三维坐标变换

(b) 平行投影
图7-1 线段AB的平面几何投影
A 线 段
B
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5
S
S
S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
图7-2 平面几何投影分为透视投影和平行投影
平面几何投影可分为两大类：
透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的
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25
(1)沿x方向错切
1 0 0 0
TSHx

d g
1 0
0 1
0 0

0
0
0
1
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26
(2)沿y方向错切
1 b 0 0
TSHy

0 0
1 h
0 1
0 0
0 0 0 1
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27
(3)沿z方向错切
1 0 c 0
TSHz
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9
7.2.1 三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴 进行的几何变换
假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为 p'(x',y',z')。
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10
1. 平移变换
1 0 0 0
Tt


0 0
1 0
0 0 1 0
规范化投影变换
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规范化观察空间中的三维形体
三维裁剪
裁剪后的三维形体
正投影
二维坐标系下的图形
二维变换输出
输出设备上的图形
8
7.2 三维几何变换
a b c p
p' x'
y'
z' 1 p T3D x
y
z 1 d
h
e i
f j
q

r

l
m
n
s

第7章 三维变换及三维观察
提出问题
• 如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 • 如何进行投影变换 • 如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察
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1
7.1 三维变换的基本概念
7.1.1 三维齐次坐标变换矩阵
a b c p
T d
e
f
q

3D g h i r

0
0
0
1
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23
关于z轴的对称变换为：
1 0 0 0
TFz


0 0
1 0 0 0 1 0

0
0 0 1
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24
5. 错切变换
1 b c 0
TSH

d g
1 h
f 1
0 0
0 0 0 1
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17
(3)绕y轴旋转
cos 0 sin 0
TRY


0
sin
1 0
0
c os
0 0
z

0
0
0
1
X
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y
18
4. 对称变换 (1)关于坐标平面对称 关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
1 0 0 0
TFxy

0 0
1 0
0 1
z
2E F 2A B x
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z
3
H
1
G
Dy
C
1
x
Baidu Nhomakorabea
图7-6 比例变换
1 y
13
(2)整体比例变换
1 0 0 0
TS

0 0
1 0
0 1
0 0
0
0
0
s

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14
3. 旋转变换
z
y
X
图7-7 旋转变换的角度方向
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15
(1)绕z轴旋转
0 0
0 0 0 1
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19
关于yoz平面的对称变换为：
1 0 0 0
TFyz


0 0
1 0 0 0 1 0

0
0 0 1
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20
关于zox平面的对称变换为:
1 0 0 0
TFzx

0 0
1 0
0 1
0 0
平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及 通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平 面图形：三视图、轴测图。
观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变 换。
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4
投影中心、投影面、投影线：
A' 投影线
投影中心 B'
A 线段
B
A'
投影中心在 无穷远处
投影线
B'
(a) 透视投影
cos sin 0 0
TRZ

sin
0
c os
0
0 1
0 0
z

0
0 0 1
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y X
16
(2)绕x轴旋转
1 0
0 0
TRX

0 0
c os sin
sin c os
0 0
z
0 0
0 1
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y
X
Tx Ty Tz 1
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Z
(x,y,z) (x',y',z')
Y X
图7-5 平移变换
11
2. 比例变换
(1)局部比例变换
a 0 0 0
Ts

0 0
e 0
0 j
0 0
0 0 0 1
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12
例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中 a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。

l
m
n
s

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2
7.1.2 几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平 移、比例、旋转等变换后产生新的图形。 点的矩阵变换 线框图的变换 用参数方程描述的图形的变换
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3
7.1.3 平面几何投影
投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面 上得到二维平面图形。
6
平面几何投影
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三视图
正投影
正轴测
平行投影
斜投影
斜等测 斜二测
一点透视
透视投影
二点透视
三点透视
图7-3 平面几何投影的分类
主视图 侧视图 俯视图 正等测 正二测 正三测
7
用户坐标系中的几何形体 观察空间的定义
7.1.4 观察投影
用户坐标系到 观察坐标系的转换
观察坐标系中的三维形体
0 0 0 1
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(2)关于坐标轴对称变换 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
1 0 0 0
TFx

0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 0 1
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关于y轴的对称变换为：
1 0 0 0
TFy


0 0
1 0 0 0 1 0

0 0
1 0
f 1
0 0
0 0 0 1
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6. 逆变换
所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换
(1)平移的逆变换
1 0 0 0

Tt 1


0 0
1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
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(2)比例的逆变换 局部比例变换的逆变换矩阵为：