积分中值定理

积分中值定理的“中值”研究
吕立平
（绍兴文理学院 数学系 浙江 绍兴 312000）
摘要：本文将积分中值定理中的ξ[]b a ,∈加强为()b a ,∈ξ，并给出了不同的证明方法，最后举例
说明其应用．
关键词：积分中值定理; 介值定理; 微分中值定理;
在数学分析中学习“积分中值定理”这一内容时，常把它与微分中值定理进行比较，提出为什么微分中值定理中的“中值”()b a ,∈ξ，而积分中值定理中的“中值”[]b a ,∈ξ，能不能把积分中值定理的闭区间[]b a ,改进为开区间()b a ,呢？其实这是可以的．本文就是对这一问题进行研究。

作为解决问题的准备，首先证明一个引理．
引理 设)(x f 在[]b a ,上连续且)(x f 0≥, 若
∫
=b
a
dx x f 0)(, 则0)(≡x f ．
证明 若不然, 存在[]b a x ,0∈使得0)(0>x f , 由连续函数局部保号性，存在0x 的某邻域()δδ+−00,x x ，使∈∀x ()δδ+−00,x x 有02
)
()(0>≥x f x f ．
（当a x =或b x =时，则考虑右邻域或左邻域），又
∫
∫
∫∫
−+−+++=b
a x a x x b
x dx x f dx x f dx x f dx x f δ
δ
δ
δ
0000)()()()(，
所以
≥
∫b
a dx x f )(∫
+−δ
δ
00)(x x dx x f 0)(22
)
(00>=≥
δδx f x f ． 这与
∫
=b
a
dx x f 0)(矛盾, 因此 0)(≡x f ．
下面我们给出定理并证明之．
定理1 （积分第一中值定理）若)(x f 在()b a ,上连续，则在()b a ,上至少存在一点ξ，使得
∫
−=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ．
证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续，根据闭区间上连续函数的性质，)(x f 在[]b a ,上存 在最大值M 与最小值m ．即 m M x f ≤≤)(,[]b a x ,∈． 有
∫−≤≤−b
a
a b M dx x f a b m )()()(．
１ 若 M m =， 则)(x f 为常值函数．显然有()b a ,∈∀ξ，满足
∫
−=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ．
2 若 M m < （1） 当 )()()(a b M dx x f a b m b
a
−<<
−∫
即 M a b dx
x f m b
a
<−<
∫)
()(，
由闭区间上连续函数的介值定理知，存在()b a ,∈ξ使得)
()()(a b dx
x f f b
a
−=
∫ξ，即
∫
−=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ．
（2） 当
∫
−=b
a
a b m dx x f )()( 即
0])([=−∫dx m x f b
a
，
设m x f x F −=)()(，则)(x F 在 []b a ,上连续且0)(≥x F ，又由∫
=b
a
dx x F 0)(． 据引理
知0)(≡x F ，即m x f ≡)(．所以存在()b a ,∈ξ使得
∫
−=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ成立．
（3）当
∫
−=b
a
a b M dx x f )()(，证明完全类似于（2）．
综上所得，在开区间()b a ,内存在ξ使得
∫
−=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ成立．
前面我们提出了积分中值定理是否与微分中值定理有关系的思考，其实在一定条件下，
他们之间有密切的联系．下面用微分中值定理来简单的证明上述定理．
另证 作函数∫
=
x
a
dt t f x F )()(，则)(x F 在[]b a ,上可导，而且)()('x f x F =，根据拉
格朗日中值定理得，在()b a ,内存在一点ξ，有
a
b dt
t f a
b dt
t f dt t f a
b a F b F F b
a
b
a
a
a
−=
−−=
−−=∫∫
∫)()()()
()()('ξ
即a
b dt
t f f b
a
−=
∫)()(ξ，因此()b a ,∈∃ξ ，使得
∫
−=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ成立．
对于第一积分中值定理的推广中的[]b a ,∈ξ，我们也可把它改进为()b a ,∈ξ
定理2 （推广的积分第一中值定理） 若)(x f 在[]b a ,上连续，且)(x g 在[]b a ,上连续不变号，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得
∫
∫=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ．
证明 由)(x f 在],[b a 上连续，则存在最大值、最小值m M 、．即M x f m ≤≤)(，
[]b a x ,∈．又)(x g 在[]b a ,上不变号，不妨设)(x g ≥0，[]b a x ,∈，从而有
)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤⇒∫∫∫≤≤b a
b a
b
a
dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()(．
1．若
∫
=b
a
dx x g 0)( 则由上述不等式得∫=b
a
dx x g x f 0)()(，此时显然()b a ,∈∀ξ，
∫
∫=b
a
b a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ
2．若
∫
>b a
dx x g 0)(
（1） 当M m =时，结论显然成立． （2） 当M m <时， 如果 ∫
∫∫
<<b
a
b a
b
a
dx x g M dx x g x f dx x g m
)()()()(， 即M dx
x g dx
x g x f m b
a
b
a
<<
∫
∫)()()(．
由闭区间上连续函数的介值定理知，存在()b a ,∈ξ使得∫
∫=
b
a
b
a
dx
x g dx
x g x f f )()()()(ξ，即
∫∫=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ．
如果 dx x g x f dx x g m
b
a
b a
∫
∫=)()()(，即∫=−b
a
dx x g m x f 0)(])([，因为
∫>b
a
dx x g 0)(，必[]()b a b a ,,11⊂∃使得恒有0)(>x g ，[]11,b a x ∈．(若不然，对于任何
闭子区间
[])
,(,b a ⊂βα上都有
],[βαξ∈使0)(=ξg ．使用定积分定义便有
∫
=b
a
dx x g 0)( ．这与∫>b a
dx x g 0)(矛盾)．
对于[]11,b a x ∈∀，[]0)()(≥−x g m x f ．据此必有
∫
=−1
1
0)(])([b a dx x g m x f ．（否则
由
∫
≥−1
0)(])([a a
dx x g m x f ,
∫
>−1
1
0)(])([b a dx x g m x f ,
∫≥−b
b dx x g m x f 1
)(])([得
∫
>−b
a
dx x g m x f 0)(])([．这与∫=−b
a
dx x g m x f 0)(])([矛盾．）则根据引理知
[]0)()(=−x g m x f ，[]11,b a x ∈．又在[]11,b a 上0)(>x g ，所以m x f =)(，
[]11,b a x ∈．因此存在[]()b a b a ,,11⊂∈∃ξ，使得∫∫=b a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ．
如果dx x g x f dx x g M
b
a
b
a
∫
∫=)()()( ，证明类似于前面．
总之，存在()b a ,∈ξ使得
∫
∫=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ．
对此同样可以用微分中值定理来证明．
另证（此时需假定],[,0)(b a x x g ∈≠） 设∫
=
x
a
dt t g t f x F )()()(，∫=x
a
dt t g x G )()(．则
)(x F 、)(x G 在[]b a ,上可导，且)()()('x g x f x F =，)()('x g x G =，由柯西微分中值定理，在()b a ,内存在ξ使得)()()()()(')('a G b G a F b F G F −−=ξξ，或 ∫
∫
=
b
a
b
a
dx
x g dx
x g x f g g f )()()()
()()(ξξξ，即
∫
∫=
b
a
b
a
dx
x g dx
x g x f f )()()()(ξ，也就是
∫
∫=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ．
下面举例应用以上定理． 例1 求∞
→n lim
xdx n ∫
2
sin π
解 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈∀2,0πε，有ξππ
n
n xdx sin 2sin 02 0 =≤∫，⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∈2,0πξ．
由于0sin
lim =∞
→ξn
n ，所以 ∞
→n lim
0sin 2
=∫
xdx n π
．
例2 证明 ∞→n lim 011
0 =+∫dx x
x n
证明 设 x
x f +=
11)(,n
x x g =)(, 由定理2，()1,0∈∃n ξ，使得 n
dx x dx x x n n n
n ++=
+=+∫
∫11
111111
1
0 ξξ
由于011
lim ,1110=+<+<
∞→n n n
ξ，所以
∞→n lim 011
11lim 11
0 =++=+∞→∫n dx x x n
n n ξ．
例3 证明：如果)(x f 在[]π,0上连续，且0cos )( 0
=∫
π
xdx x f , 则存在1ξ，2ξ且21ξξ≠
使)()(21ξξf f =．
证明 =
=
∫
π
cos )(0xdx x f +
∫
2
cos )(π
xdx x f ∫π
π
2
cos )(xdx x f
+=∫20
1cos )(π
ξxdx f )()(cos )(212
2ξξξπ
πf f xdx f −=∫
所以)()(21ξξf f =．其中⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈2,
01πξ，⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛∈ππξ,22，21ξξ≠． 熟知，积分第二中值定理在数学分析中有非常重要的理论价值和应用价值，下面我们将
这一定理的特殊情况予以推广并加以证明。

定理3 （积分第二中值定理） 若在[]b a ,上)(x f 可导且0)('≥x f ，)(x g 连续，则存在()b a ,∈ξ，使得
∫
=b
a
dx x g x f )()(+∫ξa
dx x g a f )()(∫b
dx x g b f ξ
)()(．
证明 由于)(x g 在[]b a ,上连续，令∫
=
x
a
dt t g x G )()(，则)(x G 在[]b a ,上可导，且
)()(x g x G =′．又
∫∫∫
−==b a
b a b a
b
a
x df x G x G x f x dG x f x g x f )()(|)()()()()()(∫′−=b
a
dx x f x G b g b f )()()()(
对于
dx x f x G b
a
)()(′∫，使用定理2，()b a ,∈∃ξ，使得
dx x f x G b
a
)()(′∫
∫′=b
a
dx x f G )()(ξ[])()()(a f b f G −=ξ∫=ξ
a
dx x g )([])()(a f b f −
所以
∫
=b
a
dx x g x f )()(−∫b a
dx x g b f )()(+∫ξa
dx x g b f )()(∫ξ
a
dx x g a f )()(
∫=ξ )()(a
dx x g a f ∫+b
dx x g b f )()(ξ
因此结论成立．
例4 证明：∞→n lim
0sin =∫+dx x
x
p
n n ()0>p
证 取x x g sin )(=，x
x f 1
)(=，[]p n n x +∈,，据定理3，),(p n n +∈∃ξ，使得
=∫
+dx x x
p
n n
sin +∫ξ sin 1n xdx n ∫++p n xdx p n sin 1ξ
p
n p n n n ++−+
−=
)
cos(cos cos cos ξξ 而
n p n p n n n 4)cos(cos cos cos ≤++−+−ξξ，及∞→n lim 04
=n ，所以
0sin lim =∫
+∞→dx x
x
p
n n
n ． 从上面的例子中我们可以看到运用本文的定理，简化了他们的解答过程． 作者衷心感谢汪文珑老师的精心指导．
参考文献
1．华东师范大学数学系．数学分析[M]．上册．高等教育出版社．291-301．
2．B ．II ．吉米多维奇．数学分析习题集题解[M]．三．山东科学技术出版社．464-470．
Research of the mean value point for the integral mean value theorem
Lv liping
(Dept ．of Math ．Shaoxing College of Arts and Science ，Shaoxing ，Zhejiang ， 312000 )
Abstract: This paper improves
[]b a ,∈ξ to ()b a ,∈ξ on the mean value theorem for integral
and proves them with different methods. Furthermore, we give some applications.
Key words: the mean value theorem for integral ；the mean value theorem ；the mean value theorem for calculus;。