福州大学数值分析课件

5、离散型r.vX的分布函数
设离散型r.vX 的概率函数是 P(X=xk ) = pk , 则 F(x) = P(X x) = k =1,2,3,…
xk x
p
k
由于F(x) 是 X 取 x 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.
例5
解:
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
常常表示为：
1 X 0 p 0.01 0.18
这就是X的概率分布.
2 0.81
例4. 某射手连续向一目标射击，直到命中为 止，已知他每发命中的概率是p ，求所需射击 发数X 的概率函数. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
设X为300台设备同时发生故障的台数， 300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努里概型. 可见， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01 . 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
3 3 3 5 2 1 3 2 3 5
2.定义: 一般地，我们给出如下定义: 定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机 变量X所取的一切可能值，称 P( X xk ) pk , k=1,2,… … 为离散型随机变量 X 的概率函数或分布 律，也称概率分布. 其中 pk (k=1,2, …) 满足： k=1,2, …
所以最可能成功的次数k=4
P400 (4) c400 (0.01) (0.99)
4
4
396
0.19635
当试验次数n很大时，计算二项概率变 得很麻烦，如例8等诸如此类的计算问题， 必须寻求近似方法。
我们先来介绍二项分布的泊松近似， 以后我们再介绍二项分布的正态近似.
3. 泊松分布
(一)、泊松分布(定义2.2.4)
X p
画 分布函 数图
0 1 2 1 1 1 3 6 2
概率函数图 分布函数图
P( X x ) F ( x )
1
1 2
12 13 1/ 3 1 6
0
O
16
O O
1
2
x
不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形， 在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).
，求 F(x).
F(x) = P(X x)
当
当
x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0
0 x < 1 时， 1 F(x) = P(X x) = P(X=0) = 3
例5
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
1 x < 2 时， 1 1 1 F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + = 3 6 2 当 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 当
例9 有一汽车站有大量汽车通过,设每 辆汽车在一天某段时间出事故的概率 为0.0001,在某天该段时间内有1000辆 汽车通过,求事故数不小于2的概率.
例10 设某国每对夫妇的子女数X服从参 数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超 过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇, 至少有3个孩子的概率。
P( X k) 1
k
应有


从中解得
ae
a
k 0
a≥0 k
k!
ae 1
这里用到了常见的 幂级数展开式
e
k 0
k
k!
3、表示方法
1 （1）列表法： 1 6 p 10 10
PK
再看例1
X 0
2 3 10
任取3 个球
（2）图示法
0.6 0.3 0.1
0
n=13,p=0.5 当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值，此时 (n+1)p与(n+1)p-1称为二项分布的最可能值。 如何得到上述结论？ 可见n很大时,频率为概率的可能性最大.
.. n
例8 设每个子弹击中目标的概率为0 .01， 问射击400发子弹时，击中目标的最可能 成功次数是多少？并求该次数所对应的 概率。 解：因为p=0.01,所以[(n+1)p]=[4.01]=4
例7 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏 的灯泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P( X k )C (0.8) (பைடு நூலகம். 2) , k 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X k ) e


k
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为 λ的 泊松分布,记作X~P(λ ). （ 1） P ( X k ) 0 不难验证： （ 2） P( X k ) 1
2. 二项分布
设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 用X表示n重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数，则
Pn ( k ) P( X k )C p (1 p)
k n k
n k
, k 0,1,, n
定义2.2.3 若随机变量X的概率分布为：
lim C p (1 pn ) e , k0,1,2, n k!
证明见教材P39.
定理的条件意味着当 n很大时，pn 必定 很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式：
C p (1 p)
k n k
n k

e
k
k!
其中 np
实际计算中， n 10, np 1 时近似效果就很好
, P(X 1) =P(X=0)+P(时数看作一次试验 X=1)
k 3 k
3k
“使用到1000小时已坏” 视为“成功” .每次试验, 2 =(0.2)3+3(0.8)(0.2) “成功”的概率为0.8
=0.104
二项分布的图形特点： X~B(n,p) P k 对于固定n及p，当k增 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.
F ( x)
1
1 2
12 13 1 / 31 6
0
O
16
O O
1
2
x
例6 设箱中装有5件产品,其中有2件次品, 其余为正品,现不放回地一件件取,直到取 完全部次品为止,求所取的次数X的分布列 及分布函数, 1 7 并求P ( X 1), P ( X ) 2 2 9 11 及P ( X ). 2 2 补P32例2.2.3
k 0
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
由泊松定理知，n重贝努里试验中稀有事 件出现的次数近似地服从泊松分布.
（二）、二项分布的泊松近似 定理2.2.1(泊松定理)：
pn ，则有 设 是一个正整数， n
k n k n n k k
例11 为保证设备正常工作，需要配备适 量的维修人员 . 设共有300台设备，每台的 工作相互独立，发生故障的概率都是0.01. 若在通常的情况下，一台设备的故障可由 一人来处理 . 问至少应配备多少维修人员， 才能保证当设备发生故障时不能及时维修 的概率小于0.01? 我们先对题目进行分析：
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01. 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
（1） pk 0, （ 2）
k k
p 1
用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数
例2. 设随机变量X的概率函数为： k P ( X k ) a , k =0,1,2, …, 0 k! 试确定常数a . 解: 依据概率函数的性质: 欲使上述函数为概率函数 P(X =k)≥0,
解:由题意,
X ~ p( ), 且P X 1 P( X 0) P( X 1) 3e
2
e e 3e 2
2


P( X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P( X 2)
2 2 2 2 2 1 e e e 1 5e 0.323 1! 2! 2 1 2
1
2
k
X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2
（3）公式法
3 k k C3 C2 P( X k) , k 0,1,2 3 C5
4、举例 例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求 他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18
. . . 0
n=10,p=0.7
n
当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在 k=[(n+1)p]达到最大值，此时[(n+1)p] 称为 二项分布的最可能值。
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
二项分布的图形特点： X~B(n,p) P 对于固定n及p，当k增 k 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, . . 随后单调减少. 0
Pn (k ) P( X k)Cn p (1 p)
k
k
nk
, k 0,1,, n
则称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p) 当n=1时，
P( X k ) 0 不难验证： （1）
n k 0
（2） P( X k ) 1
P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1 称X服从0-1分布
设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、概率分布
1.引入
设 X 是一个离散型随机变量，它可能 取的值是 x1, x2 , … . 为了描述随机变量 X ，我们不仅需 要知道随机变量X的取值，而且还应知道 X取每个值的概率.
例1
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是 0,1,2
C 1 取每个值的概率为 P ( X 0) C 10 3 且 P ( X i) 1 C C 6 P( X 1) i 1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 C3 C2 3 P( X 2) 3 随机变量取值的概率规律. C5 10

可见
P( X k)(1 p) p
k 1
k1,2,
这就是求所需射击发数X的概率函数.
P( X k)(1 p) p
k 1
k1,2,
若随机变量 X的概率函数如上式，则 称X具有几何分布(定义2.2.5). 不难验证:

(1 p)
k 1
k 1
p 1
故
x0 0, 1 , 0 x 1 3 F ( x) 1 , 1 x 2 2 x2 1,
下面我们从图形上来看一下.
注意右连续
0, 1 / 3, F ( x) 1 / 2, 1,
x0 0 x 1 1 x 2 x2
二.几种常见的离散型r.v的分布
1. 0-1分布(定义2.2.2)
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数， 则称X服从(0－1)分布(两点分布) 其概率分布为
P( X 1) p,0 p 1 P( X 0) 1 p q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1)
P ( X 2)P( A1 A2 )(1 p) p
P( X 3)P( A1 A2 A3)(1 p)2 p

设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X=1)=P(A1)=p,
P ( X 2)P( A1 A2 )(1 p) p
P( X 3)P( A1 A2 A3)(1 p)2 p