数值分析第三章函数逼近与 曲线拟合习题答案

6。对，定义 问它们是否构成内积。 解： 令（C为常数，且） 则 而 这与当且仅当时，矛盾 不能构成上的内积。 若，则 ,则 若，则 ,且 即当且仅当时，. 故可以构成上的内积。 7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。 解： 若，则 令，则，且，故 又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且 是在上带权的正交多项式。 又 8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式 解： 若，则区间上内积为 定义，则 其中 9。试证明由教材式给出的第二类切比雪夫多项式族是上带权的正交多 项式。 证明： 若 令，可得 当时， 当时， 又，故 得证。 10。证明切比雪夫多项式满足微分方程 证明：
若 且，则 则法方程组为 解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 17。求函数在指定区间上对于的最佳逼近多项式： 解： 若 且，则有 则法方程组为 从而解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 若 且，则有 则法方程组为 从而解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 若 且，则有 则法方程组为 从而解得 故关于的最佳平方逼近多项式为 若 且则有 则法方程组为 从而解得 故关于最佳平方逼近多项式为 18。，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。 解： 按勒让德多项式展开 则 从而的三次最佳平方逼近多项式为 19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
切比雪夫多项式为 从而有 得证。 11。假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？ 解： 在闭区间上连续 存在，使 取 则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。 由切比雪夫定理知 P为的零次最佳一致逼近多项式。 12。选取常数，使达到极小，又问这个解是否唯一？ 解： 令 则在上为奇函数 又的最高次项系数为1，且为3次多项式。 与0的偏差最小。 从而有 13。求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。 解： 于是得的最佳一次逼近多项式为 即 误差限为 14。求在上的最佳一次逼近多项式。 解： 于是得的最佳一次逼近多项式为 15。求在区间上的三次最佳一致逼近多项式。 解： 令，则 且 令，则 若为区间上的最佳三次逼近多项式应满足 当 时，多项式与零偏差最小，故 进而，的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式为 16。，在上求关于的最佳平方逼近多项式。 解：
25。求在处的阶帕德逼近。 解： 由在处的泰勒展开为 得 从而 即 解得 又 则 故
用最小二乘法求。 解： 观察所给数据的特点，采用方程 两边同时取对数，则 取 则 则法方程组为 从而解得 因此 22。给出一张记录用FFT算法求的离散谱。 解：
则
0 1 2 3 4 5 67
4 3 2 1 01 2 3
4 4 4 4 04
8 4 0 4 80
16 0 0 0
23，用辗转相除法将化为连分式。 解 24。求在处的阶帕德逼近。 解： 由在处的泰勒展开为 得 从而 即 从而解得 又 则 故
第三章 函数逼近与曲线拟合
1． ，给出上的伯恩斯坦多项式及。 解： 伯恩斯坦多项式为 其中 当时， 当时，
2． 当时，求证 证明： 若，则
3．证明函数线性无关 证明： 若 分别取，对上式两端在上作带权的内积，得 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异， 只有零解a=0。 函数线性无关。 4。计算下列函数关于的与： m与n为正整数， 解： 若，则 在内单调递增 若，则 若m与n为正整数 当时, 当时, 在内单调递减 当时, 在内单调递减。 若 当时， 在内单调递减。 5。证明求形如的经验公式，并计算均方误差。 解： 若，则 则 则法方程组为 从而解得 故 均方误差为 21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：
时间
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
浓度
0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
时间t(s) 0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离 0 s(m)
10
30
50
80
110
求运动方程。 解： 被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性 方程 令 则 则法方程组为 从而解得 故物体运动方程为 20。已知实验数据如下：
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3