反应谱与时程比较

反应谱法与时程分析法在设计地震下的比较
摘 要：以反应谱法与时程分析法的原理为依据，结合实际桥梁单墩模型进行抗震分析，从而得出这两种方法的异同以及它们所适用的范围，并结合它们的优缺点，优化结构动力分析方法的优化。

关键词：反应谱；时程分析；单墩模型；设计地震 0 前言
在桥梁抗震计算中，早期采用简化的静力法，5O 年代后发展了动力法的反应谱理论，近2O 年来对重要结构物采用动力法的动态时程分析法和功率谱法进行研究也比较普遍，但目前常用的方法是线弹性反应谱法、弹塑性动力时程分析法和等效静力分析法等几种方法。

其中，反应普法和时程分析法在抗震分析中运用最为广泛。

1 反应谱理论 1.1 反应谱法原理
单质点体系在地面运动作用下，运动方程为[18]
：
..
.
g m x c x kx m x ⋅⋅
++=- （1）
(1)式中：
m —质点质量；
..
x —质点相对加速度；
.
x —质点相对速度；
x —质点相对位移。

根据单质点体系的振动理论，由Duhamel 积分可知： [][]..0
1
exp ()sin ()t t g x x t t d ξωτωττω=
--⋅-⎰
(2)
对上式微分两次可得加速度(在一般情况下，阻尼比ξ的数值很小，可略去
阻尼比的乘积项)，得到单质点体系的地震相对加速度反应的表达式。

最后得绝对加速度的表达式为：
..
..
..
()0
()()()sin ()t t g a D g D s x t x t x e t d ξωτωτωττ--=+=-⎰ (3)
进而得到作用在质点上的地震力为()a F t m S =⋅。

1.2 反应普法的优缺点
反应谱法以其概念清晰、计算简单而被广泛应用，至今仍是各国规范的基本计算方法。

反应谱法根据规范按四类场地土给出的设计反应谱进行计算，对于量大面广的常规桥梁，只取少数几个低阶振型就可以求得较为满意的结果，计算量少；并且反应谱法将时变动力问题转化为拟静力问题，易于为工程师接受，这些都是反应谱法的优点所在。

由于目前采用的反应谱法对结构地震力采用弹性反应谱理论，反应谱法的最大缺点是假定结构是弹性状态，原则上只适用于弹性结构体系。

然而地震是一种不经常发生的偶然荷载，一般允许结构在强烈地震中进入非线性状态，弹性反应谱法不能直接使用。

另外，地震反应谱失掉相位信息，经叠加得到的结构反应最大值是一个近似值，尽管可能是一个很好的近似值，但各种叠加方案都有一定的局限性，不是任何情况下都能给出满意的结果。

计算结果只能给出最大反应值，而不能给出发生反应的全过程。

在抗震设计中最大的内力反应是最受关注的，但相邻截面的最大反应或即使在同一截面上各个内力的最大反应发生的时刻各不相同，在结构强度或应力验算中应取发生在同一时刻的反应值，如最大弯矩相应的轴力和剪力，或最大轴力相应的弯矩和剪力等，这一点反应谱无法做到。

2 时程分析理论 2.1 时程分析原理
动态时程分析方法是随着强震记录的增多和计算机技术的广泛应用而发展起来的，是公认的精细分析方法。

目前，大多数国家除对常用的中小跨度桥梁仍采用反应谱方法计算外，对重要、复杂、大跨度的桥梁抗震计算建议采用动态时程分析法。

动态时程分析方法能够比较准确地确定结构在地震过程中结构的内力和位移随时间的反应，并发现结构在地震时可能存在的薄弱环节和可能发生的震害，它使桥梁的抗震设计从单一的强度保证转入强度、延性(变形)的双重保证，同时使工程师更清楚结构地震力破坏的机理和正确提高桥梁抗震能力的途径。

本章主要给出时程分析的理论介绍、时程分析的常用求解方法、时程分析时地震波的选取和ANSYS 时程反应的典型命令流。

在地震反应中，地面振动加速度是复杂的随机函数，同时在弹塑性反应中刚度矩阵和阻尼矩阵亦随时间变化，不可能对振动方程求出解析解。

对于这种有较复杂激振力，可采用逐步积分法求动力响应问题。

其基本思想是把时间离散化，如把时间区间T 分为t n T ∆=/的n 个间隔。

由初始状态t=0开始，逐步求出每个时间间隔末∆∆t t T ,,,2 上的状态向量(常由位移、速度和加速度等组成)。

最后求出的状态向量就是结构系统的动力响应解。

在这种方法中，后次的求解是在前次解已知的条件下进行的。

开始是假定t=0时的解(包括位移和速度)为已知，求出t ∆时的解，接着再以t ∆时刻的已知解计算t ∆2时刻的
解，如此继续下去。

在方程)()(t ma x x k x c x m g -=++ 中，{}{}{}x x x ,, 是未知量，如何由前一状态推知下一状态？这可以对{}{}{}x x x
,, 的变化规律给予某种假设。

对于不同的假设就形成了不同的方法，如线性加速度法，Wilson-θ法、Newmark-β法等。

2.2 Newmark-β法 2.2.1 基本假定
{}{}(){}{}[]t x x x x t t t t t t ∆+-+=∆+∆+ δδ1 (4)
{}{}{}{}{}22
1t
x x t x x x t t t t t t t ∆⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∆+=∆+∆+ αα (5)
式中，参数δ控制积分区间的起始加速度和终了加速度对速度变化过程的影响；参数α则控制这两个加速度对位移变化的影响。

α和δ的调整影响积分的精度和稳定性。

基本假定的实质是将动力方程在时域上离散，对时间作近似的插值化为差分格式。

2.2.2 计算步骤 (1)初始计算
① 形成刚度矩阵[]K ,质量矩阵[]M 和阻尼矩阵[]C 。

② 给定初始值{}{}{}000x
x x 、、。

③ 选择时间步长∆t 参数α和δ,并计算积分常数。

δ≥05. ()2
5.025.0δα+≥ αα021=
∆t
αδα1=∆t αα21=∆t αα3121
=- αδα41=- αδα522=-∆t ()
αδ61=-∆t ()
αδ7=∆t (6)
④ 形成有效刚度[]K ˆ
[][][][]C M K K 1
ˆαα++= (7) ⑤ 对刚度矩阵[]K ˆ作三角分解 [][][][]T
L D L K =ˆ
(8)
(2) 对每一时间步长 ① 计算t t +∆时刻的有效荷载
()(
)t t t t t t t t t t x x x C x x
x M R R 541320ˆαααααα++++++=∆+∆+
(9)
② 求解t t +∆时刻的位移
[][][]{}{}t t t t T R X L D L ∆+∆+=ˆ (10)
③ 计算t t +∆时刻的速度和加速度
{}{}{}(){}{}t t t t t t t x x x x x 320ααα---=∆+∆+
(11)
{}{}{}{}t t t t t t x x x x ∆+∆+++= 76αα (12)
若计算结构内力则可以把求得的各时刻位移代入刚度矩阵计算。

Newmark-β法的应用过程开始是选择参数β的数值。

纽马克建议取值范围为
2/16/1≤≤β，对于β=1/6，该方法与线加速度法完全相同，并且仅是条件稳
定的。

对β=1/4，该方法与假定时间步长内速度线性变化方法等价，并将在时间步长内要求平均加速度保持常量。

在β=1/4的情况下，Newmark-β法是无条件稳定的，并且可以给出满意的精度。

2.3 时程分析法的优缺点
动态时程分析法是随着强震记录的增多和计算机技术的广泛应用而发展起来的，是公认的精细分析方法。

目前，大多数国家的抗震规范规定除对常用的中小跨度桥梁仍采用反应谱方法计算外，对重要、复杂、大跨的桥梁抗震计算都建议采用动态时程分析法。

动态时程分析法从选定的地震动输入(地震动加速度时程)出发，采用多节点多自由度的结构有限元动力计算模型建立地震动方程，采用逐步积分法对方程进行求解，计算地震过程中每一瞬时结构的位移、速度和加速度反应。

动态时程分析法可以精确地考虑地基和结构的相互作用，地震时程相位差及不同地震时程多分量多点输入，结构的各种非线性因素(包括几何、材料、边界连接条件的非线性)。

此外，动态时程分析法可以使桥梁的抗震设计从单一的强度保证转入强度、变形的双重保证，同时使桥梁工程师更清楚结构地震动力破坏的机理和正确提高桥梁抗震能力的途径。

3 反应谱理论和时程分析法的异同及使用范围
与振型分解反应谱法相比，时程分析的产生已将抗震计算理论由等效静力分析进入直接动力分析，是一种飞跃。

在工程结构抗震设计中可用以更真实地描述结构地震反应，弥补反应谱法分析的不足。

与反应谱方法比较，时程分析的主要进展是：
反应谱法采用的设计反应谱只反映了地震动强度与平均频谱特性，而时程分析则全面反应了地震动强度、谱特性与持续时间三要素。

反应谱是基于弹性假设的，而时程分析直接考虑构件与结构弹塑性特性，可以正确找出结构的薄弱环节，以便控制在罕遇地震作用下结构的弹塑性反应，防止结构倒塌的发生。

反应谱法只能分析最大地震反应，而用时程分析可给出随时间变化的反
应时程曲线，由此可以找出各构件出现塑性铰的顺序，判别结构的破坏机理。

分析方法适用范
围
评注
反应谱法单振
型
规则桥
梁
仅对可视为单自由度的结构有效，适用于线弹
性反应问题，方法简单，可手算，为规范基本分析
方法之一。

主要缺点：无法反映地震动持时的影响。

多振
型
复杂桥
梁
规范采用的主要分析方法，一般需要依靠计算
机程序完成分析，适用于多自由度变线弹性系统。

主要缺点：存在振型组合问题，尚难考虑非一
致激励，其余同上。

等效
线性
化
一般用
于规则
桥梁
可估计非线性系统的最大反应，一般用于初步
设计，方法简单，可手算，在位移设计法中应用更
广。

主要问题：需更多的实践检验。

动态时程法弹性
复杂桥
梁
规范采用的主要分析方法，可同时计算结构弹
性反应的需求和能力，一般需要靠计算机程序完成
分析。

主要缺点：无法考虑非线性反应。

非弹
性
特别复
杂或关
键桥梁
可以考虑P- 效应和材料非线性，可同时计算
结构非线性反应的需求和能力，需要靠计算机程序
完成分析。

主要缺点：计算过程复杂，计算结果需分析和
校核。

表1 反应谱理论和时程分析法评价
4 单墩模型算例
4.1高墩的基本参数
某铁路高墩,墩身高为96m,为变截面,横桥向及截面内外均有放坡，墩身为C30号混凝土,纵向钢筋全截面配筋率为1%。

采用未开裂截面计算而得的桥墩第1周期为2.21s。

桥址位于7度区，50年超越概率10%的设计地震加速度
a=0.15g,Ⅱ类场地,特征周期为0.4s。

模型简化如图
1
图1 单墩模型图2 地震动加速度时程曲线
4.2 分析结果
输入图2所示设计安评地震波（峰值加速度0.15g）,与反应普结果比较如下
表2 反应谱与时程结果比较
图3 墩顶位移时程曲线图4 墩底横桥向剪力时程曲线
5 结论
用MIDAS结构分析软件进行单墩模型抗震分析，由以上内容可得出结论：反应谱分析结果大于时程分析出的结果，并结合两种方法原理，说明实际算例符合理论分析。

参考文献
［1］范立础，卓卫东，桥梁延性抗震设计［M］，北京，人民交通出版社，2001 ［2］范立础，桥梁抗震［M］，上海，同济大学出版社，1997
［3］李茜，王克海，韦韩，高墩梁桥地震反应分析［J］，地震工程与工程振动，2006
［4］卓卫东，范立础，从震害教训中反思我国桥梁抗震设计现状［J］，福州大学学报，1999(6)：7-1。