对数学建模的认识

浅谈对数学建模的认识

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浅谈对数学建模的初步认识

组员：吴超 10200115、

王芳10200114、

章超10200129、

信息与计算科学101班

浅谈对数学建模的初步认识

一．从现实现象到数学模型

模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。在现实生活中，我们会见到许许多多的模型，如：玩具、照片、飞机、火箭模型等这类实物模型；水箱中的舰艇、风洞中的飞机等这类物理模型；地图、电路图、分子结构图等这类符号模型。

数学模型的分类有很多不同的分法，如按应用领域分，有人口、交通、经济、生态等；按数学方法分，有初等数学、微分方程、规划、统计等；按表现特性分，有确定和随机、静态和动态、离散和连续、线性和非线性等等；按建模目的分，有描述、优化、预报、决策等。

数学建模就是建立数学模型的全过程：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。下图为数学建模全过程：

其中，表述是指根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题；求解是指选择适当的数学方法求得数学模型的解答；解释是指将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象；验证是指用现实对象的信息检验得到的解答。全过程就是一个从实践到理论，在从理论回到实践的过程。

二．数学建模的相关基本概念

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象有关信息、作出合理、简化的假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型(Mathematical Model)的全过程就称为数学建模(Mathematical Modeling)。即数学建模是一个由“模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型分析→模型检验→模型应用”的过程。

模型准备：即了解问题的时机背景，明确建模的目的；搜寻有关的信息，掌握对象的特征。

模型假设：针对问题的特点和建模的目的，做出合理简化的假设。

模型构成：用数学的语言、符号来描述问题。（使用类比发等）。

模型求解：应用各种数学方法、软件、计算机技术等。

模型分析：例如:对结果的误差分析或者统计分析，对模型对数据的稳定性分析等。

模型检验：用现实对象的信息检验得到的结果。

模型应用：因问题的性质和建模的目的而异。

而数学建模的具体应用可用下图直观的表达出来：

三．数学建模的重要意义

数学建模的重点在于“建模”。在人类发展史上，无论哪个领域都存在着“建模”的影子。例如物理学家为了研究天体的运行而建立的模型；生物学家为了研究遗传的奥秘而建立的DNA双螺旋结构等，这些都离不开“建模”。而数学建模是应用数学的方法来研究并解决问题。应用“数学建模”不仅仅解决了问题，在整个过程中，我们通过建模锻炼了分析问题、解决问题的能力，更有效率的发现问题的实质。

数学建模通常要求大家小组合作，集思广益。因此团队精神是成功的一个重要条件。依靠自身的能力可以解决的问题有限，知识也存在着局限，此时就看重团队的合作与协调能力。

数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模使得电子计算机出现并飞速发展，数学也以空前的广度和深度向一切领域渗透。如今，在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多新方向。

四．数学模型的方法与步骤

数学建模的基本方法有：

机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律；

测试分析：将对象看作“黑箱”,通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型；

二者的结合：用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数。

数学建模的一般步骤上面也有一些提到过了，也就是数学建模的一个过程，可以用下图表现：

五．基本实例简略分析

例：商人怎样安全过河？

三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自已划行，随从们密约，在河的一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全渡河呢？

这里是要用数学方法求解，一是为了给出建模的示例，二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比逻辑思索的结果容易推广。由于问题已经理想化了，所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证安全的前题下，在有限步内使人员全部过河，用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围确定每一步的决策，达到渡河的目标模型的过成。

1.模型的过成：

记第k次渡河前此岸的商人数为xk,随从数为yk,k=1,2,……，xk ,yk

=0,1,2,3，将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态，

安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合，允许状态集合记作S，不难写出 S={（x,y）|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2}-（1）

记第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量 dk = (uk,vk)定义为决策，允许决集合记作D，由小船的容量可知 D={（u,v）| u + v = 1 , 2 }-(2)

因为k为奇数时船由此岸驶向彼岸，k为奇数时船由此岸驶向彼岸，所以状态sk随决策dk变化的规律是：s(k+1) = sk + (-1)^k*dk-(3)

(3)式称状态转移律，这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策问题：求决策d∈D (k=1,2,……n)，使状态sk∈S按照转移规律(3),由初始状态

s1=(3,3)经有限n步后到达状态 s（n+1）=(0,0).

2.模型求解

根据（1）、（3）式通过计算机编写一段程序，来求解多步决策问题是可行的，不过当商人和随从数都不多的情况下还可以用图解法解此模型更为方便。

在xoy坐标系上画出如图所示的方格，方格点上的坐标同时也表示状态s= ( x , y ). 允许状态集是沿方格线移动1或2格，k为奇数时向左、下方移动，k 为偶数时向右、上方移动。要确定一系列的dk使由s1=(3,3)经过那些点最终移至原点（0,0),左图中给出了一种决策方案,最终有s =(0,0).