伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用

摘要：

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。 (1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。 本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。

关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质

1、伴随矩阵的定义

定义1.设是矩阵A =中元素的代数余子式，则矩阵A =

ij A ⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a

2

122221

11211ij a *称为A 的伴随矩阵。

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A 2

1

22221112

11定义2.设A 为n 阶方阵，如果有矩阵B 满足AB=BA=E,则B 就称为A 的逆矩阵，记为B=。

*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。

1-A 2、伴随矩阵的性质

性质1.设A 为n 阶方阵，AA

=A A= E .

*

*A

证明：由行列式按一列（行）展开:AA =A A==E, 其中=。

**

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡d d d 0000000000

d d A 性质2.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 非退化，即.

A

A A A *

1

,0=≠-且证明：若≠0，则A 可逆，且=

；反之，若A 可逆，则有AA -1

=E ，所以|AA -

A 1

-A A

A *

1|=|A||A -1|=1

故|A|=0.即A 非退化。

性质3.1.若A 为非奇异矩阵，则.

1*1*)()(--=A A 证明：因为，由性质2两边取逆可得1

11)(--=

A k

kA 故，1*)(-=A A A A

A

A =

-1*)(另一方面，由性质2 有

， A A

A A A A A A 1

)()*()(1

)*11*11

11=

⇒==------（由.

1*1*)()(--=A A 性质3.2.设A 为n 阶矩阵，则秩A =.

*⎪⎩

⎪

⎨⎧-≤-==时，当秩时，当秩时　，当秩2011n A n A n A n 证明：（1）当秩A=时，则A 是可逆的，即有存在，所以

n ,0≠A 1-A .可见，秩=。

1*-=A A A *A n 反之，当秩=n 时，可逆时，则有存在，所以

*A *A 1*)(-A =,有0，因A=0，从而=0，这与秩=矛盾，所以0，于是秩

A A 1*)(-A A ≠*A *A n A ≠（A ）=；

n （2）当秩（A ）=时，则A 必有一个阶子式不为0，即中至少有一个元素不为0，所1-n 1-n *A 以，秩（），另外秩（A ）=.则=0，于是，*A 1≥1-n A .0*==E A AA 从而，秩（A ）+秩（）*A .

1.1),**=≤≤）这便知秩（故秩（A A n 反之，若秩（）=1，则中必有一个，即是说必有一个阶子式不为零，故秩*A *A ij 0A ≠A n-1但不能有秩（A ）=，否则，有秩=，而这样与秩矛盾，所以秩（A ）n-1A ≥n *A n n ，

2≥1)(*=A

，则（A ），因此,秩（A ）=.

≠n ≤1-n 1-n （3）当秩（A ）<时，则A 中一切阶子式均为0，于是一切所以，这时有1-n 1-n ,0=ij A 0*=A 秩反之，若秩则亦即A 的一切阶子式为0，所以秩

,0)(*=A ,0)(*=A ，即一切0,0ij *==A A 1-n （A ）<.

1-n 该性质可以用来求A 的伴随矩阵的秩，A 的秩可以直接求出，通过A 的秩可以直接求出A 的伴随

矩阵.

性质4.秩.A A 秩≤*性质5.=，其中A 是n 阶方阵（n 2）.

*A A

1

-n ≥证明：若0， AA =E ， ===A ≠ *A ∴*AA A n

⇒A *A A

n

⇒*A A

1

-n 若=0，这时秩A 1，=0，而也有=A *≤∴*A *A A

1

-n 综合得=.

*A A

1

-n 性质6.若A 是n 阶非零实矩阵，.

0,*≠='A A A 则证明：用反证法，若令一方面，设A=

，，则00*==='=E A AA A A A n n ij a ⨯∈R ）（===0 （2）AA '*AA ⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡∑∑∑===n

i ni n

i i

a a 121

2

2n

1i 2

i 1a

由（2）式主对角元素均等于0，可得此即A=0，这与非零矩阵的假设

),,,2,1,(,0n j i a ij ==矛盾，.

0≠∴A 条件A 是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=则,11⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-i i 0,*=='A A A 但性质7. 令A,B 为n 阶矩阵，则（1）A 对称⇒对称；

*A （2）A 正交 正交；*A ⇔（3）若A 与B 等价，则也等价；

与**B A