高品质全四边形有限元网格生成的铺砌法

! "# & ! ! $
（.）
图+
边点
"， 其中， 内角分别为! ， （ $ 由节点 ’( ， ’ ’’ ， $ ’’ ’ ） ’# ， ’# & ! ， ’( & ! 构成一个 " " ! " ( )! ( ( &! " " ( ( &! ( &" 新单元加入到网格中。
!"! 关于节点的包含测试 由上述算法生成的新节点在其被加入到新的动态边界中之前需要通 过包含测试， 即需判断它是否落在由上一层网格单元所构成的边界内， 如 果不在边界内， 则需通过衰减处理将其修正。 包含测试可按图 , 所示进 行， 将点 - * 分别与 -( 相连， 构成向量 "( $ -( ) -* 。 假设 " -(-* -( & ! $ !( ，
・ (;9 ・
浙 江 工 业 大 学 学 报
第 "< 卷
!"# $ !"# 关于网格的缝合处理
! !&’ ( !&) %! %$!
%
（!!）
当所生成的一层单元中， 单元与单元之间发生重叠现象时， 需作缝合处理。 通过缝合处理， 消除 网格生成过程中产生的细缝现象， 从而避免由此引起网格形状太差的情况出现。 " # $ # ! 内部节点的缝合处理 当浮动边界上节点的内角小于某一给定的阈值时， 将会在网格中形成一细缝。 此时， 可按如图 通过合并节点 *# + ! ， 合并生成的节点 *’ 的坐 % 所示方法处理， *# ( ! 来消除由于小内角造成的细缝。 标可取为 ,’ $（ ,# + ! ( ,# ( !） - "。 " # $ # " 过渡缝合处理 当网格生成单元的相邻边长的比例过大时， 将会使在此基础上生成的网格产生畸变。 此时可以 通过嵌入单元， 改变节点连接来处理 （如图 !&） 。 在长边的 ! ’ ( 处增加一点 )， 连接 *) 和 )+ 并消除线 段 ),， 即形成一个新的单元 +,*)。 !"$ 关于网格的交叉处理 当波前向内推进的过程中， 新边界可能会自交或与其它边界相交。 通过合并或分割边界的办法 进行相交处理， 如图 !!。
由节点 ’( ) ! ， 和 ’( ， ’# ) ! ， ’# ， ’# ， ’# & ! ， ’# & " 分别构成两个新单元加入到网格中。 " ’ ( ) ! ’ (’ ( & ! ） 节点内角 &*** + ! # &+** 的节点称为转点。 对这类节点可 " ) ! ) & 转点： 由 & 个前一层网格节点生成 ( 个新节点， 如图 ( 所示， ! "# ! $ %! & ," "#$% ! ’ （(） （+） （,） 图( 转点
" ! "# ! $ ! "# & & ! ! "# & ! ! $ ! ! "# & " ! $ ! "# ! $ ! "# & ’ !
& ( & !， !， !， !， 其中， 内角分别为! ， （ $ ’ ’’ ） 由节点 ’( ， ’( ) ! ， ’# ) ! ， ’# ； ’( ， ’# ， ’# & ! ， ’# & " ’ - " - ’ ! " ( )! ( ( &! 和 ’( ， ’# & " ， ’# & & ， ’# & ’ 分别构成三个新单元加入到网格中。 节点内角 !"** + ! # "’** 的节点称为边点。 对这类 " ) ! ) ’ 边点： 节点可由 & 个前一层网格节点生成 " 个新节点， 如图 + 所示， ! "# ! $ %! & ," "#$% ! " %" & %& "#$% " " （-）
{
处理。 !"% 关于网格的封闭处理 当一个子波前的节点数 " 9 时需作封闭处理。 " # 9 # ! 封闭判断 如果铺砌边界上的节点数不大于 9， 则可进行下面的封闭处理。 " # 9 # " 封闭处理 由于节点数必须是偶数， 所以封闭处理可分成以下三种情况进行： （!）: / " 则删除之； （"）: / $ 则添加一个新单元； （(）: / 9 根据节点内角大小处理， 如图 !" 。
!"#$ %"&"’()*+& (,%+’*)$- .*)$ $*%$ /0(,*)1 /0(2’*,()"’(, ","-"&)# 0#*&% 3(4*&% -")$+2
./- 0123， 45 672$892， :-, ;7$<923
（ =188>3> 1? @>AB729A78 C D8>AEF9A78 D2392>>F923，GB>H9723 529I>FJ9EK 1? L>AB21813K，0723MB1N &!""&’， =B927）
第’期
贾
虹， 等： 高品质全四边形有限元网格生成的铺砌法
・ &(( ・
! "# ! $
%! & %" "#$% ! &
（"）
" ! "# ! （&） ! "# & ! ! $ ! （’） ! "# & " ! $ ! "# ! " !， !， 其中， 内角分别为! ， （ & " & ! 图& 终止点 图’ 角点
!
有限元计算区域边界的生成和表示
有限元计算的区域可用围绕它的边界来描述， 如图 + 所示。在描述
边界时， 外轮廓线按逆时针转向， 内轮廓线按顺时针转向旋转， 生成一个 环表。轮廓线可通过在屏幕上直接绘制或通过数据文件的方式得到。然 后输入每一个边界分段的内插节点数和相邻单元的尺寸比例， 让程序自 动生成边界分割。区域内部单元生成时， 以边界分割为依据， 并使单元尺 寸平滑过渡。 图+ 有限元计算区域
图%
内部节点的缝合处理
图 !&
过渡缝合处理
图 !!
网格的交叉处理
设
（ .）/ 0 1 2. （& " . " !） {3 （ 4）/ 5 1 64 （& " 4 " !）
（!"）
其中 0 / -! ， 2 / -" 7 -! ， 5 / 3! ， 6 / 3" 7 3! 令 0 1 2. / 5 1 64， 求解 .， 4 （ 5 8 6） ・0 . /7 （ 5 8 6） ・2 （!(） （0 8 2） ・5 4 /7 （0 8 2） ・6 如果， 表示发生了交叉， 通过合并或分割， 以及缝合、 光滑处理来完成交叉 & " . " !， & " 4 " !，
贾 虹， 卢炎麟， 高发兴
（浙江工业大学 机电工程学院，浙江 杭州 &!""&’）
摘要： 提出了任意二维区域的全四边形网格生成的铺砌法。该方法生成的网格具有较少的 不规则节点， 形态良好的边界单元和较好的网格质量。文中介绍了该方法的算法实现， 并 给出了实例。 关键词： 网格生成；四边形单元；有限元法 中图分类号： ,&%’ 文献标识码： -
. .
如果$!( $ *， 则点 -* 在多边形外； 如果 $!( $ " ， 则点 -* 在多边形 !
($! ($!
图,
包含测试
内。 式中"( 可通过下式计算： "( / "( & ! !( $ /0123 " ・ " ( ( &! !"# 关于网格的光滑处理 为保证生成的网格单元尽量接近于矩形， 且单元尽可能均匀地过渡， 从而为下面新网格单元的生成创造条件， 必须随时对新生成的边界进行 光滑处理。 处理方法如图 - 所示， 图处理方法 （!*）
［!］ 角划分法、 四叉树法、 前沿位移法等 ， 有些方法已被装入现代有限元分析程序包。对二维问题的
收稿日期： 修订日期： ’""" ) "& ) !&； ’""" ) "* ) !( 基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （(*++("&!） 作者简介： 贾 虹 （!*+& ) ） ， 女， 硕士， 浙江工业大学机电工程学院。
"
四边形网格生成的铺砌法
用铺砌法直接生成四边形网格的基本步骤是： （+）以现行边界为波前， 沿区域的边界按铺砌规则铺砌一
层单元， 然后经优化， 生成形状接近于矩形的四边形单元； 进行 封闭判断， 满足封闭条件则转入步骤 （,） ； （*）若本层单元无重叠现象发生， 则将波前推进一层， 继 ； 若出现重叠现象， 则转入步骤 （-） ； 续步骤 （+） （-）进行波前的交叉处理， 得到更新的区域边界， 转到步 骤 （+） ， 直至完成对整个目标区域的划分； （,）进行封闭处理。 基本算法流程如图 * 所示。 下面对铺砌过程中的一些具体算法作如下讨论： "#! 关于网格节点的生成 网格新节点的生成可以根据波前节点的类型， 分别按下面 方法处理： 节点内角! ! +*/! 的节点称为终止点。 对这类 * . + . + 终止点： 节点可由 - 个前一层网格节点生成 + 个新节点， 如图 - 所示 " #$ " % &+ ’ &* *01& ! * （+）
第 ’X 卷第 % 期 ’""" 年 !’ 月
浙江工业大学学报
.,5YZ-4 ,; G0D./-Z: 5Z/[DY\/L6 ,; LD=0Z,4,:6
[18V ’X Z1V % U>A>RT>F ’"""
文章编号： （’"""） !""#$%&"& "%$"&(&$"(
高品质全四边形有限元网格生成的铺砌法
・ -2, ・
浙 江 工 业 大 学 学 报
第 *3 卷
四边形单元生成来说， 目前用得比较多的方法主要是基于 !"#$%&$’ 三角化的三角形单元生成和基 于三角形合并或分解的四边形单元生成方法。但是， 用这种方法所生成的四边形网格存在两个缺 点， 即容易出现较多的奇异点和边界单元的形状比较差， 从而影响网格的质量。为了获得高品质的 四边形单元网格， ［*］ 中提出了铺砌法， 本文给出了铺砌法实现中的一些具体计算方法， (") 在文献 并在微机上实现了对平面任意多连域进行有限元全四边形高品质单元的全自动剖分。
!
前
言
在船舶、 海洋工程、 航空、 航天、 机械、 土木、 化工、 电力、 电子等工程领域中， 经常会遇到对结构 的强度、 刚度、 振动和动力响应， 或者对流场、 电磁场等进行有限元分析计算的问题。有限元应用的 一个瓶颈问题就是有限元建模问题， 即对所分析计算的几何区域进行单元划分， 形成有限元网格， 并输入有关数据。在早期的有限元程序中， 需一行行一列列地填写数据， 十分麻烦， 不仅工作量大， 而且容易出错。因此， 对于各种有限元分析程序， 都迫切需要有配套的程序来实现单元的自动生成 和有限元自动建模。 近 ’" 年来， 已研究出很多种有限元网格自动生成的计算方法， 如映射法、 填充法、 U>87N27K 三
第P期
贾
虹， 等： 高品质全四边形有限元网格生成的铺砌法
・ #QD ・
Βιβλιοθήκη Baidu
图 !"
封闭处理
!
有限元计算模型的建立和计算实例
有限元计算模型中不仅包括结构数据 （节点和单元数据） ， 而且要有约束、 载荷及材料特性数
据。所以， 用单元自动划分模块产生的结构数据， 需加上这些数据后， 才能输入到有限元计算程序 中进行计算。 图 !# 是用本文的计算方法生成的四边形网络的几个实例。
56#)’(7)： O7J>P 12 L>P’ J Q7I923 R>EB1P， 7831F9EBR ?1F 3>2>F7E923 B93B SN789EK R>JB>J 1? SN7PF987E>F78 >8>R>2EJ ?F1R 7FT9EF7FK ’ ) U 3>1R>EFK 9J QF>J>2E>P V D<7RQ8>J 7F> 39I>2 V LB> F>JN8EJ JB1W EB7E EB> 78$ >3 V 2>7F8K JSN7F> >8>R>2EJ， ?>W>F 9FF>3N87F 21P>J， 31F9EBR QF1I9P>P 92 EB> Q7Q>F B7J J1R> 7PI72E73>J， >EA V 8"1 .+’2#： R>JB 3>2>F7E912；SN7PF987E>F78 >8>R>2E；?929E> >8>R>2E R>EB1P
其中， 内角为! ， （ % 由节点 () * + ， ( (( ） () ， () ’ + ， ($ * ! " ) *+ ) ) ’+ 构成的新单元加入到网格中。 节点内角 *,/! + ! ! -//! 的节点称为角点。 对这 * . + . * 角点： 类节点可由 - 个前一层网格节点生成 - 个新节点， 如图 , 所示， 图* 控制流程
图 !#
四边形网络的计算实例
"
结
论
利用本文所给出的关于铺砌法的计算方法及作者开发的有限元单元全自动生成模块， 可以对 任意复杂的二维多连域进行全四边形单元的全自动生成。产生的单元形状接近于矩形、 边界上单 元的方向沿边界的切向、 区域内不规则点较少， 因此具有良好的计算性能。 参考文献：