人教B版数学必修第二册练习：5.3.5 随机事件的独立性

[A 基础达标]

1.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )

A ．0.960

B ．0.864

C ．0.720

D ．0.576

解析：选B.可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864.

2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )

A ．1－a －b

B ．1－ab

C ．(1－a )(1－b )

D ．1－(1－a )(1－b )

解析：选C.设A 表示“第一道工序的产品为正品”，B 表示“第二道工序的产品为正品”，则P (AB )＝P (A )P (B )＝(1－a )(1－b )．

3．(2019·陕西省西安中学段考)从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为1

4.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的的概率是(假

定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )

A.1320

B.15

C.14

D.25

解析：选D.法一：所求概率P ＝15×34＋45×14＋15×14＝3＋4＋120＝820＝2

5.

法二：所求概率P ＝1－45×34＝1－35＝2

5

.

4．(2019·河南省郑州市中原区月考)一道竞赛题，A ，B ，C 三人可解出的概率分别为12，1

3，

1

4

，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为( ) A.124 B.1124 C.1724

D.1

解析：选B.所求概率P ＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝14＋18＋112＝11

24

.

5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，2

3

，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13

D.718

解析：选D.设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝1

2，

P (C )＝2

3，停车一次即为事件A －BC ＋A B －C ＋AB C －的发生，故概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－12×23＋13×12×⎝

⎛⎭⎫1－23＝7

18. 6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．

解析：从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )·P (N )＝160200×180240＝3

5

.

答案：35

7．已知A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B －C )＝1

8，P (AB C －)＝18

，则P (A －B )＝________．

解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （AB ）＝1

6

，

P （B －C ）＝1

8，P （AB C －）＝18

，

解得P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝1

4.

所以P (A －B )＝23×12＝1

3.

答案：13

8．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．

解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，3

4.

某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712`×34＝35

192

.

答案：35

192

9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为1

2

，求灯亮的概率．

解：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P ＝P (A －B －

)[1－P (CD )]＝P (A －)P (B －)·[1－P (CD )]＝12×12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝3

16

. 所以灯亮的概率为1－316＝13

16

.

10．有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验． (1)求恰有一件不合格的概率；

(2)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)．

解：设从三种产品中各抽取一件，抽到合格品的事件为A 、B 、C . (1)因为P (A )＝0.90，P (B )＝P (C )＝0.95， 所以P (A －)＝0.10，P (B －)＝P (C －

)＝0.05.

因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为：

P (A ·B ·C －)＋P (A ·B －·C )＋P (A －·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C －)＋P (A )·P (B －)·P (C )＋P (A －)·P (B )·P (C )＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.

(2)法一：至少有两件不合格的概率为

P (A ·B －·C －)＋P (A －·B ·C －)＋P (A －·B －·C )＋P (A －·B －·C －)＝0.90×0.052＋2×0.10×0.05×0.95＋0.10×0.052＝0.012.

法二：三件产品都合格的概率为P (A ·B ·C ) ＝P (A )·P (B )·P (C )＝0.90×0.952≈0.812.

由(1)知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P (A ·B ·C )＋0.176]＝1－(0.812＋0.176)＝0.012.

[B 能力提升]

11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是1

2，从两袋各摸出

一个球，则2

3

等于( )