第九章奇异期权

亚式期权的种类
平均资产价期权 平均执行价期权 算术平均
I

1 n
S1

S2
...
Sn

几何平均
ln
I

1 n
ln
S1

ln
S2

ln
S3
...
ln
Sn

Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
路径依赖
期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响， 它又可以分为弱式路径依赖和强式路径依赖两 种。如果期权价值会受到路径变量的影响，但 是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之 类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变 量，就属于弱式路径依赖性质的期权。
美式期权就是弱式路径依赖型的期权。
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特殊交易条款
障碍水平的时间依赖性 双重障碍 多次触及障碍水平 障碍水平的重新设定 外部障碍期权 提前执行的可能性 部分折扣
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障碍期权的性质
障碍期权定价的扩展
障碍期权合约中增加条款的考虑 波动率的选择 标的资产价格的观察频率
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数值定价方法
将结点设置在障碍上 结点不在障碍水平上的调整 适应性网状模型
更新规则
在简单的亚式平均期权中：
Ii F S ti , Ii1,i
这里I的新值只由I的旧值、取样日的资产价格 和取样日决定。这个规则还可以根据计算平均 数的不同方法进行推广。但无论函数F如何变 化，这个路径依赖变量始终都是在取样日进行 相应的更新。
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反射保值
这个方法建立在反射原理和看涨看跌对称的基础上，很简 单但效果相当不错，但是只有在障碍水平和执行价格以正 确的顺序排列的时候才有效。
假设我们目前拥有一个向下敲入看涨期权，并假设障碍水 平H和执行价格X相等。现在用一个具有同样执行价格的常 规看跌期权空头来为其保值。如果触及障碍水平，则我们
固定执行价期权 浮动执行价期权
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B-S模型框架下的回溯期权
回溯期权定价模型中包含路径依赖变量，因此 回溯期权也属于强式路径依赖期权。可以采用 在亚式期权中所讨论的强式路径依赖定价的思 路，根据连续观测和离散观测的不同，将回溯 期权定价纳入到布莱克-舒尔斯模型框架中去。 但由于回溯价和亚式期权中的平均价性质不同， 平均价必然会随着观测值的增加而改变，而最 大值的回溯价则不一定会改变，这使得回溯期 权的定价和亚式期权有所不同。
敲入障碍
敲入期权在没有到达障碍水平时，有：
f S,T 0
对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可 能性。如果是一个向上敲入期权，那么在资产
价格到达上限的时候，合约的价值 f H,t 就等 于一个相应的常规期权价值 fb H,t。
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障碍期权
障碍期权是指期权的回报依赖于标的资产的价 格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水 平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水 平
敲出障碍期权 敲入障碍期权 向上期权 向下期权
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回溯期权
回溯期权的收益依附于标的资产在某个确定的 时段（称为回溯时段）中达到的最大或最小价 格（又称为回溯价），根据是资产价还是执行 价采用这个回溯价格，回溯期权可以分为：
二叉树图中的障碍水平
真实障碍
外部障碍
内部障碍
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障碍期权的静态套期保值
尽可能地用交易活跃的常规看涨和看跌期权来 复制障碍期权价值。比如为向上敲出看涨期权 空头保值的一个常用方法是买进同样价格和到 期日的看涨期权多头，如果期权敲出，则还有 一个看涨期权多头可以弥补。
障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及 它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影 响。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的， 因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而 并不需要关于路径的其他任何信息
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障碍期权的具体定价公式
向下敲出看涨期权
f
S,t
fb

S
,Biblioteka Baidu
t



S H
12r 2
fb
H2 S ,t
向上敲入看涨期权
f
S,t


S H
12r 2
fb
H2 S ,t
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敲出障碍
当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合 约作废，因此边界条件为
当 t T 时 f H,t 0
如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件可 以修改为：
f H,t R
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奇异期权的主要性质
分拆与组合 弱式路径依赖 强式路径依赖 时间依赖 维数：基本的独立变量的个数 期权的阶数
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亚式期权
亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活 跃的奇异期权之一。它最重要的特点在于：其 到期回报依赖于标的资产在一段特定时间（整 个期权有效期或其中部分时段）内的平均价格。 它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格 将成为定价公式中的一个独立状态变量。
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几何平均亚式期权
在亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确 的解析解。几何平均期权的解析价格公式之所 以存在，是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资 产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态 分布变量的几何平均值仍为对数正态分布
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算术平均亚式期权
亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列 对数正态分布值的算术平均值并不服从对数正态分布。 为了解决这个问题，人们采用了各种方法，但是仍然 无法得到解析的定价公式。对标的算术平均亚式期权 更多的是采用数值方法或以标的几何平均亚式期权来 近似逼近，常见的如下：
二阶矩近似法 控制方差法 相似变量代换法
连续取样平均
定义反映资产价格路径平均值的变量为
I

t


t
0
F

S
,
d
其中 F S, 为平均值函数，视期权合约条
款规定而不同

建立一个无风险组合

f S, I,t f S
S
应用布莱克-舒尔斯模型的方法，得到：
f t
1 2S2
2
2 f S 2
离散取样的定价方程
由于更新规则，实际上只有在取样日变量I才发 生变化。在取样日之间，I是常数，因此定价方 程与一般的布莱克-舒尔斯偏微分方程相同：
f 1 2S 2 2 f rS f rf 0
t 2
S 2
S
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第九章 奇异期权
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奇异期权
奇异期权：比常规期权(标准的欧式或美式期 权 )更复杂的衍生证券，比如执行价格不是一 个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格 的期权，或是在期权有效期内如果资产价格超 过一定界限，期权就作废 。
敲入和敲出障碍期权的关系
在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价 格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期 权具有如下的关系：
敲入期权＋敲出期权＝ 执行价格和时间相同的常规期权
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的组合头寸价值为 c p ，其中第一项来自障碍期权，第
二项来自常规期权。根据平价关系和H X ，组合价值正
好等于 S XerTt X 1 erTt ，这是一个接近0的数。此时
我们将两个期权平仓，就可实现保值。
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障碍期权定价
在障碍条件被触发之前，期权价值仍然满足
f rS f t S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
障碍条件则反映在相应的边界条件上
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三叉树图中的障碍水平
真实障碍
外部障碍
内部障碍
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f
S,t f
I
rS
f S
rf
0
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连续取样平均（续）
偏微分方程中增加了对变量I的一阶偏导，是对第 三个独立变量的影响的描述。这时，边界条件变 为
f S,I,T PS,I
具体运用到算术平均和几何平均期权，偏微分方
程分别为
f t
1 2S2
2
2 f S 2
S
f I
rS
f S
rf
0
f t

1 2S2
2
2 f S 2
ln S
f I
rS
f S
rf
0
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