y=2x2+1的图象与y=x2 的图象有什么关系？
它是什么形状? 它的开口方向、 对称轴和顶点坐标分别是什么?
11 10 8 6 4 2
-4 -2
望哥出品， 2必属精品4 ！
二次函数y=2x2+1的图象与y=2x2的图象有什么关系？
它是什么形状? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
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回顾与思考
1、回顾正比例函数，一次函数与反比例函数图象特征， 请同学们谈谈它们的图象有哪些特征？
2、画函数图象的主要步骤是什么？ （1）_列__表__ ；（2）__描__点_ ；（3）__连__线__。
3、你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
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探究二次函数 y= x2的图象和性质
-1
1. 2. 3.
x
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y 2x2
y 2x2 1
y 2( x 3)2
y 2(x 3)2 1
y 2(x 3)2 1 的图像可以由 y 2x2 先向下平移1个单位,
再向左平移3个单位,或者先向左平移3个单位再向下平移1个单位望哥而出品，
得到.
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联系
将函数 y=2x²的图象向右平移1个单位, 就得到 y=2(x-1)² 的图象;
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值, 完成下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y… 9 4 10 1 4 9…
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列表： x
y
描点：
… －3 －2 －1 0
…94
10
y
10
1 2 3… 1 4 9…
y=x2
连线：
8
注意：1） 在连接时
6
必须用光 滑的曲线
y =2x2+3图象可以由 y 2x2 的图象向_上_平移_3_个 单位得到.
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做一做
比较函数 y 2x2 与 y 2x 12的图象
⑴完成下表,并比较2x2和2(x-1)2的值,它们之间有什么关系?
x
y 2x2
-3 -2 -1 0
1
2
3
4
18 8
2
0
2
8 18 32
y 2x 12 32 18 8
二次函数y=2x2-1的图象呢？
11
10
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2
8
一样,仍是抛物线.
6
二次项系数a>0, 开口都向上;对 称轴都是y轴; 增减性也相同.
4 2
-4 -2 函数y=2x2 顶点(0,0).
24
函数y=2望x2哥+1出品， 顶点(0,必1)属. 精品！
归纳小结
抛物线
-4
11 10 8 6 4 2
-2
y 2x2
2 望哥出4 品， 必属精品！
说一说
y=x2
二次函数 y=2x2 的图象是什么 形状？它与二次函数 y=x2的图 象有什么相同和不同？它的开 口方向、对称轴和顶点坐标分 别是什么？
二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
二次项系数a>0, 开口都向上;对 称轴都是y轴; 增减性也相同.
必属精品！
y
y=2(x+1)2
5
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0. -1
y=2x2
1. 2. 3.
x
望哥出品， 必属精品！
y
y=2(x+1)2
5
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0. -1
y=2x2
y=2(x-1)2
1. 2. 3.
x
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二次函数y=2x², y=2(x-1)², y=2(x+1)²的图象都 是 ，并且形状 ，只是位置不同.
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
x2 … 2x2 …
…
4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
8 4.5
2 0.5 0
0.5 2
…
4.5 8
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=x2和y=2x2的图象 望哥出品， 必属精品！
议一议
二次函数y=2x2的图象是什么 形状？它与二次函数y=x2的 y x2 图象有什么相同和不同？它 的开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么？