二级倒立摆数学模型的建立

二级倒立摆数学模型的建立

专业：自研-09

姓名：刘文珍

学号：2009Y01310126

一、二级倒立摆系统的组成

二级倒立摆主要由以下四部分组成:

1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;

2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;

3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;

4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位

置附近的控制器。

二级倒立摆的结构简图如图1的监督管理功能，如实时画面，数据采集等;数据采集卡安装在计算机内，用完成模/数、数/模转换;功率放大器用于电压和功率放大;电机是系统的执行元件;电位计是系统的测量元件，它分别检测小车相对于轨道中心点的相对位置、下摆相对于铅垂线的角位移、上摆相对于下摆延长线方向的角位移。

图1 倒立摆系统的计算机控制系统

二级倒立摆系统的整套机械部件安装在一个钢架上，上面固定着导轨、电机底座和转轮等装置。通过导轨支架安装好小车滑行的导轨，小车用电机和转轮通过传动钢丝实现运动。

2、结构参数

通过实际物理测量，得到二级倒立摆系统的参数如下:

小车的等效质量:M =1.0kg;

小车与轨道间的滑动摩擦系数:b=5.0kg/s;

下摆的质量:m=0.1481kg;

下摆半长:1l =0.18m;

下摆绕其重心的转动惯量:1j =2kgm ; 上摆质量:2m =0.0998kg; 上摆半长:2l =0.24m;

上摆绕其重心的转动惯量: 2j = 2kgm ; 上、下摆重心之间的距离: 1L =0.29m;

上、下摆之间的转动摩擦系数: 2F =0.0l 2kgm /s; 下摆和小车之间的转动摩擦系数:1F =2kgm s; 电机及功率放大器的增益: u K =15Nt/V 。 3、Lagrange 方程介绍

Lgarnage 方程为..11

(1,2,...,)1i q d T T V D

F i k dt q q i q q ⎛⎫

⎪∂∂∂∂-++== ⎪∂∂ ⎪∂∂⎝⎭(1-1)

式中

T —系统的动能函数，

.

1q ，q ，—Lganarge 变量，分别成为广义坐标和广义速度

Qi —作用于系统上的广义力 1

(1,2,...,)i q V

Qi F i k q ∂=-

+=∂，(1-2) 式中：

V —系统的势能函数

1

V

q ∂-

∂—有势力的广义力 i q F —非有势力的广义力

将式(2-2)代入式(2-l)得.11

(1,2,...,)1i q d T T V

F i k dt q q q ⎛⎫

⎪∂∂∂-+== ⎪∂∂ ⎪∂⎝⎭

二、二级倒立摆数学模型的推导

二级倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强祸合、和绝对不稳定的系统，为了简化建立数学模型的过程，我们做了以下假设:

1.上摆、下摆都是一个均匀的刚体;

2.力矩电机的输出驱动力与其输入电压成正比，且无滞后地直接作用在小车上;

3.车与轨道间的摩擦力仅与小车的速度成正比，下摆与车绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比，上、下摆绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比;

4.忽略电机的电感;

5.忽略钢丝的弹性。

在以上假设前提下，我们采用分析力学中的Lganarge 方程来建立系统的数学模型。令:为水平导轨运动的位移，拭、氏分别为下摆和上摆偏移竖直方向的角度。由于系统存在着摩擦力，属于一个耗散系统，因此式(2-3)部分应该加上耗能部分，对于同时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统的Lagrange 方程为:

..11

(1,2,...,)1i q d T T V D

F i k dt q q i q q ⎛⎫

⎪∂∂∂∂-

++== ⎪∂∂ ⎪∂∂⎝⎭ 式中：

i q —广义坐标，即r 、1θ、2θ

i q F —非有势广义力，当i q =r 时，i q F =0G U ,U 为控制量，0G 为增益常数，当

i q =1θ、2θ时，i q F =0

T 、V 、D —分别是系统的动能、势能和消耗能

n i i T T ==∑、0

n i i V V ==∑、0

n

i i D D ==∑ (1-5)

式中：

n —倒立摆的级数，这里n=2

i T —小车和各级倒摆的动能

i V —小车和各级倒摆的势能 i D —小车和各级倒摆的消耗能

将上述各式i T ，i V ，i D (i=0，1，2)代入式(2-4)，得二级倒立摆的数学模型为

式(2-6)式是一个非线性向量微分方程。考虑到系统工作时，是在平衡位置附近运动，可将式(2-6)在u=0的平衡位置r=1θ=2θ=.

r =.

1

θ=.

2

θ=0附近线性化，

以线性化后的方程来代替式(2-6)的非线性向量微分方程。

具体线性化是忽略二次以上的项(或因为1θ，2θ在5±。以内，故sin θθ≈，

cos 1θ≈)，可求出关于dr ，d 1θ，d 2θ的线性化微分方程，而后将dr ，d 1θ，d 2θ改写成r ，1θ，2θ，便可得到系统的状态方程。

根据物理模型的实测数据，可求得平衡点处的常数阵:

利用Matlab 中的求逆命令，可以解得1(0,0)M -阵

所以，对式（2-6）进行线性化后，系统状态方程为：

对于下摆有转角1

θ时，取上摆的相对角位移为21θθ-，故令

故式（2-7）可改写为

定义状态向量x 为

则由式（2-8）可得

将物理模型的实测参数代入式（2-9），得到二级倒立摆的系数矩阵为