数字滤波器中的系数量化效应

li
▪ A(z)中各个系数的量化效应引起第i个极点的偏差
N
Pi
P N k i N
aki 1,..., N
k1 (Pi Pl )
l 1
l i
➢分母因式(Pi-Pl)表示由极点Pl指向极点Pi的矢量， 整个分母是所有极点(除了Pi极点)指向Pi极点的矢 ↑
量之积
➢极点间距短，则极点位置敏感度大
9
z
2
利用a2变化造成的极点位置灵敏度，为保持极 点在其正常值的0.5%内变化，试确定所需要 的最小字长。
12
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➢ 解：令H(z)的分母为0，即 A(z) 11.7z1 0.745z2 0
解得 P1 0.85 j0.15
P2 0.85 j0.15
则 P1 P2 0.863 P1和P2共扼出现 敏感度式，看a2变化的影响
10
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
N
(Pi Pl )
l 1 l i
0
1
0
1
0
1
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0
1
11
例题
▪ 下面举例说明极点位置灵敏度。极点位置
变化和系数字长的选择
➢ 例一(P411)：设DF的系统函数为
H
(
z
)
1
1.7
0.0373 z1 0.745z
2
1
0.0373 a1z1 a2
Pi zPi ak
ak zPi
A(z)
Pi
ak
ak A(z)
Pi zPi
7
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
A(z) zk ak
N
A(z) Pi
[
l 1
(1 Pl Pi
z 1)]
z 1
N l 1
(1 Pl
z 1)
li
Pi A(z) / ak ak A(z) / Pi zPi
k 1
考察分母部分，将A(z)因式分解：
N
N
A(z) 1 ak zk (1 Pi z1)
k 1
i 1
对于N个ak和N个Pi，对于任一Pi研究：
➢某ak的误差对于Pi的影响情况
➢所有ak的误差对于Pi的影响情况
4
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
▪ 敏感度
Pi / ak
8.4.1 引言
▪ 数字滤波器(DF)的量化效应表现在以下方 面：
➢ ⑴DF的系数量化效应； ➢ ⑵运算量化效应； ➢ ⑶定点补码溢出极限环振荡和定点舍入引起的
低电平极限环振荡；
▪ 时间原因，我们只给大家介绍DF的系数量化效应中的系 数量化对极零点位置的影响.
1
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
N
zN (z Pl ) l 1 li
Pik
N
Pi( N k )
N
PiN (Pi Pl )
(Pi Pl )
l 1
l 1
li
li
8
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
▪ Pi对系数ak量化效应的 敏感度为：
Pi
ak
Pi( N k )
N
(Pi Pl )
l 1
P1 1 1 3.3333e j90o a2 P1 P2 j0.3
P2 1 1 3.3333e j90o a2 P2 P1 j0.3
13
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▪ 由此可见，a2的变化对于P1、P2影响的大小是相同的
▪ 根据题意，要求出a2对P2(或P1)的影响，即要求 P2 或 P1
M
▪
IIR数字滤波器系统函数
bk z k
H(z)
k 0 N
1 ak zk
B(z) A( z )
k 1
▪ 系数ak、bk 决定系统零极点的位置，决定系统 性能
▪ ak、bk字长有限，→量化误差，→零极点位置 偏差
▪ 本节研究系统零极点位置对系数量化偏差的敏 感度
2
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
▪A(z)中，第k个系数ak量化引起A(z)多项式第i 个根(即H(z)第i个极点)Pi的变化率为 Pi / ak ， 称为极点Pi对系数ak量化的敏感度； ▪类似的定义可以推广到零点的情况； ▪通常希望对系数量化敏感度越低越好。
5
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
▪ 定义（由系数量化引起的）极点偏差：Pi
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
▪ 一般对于窄带滤波器或过渡带很窄的滤波 器，都会有几个极点(零点)靠得很近，且 Filter的阶数也较高。这时系数量化效应引 起的极点(零点)偏差也大，严重时极点可能 移到单位圆上或单位圆外，引起系统的不 稳定。因此，在具体实现Fiter时，对于二 阶以上的Filter，最好不用直接型结构，而 用一阶或二阶的基本节进行级联和并联实 现。
有
P2
P2Biblioteka Baidua2
a2
a2
P2 P2 a2
0.5% P2 3.3333
1.295103
即所需的系数“量化阶”应2为a2 2.590103
若采用定点二进制小数表示，设小数点后为b位，则分辨
率为2b。因为应满足2b 2.590103 且b应取整数，可得
b=9。即只有系数字长b=9才满足性能要求。
Pi Pˆi Pi
A(z)中所有系数的量化误差，对第i个极点Pi的 误差都有影响
Pi
N k 1
Pi ak
ak
i 1,..., N ak aˆk ak
先推导 Pi / ak
先求 Pi
6
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
▪ 根据复合函数微分法则：
A(z) Pi A(z)
▪ 思路：
➢ 首先介绍极点(零点)位置敏感度的概念 ➢ 分析极点位置（偏差）对于系数量化效应的敏
感度 ➢ 给出结论，低敏感度的系统结构
3
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8.4.2 系数量化对极(零点)位置的影响
▪ 设IIR Filter的传输函数H(z)为
M
bk z k
H(z)
k 0 N
1 ak zk
B(z) A( z )
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