八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题难题同步练习
八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题难题同步练习
一、选择题
1．下列计算正确的是( )
A =
B ．3=
C 2=
D 2．下列计算，正确的是（ ）
A ．=
B ．=
C ．0=
D ．10= 3．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A B C D ．
4．下列各式中，运算正确的是（ ）
A ．=-=．2=D 2=-
5．估计( （ ） A ．4和5之间 B ．5和6之间
C ．6和7之间
D ．7和8之间 6．下列运算正确的是（ ）
A ．32-=﹣6
B 12-
C =±2
D ．=
7．x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥1
B ．x >1
C ．x ≤1
D ．x <1
8．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
9．若a =，2b =+a b 的值为（ ） A ．1
2 B ．14 C D
10．已知m ＝1n ＝1 （ ） A ．±3 B ．3 C ．5 D ．9
11．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A B C D
12．已知实数x 、y 满足2y =
，则yx 值是（ ） A ．﹣2 B ．4 C ．﹣4 D ．无法确定
二、填空题
13．若m
m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．
14．=___________．
15．设a ﹣b=2b ﹣c=2a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____．
16．计算（π-3）0-21-2（）的结果为_____． 17．已知a
a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．
18．+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.
19_____．
20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记
2
a b c p ++=，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题
21．计算 (1)2213113
a a a a a a +--+-+-;
(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值
(3)已知abc ＝1，求
111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值
【答案】（1）22223a a a --
--；（2）a =－3，b ；（3）1. 【分析】
（1）先将式子进行变形得到()()113113
a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ????--+ ? ?+-?
???，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；
（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11
b ab ab b
c b abc ab a ab a ==++++++，
2111
c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可. 【详解】
解：（1）原式=
()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ????-
-+ ? ?+-???? =1113a a -
-+- =()()()()3113a a a a -++-
+- =22223
a a a ----；
（20b =，
∴2a +6=0，b =0，
∴a =－3，b ；
（3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111
c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++， ∴原式=
1111a ab ab a ab a ab a ++++++++ =11
a a
b ab a ++++ =1.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
22．x 的值，代入后，求式子的值. 【答案】答案见解析.
【解析】
试题分析：
先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x 的值需要使原式有意义.
试题解析：
原式22
x x ==--
222x x x x x -=??-=- 要使原式有意义,则x ＞2. 所以本题答案不唯一,如取x ＝4.则原式＝2
23．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018．
【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013.
【解析】
试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的；
（22a 的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮
（22a （a ＜0）
（3）原式＝()23a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
24．（1）计算：1153208105 （2）先化简，再求值：(()228a a a a +--，其中134a =
． 【答案】（1）5-2）82-a ，3【分析】
（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】
（1）
=
=；
（2）(()8a a a a +--
2228a a a =--+
82a =-,
当14a =时，原式1824?=?-=??． 【点睛】
本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
25．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
1)1=，
1=，
1=，
1=??
（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）．
（2
（3
【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】
(1)根据规律直接写出,
(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.
(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.
【详解】
解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；
故答案为1=；
（2）原式111019==-=；
（3
-=
=，
< ∴
>．
本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.
26．（1|5-+；
（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．
【答案】（1）5；（2）4
【分析】
（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可．
【详解】
解：（15-+
5)=+
5=+
5=（2）由题意可知：5050b b -≥??-≥?
, 解得5b =
由此可化简原式得，30a +=
30a ∴+=，20c -=
3a ∴=-，2c =
22((534b a ∴+=--=
【点睛】
可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．
27．计算（1
（2）21)-
【答案】（1）4；（2）3+
【分析】
（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
解：（1）解：原式=
4=+
4=-
（2）解：原式()
22161=---
63=-+
3=+
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．
28．计算：（1）-
（2）
【答案】（1）21
【分析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可．
【详解】
解：（1）原式==
（2）原式3+21==
．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．
29．（1）计算)(2201113-??--?- ???
（2）已知,,a b c 为实数且2c =
2c ab -的值
【答案】（1）13；（2）12-【分析】
（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可；
（2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可．
【详解】
（1）)(2201113-??--?- ???
31=+?
=4+9
=13；
（2）根据二次根式有意义的条件可得：
∵()2303010a a b ?-≥??-≥??-+≥??
，
∴3a =，1b =-，
∴2c =
∴((
)2223112c ab -=-?-=-
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
30．先阅读下面的解题过程，然后再解答.
a ，
b ，使a b m +=，ab n =
，即22m +=
=
0)a b ==±>.
这里7m =，12n =，
由于437+=，4312?=，
所以22+==，
2===.
.
【答案】见解析
【分析】
应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．
【详解】
根据题意，可知13m =，42n =，
由于7613+=，7642?=，
所以2213+=
，=
=
==
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断.
【详解】
解：A
B 、
C 2÷=
2，故错误；
D ，故正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次根式的四则运算.
2．C
解析：C
【分析】
A 、
B 、
C 、根据合并同类二次根式的法则即可判定；
D 、利用根式的运算法则计算即可判定．
【详解】
解：A 、B 、D 不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
C =，故选项正确．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，应熟练掌握各种运算法则，且准确计算．
3．B
【分析】
可以根据最简二次根式的定义进行判断．
【详解】
A，原根式不是最简二次根式；
B
=，原根式不是最简二次根式；
C
2
==
D、=4
故选B．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键．
4．A
解析：A
【分析】
由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、-=A正确；
B=B错误；
C、2不能合并，故C错误；
D2
=，故D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．5．A
解析：A
【分析】
根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
(
=
，
∵<3，
∴<5，
故选：A .
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
6．B
解析：B
【分析】
分别根据负整数指数幂的运算、立方根和算术平方根的定义及二次根式的乘法法则逐一计算可得．
【详解】
A 、3311228
-==，此选项计算错误；
B 12
=-，此选项计算正确；
C 2=，此选项计算错误；
D 、，此选项计算错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂、立方根和算术平方根及二次根式的乘法，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数x -1≥0，解不等式即可．
【详解】
解：根据题意，得
x -1≥0，
解得x ≥1．
故选A ．
【点睛】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
8．A
解析：A
【解析】
根据题意得:|x 2–4x ，所以|x 2–4x +4|=0，
即（x –2）2=0，2x –y –3=0，所以x =2，y =1，所以x +y =3．故选A ．
9．B
解析：B
【分析】
将a 乘以
235235+-+- 可化简为关于b 的式子, 从而得到a 和b 的关系, 继而能得出a b 的值
【详解】
解：3(235)32352(235)4423523526
b a +-+-+-=?===+++- 14
a b ∴= 故选：B .
【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．
10．B
解析：B
【分析】
由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-，
223m n mn +-=2()5m n mn +-.
【详解】
由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-，
原式=22()525(1)93m n mn +-=
-?-==
故选B
【点睛】
考核知识点：二次根式运算.配方是关键. 11．A
解析：A
【解析】
试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A 、原式=
；B 、是最简二
次根式，不能化简；C 、原式=
；D 、原式=. 考点：最简二次根式 12．C
解析：C
【分析】
依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．
【详解】
y=，
∵实数x、y满足2
∴x＝2，y＝﹣2，
-?＝-4．
∴yx＝22
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
二、填空题
13．4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】
m== m==+1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
解析：4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m，
m
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
= ）22017）+2015
=（2017+2015
﹣2
=4030.
故答案为4030.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
14．+1
【分析】
先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.
【详解】
因为,
所以,
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二
+1
【分析】
先将3+,
()()()0000a a a a a a ?>?===??-
进行化简即可.
【详解】
因为(2231211+=+=+=+,
11=
==
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 15．15
【解析】
根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15.
故答案为：15.
解析：15
【解析】
根据题意，由
a ﹣b
﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=222222
2222
a a
b b b b
c c a ac c +++++﹣﹣﹣=222()()()2a b b c a c -+-+-
=15. 故答案为：15.
16．﹣6
【解析】
根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.
故答案为﹣6．
解析：﹣6
【解析】
根据零指数幂的性质0
1(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质
1
(0)p
p a a a -=≠，可知（π-3）0-21-2
（）=1﹣（3﹣）﹣
4×2
﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．
17．-4
【分析】
先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.
【详解】
解：当a ＝－＝－＝－3时，
原式＝a3+6a2+9a －(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(
解析：-4
【分析】
先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.
【详解】
解：当a
－3时， 原式＝a 3+6a 2+9a －(a 2+6a +9)－7a +3
＝a (a +3)2－(a +3)2－7a +3
＝7a －7－7a +3
＝－4．
故答案为：－4．
【点睛】
本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.
18．【解析】
【分析】
根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.
【详解】
∵=
∴，
即．
解得
．
【点睛】
本题考查了
解析：【解析】
【分析】
a ，
b ，
c 的三元方程组，解方程组即可.
【详解】
∴(2
2118=，
即2222118235a b c =+++++． 2222352118,2120,2540,2144,
a b c ab ac bc ?++=?=?∴?=??=? 解得15,4,18.a b c =??=??=?
154181080abc ∴=??=．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左
、
.
19．6
【分析】
利用二次根式乘除法法则进行计算即可．
【详解】
＝
＝
＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
解析：6
【分析】
=
=进行计算即可． 【详解】
＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
20．【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可．
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8．
所以三角形的面积S ＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主
解析：
【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝2
a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝2a b c ++＝4572
++＝8．
所以三角形的面积S．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无