股指期货无套利区间模型及应用

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摘要

日前国务院、中国证券业协会原则上已经同意推出融资融券、股指期货，这将给中国期货业市场带来深远的影响。

本文从套利的基本原理出发，以套利实证分析为出发点，有意在期现套利方面做一些研究和探索，希望能给那些奋斗在金融市场的人们带来一些启发。

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股指期货无套利区间模型及应用

引言

套利对投资者而言，是一种充满魅力的交易策略。数以千计的个人投资者花费无数的心血和时间去找寻套利机会。如果某只股票在一家证券交易所以较低的价格水平买进，同时在交割的价格水平卖出。从而，价格将借此抬高，高价格也会相应被压低，该过程将持续到两种价格相等为止。

这是一个若干年前发生在一所大学校区里的套利情况的实例。在这所大学的社区内，有两家经营教科书的书店互相竞争。一家书店提供一种价格为10美元的特殊的平装书。在距此两栋楼远的另一家书店，该书的回购价格为10.50美元。套利不会持续很久，因为10美元的书很快就被卖空而被运到另一家书店。

上面就是一个典型的套利交易方式，每交易一本书净赚0.50美元。然而，现实生活中这样的机会少之又少，即使出现了也会很快消失。怎样才能抓住这稍纵即逝的机会是每位套利者非常关心的难题。恰逢值此融资融券、股指期货推出之际，本文从套利的基本原理出发，以套利实证分析为出发点，有意在这一方面做一些研究和探索，希望能给那些奋斗在金融市场的人们带来一些启发。

一、套利定义

套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下赚取较高收益率的交易活动。换句话说，套利是利用资产定价的错误、价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其他机制，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率提高。

二、基本的假设与基本符号

（一）基本假设

1．没有交易费用和税收。

2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。

3．远期合约没有违约风险。

4．允许现货卖空。

5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。

6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。

（二）基本符号

T ：远期和期货合约的到期时间，单位为年。

t ：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期的剩余时间。

S ：远期（期货）标的资产在时间t 时的价格。

T S ：远期（期货）标的资产在时间T 时的价格（在t 时刻这个值是个未知变量）。

K ：远期合约中的交割价格。

f ：远期合约多头在t 时刻的价值，即t 时刻的远期价值。

F ：t 时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格，在本文中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。

r ：T 时刻到期的以连续复利计算的t 时刻的无风险利率（年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利率。

三、完美市场下股指期货远期定价模型

股价指数可以近似看作是支付连续收益率的资产，为了给支付已知收益率的远期定价，我们可以构建两个组合。

组合A ：一份远期合约多头加上一比数额为()r T t Ke --的现金；

组合B ：()q T t e --个证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q 为该资产按连续复利计算的已知收益率。

在组合A 中，()r T t Ke --的现金以无风险利率投资，投资期为()T t -。到T 时刻，其金额将达到K 。这是因为： ()()r T t r T t Ke e K ---=。这样，远期合约到期时，这笔现金刚好等于一单位标的证券。组合B 拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加，在时刻T ，正好拥有一单位标的证券。因此在t 时刻两者的价值也

相等，即：

()()r T t q T t f Ke Se ----+= （1） ()()q T t r T t f Se Ke ----=- （2） 由于远期价格()F 就是使合约价值()f 为零的交割价格()K ，即当0f =时，K F =。因此公式（2）表明，支付已知收益率资产的远期价格：

()()r q T t F Se --=

这就是完美市场下股指期货远期合约的定价公式。

因此股价指数期货价格与股价指数现货价格之间必须保持如下关系，否则就存在套利机会：

()()r q T t F Se --=

如果()()r q T t F Se -->，投资者就可以通过购买股价指数中的成份股票，同时卖出指数期货合约来获得无风险套利利润。相反，如果()()r q T t F Se --<，投资者就可以通过卖空股价指数中的成份股票，同时买入指数期货合约来获得无风险套利利润。

四、完美市场下股指期货套利实例

例：假设S&P500指数现在的点数为1000，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%（连续复利），3个月期S&P500指数期货的市价为950点，3个月期无风险连续复利年利率为10%，请问如何进行套利？

在本例中，()()r q T t F Se --<，因此投资者可以通过卖空成分股买入指数期货来套利：

① 确定套利的金额（假定为1000万美元）；

② 按各成分股在指数中所占权重卖空成份股，总计金额为1000万美元； ③ 将卖空成分股所的款项1000万美元按无风险利率贷出3个月；

④ 买入20份3个月期S&P500指数期货；

⑤ 3个月后收回贷款本金，其利息收入为：

1000万（0.10.25e ⨯-1）=25.32万美元

⑥ 3个月后按市价买回成份股，平掉股票的空仓，假设此时指数现货点数T S 则股票现货盈亏为：

10001000T

S -⨯1000万