D3 有界线性算子

T 为闭算子．
3.1.4 有界线性算子的基本定理
定理3.8 (闭图像定理 ) 设 X, Y 为Banach空间, 若线性算子 T : X �Y 是闭的, 则它必定是有界的 .
3.2 有界线性泛函及其表示
3.2.1 Hanh-Banach泛函延拓定理 3.2.2 对偶空间与泛函表示 3.2.3 伴随算子
第3章 有界线性算子
3.1 3.2 3.3 有界线性算子和算子空间 有界线性泛函及其表示 有限维线性空间
3.1 有界线性算子和算子空间
3.1.1 有界线性算子的概念和例子 3.1.2 有界线性算子的连续性 3.1.3 有界线性算子空间 3.1.4 有界线性算子的基本定理
|| Tx || ≤ c || x ||
定理3.9 (Hanh-Banach泛函延拓定理 ) 设M 是赋范 线性空间 X 的子空间, f 为M 上的有界线性泛函 , 则存在 X 上的有界线性泛函 F, 使得 (1) F 是 f 的延拓, 即∀ x � M , 有 F(x) � f (x); (2) F 是保范的 , 即 ||F||X � || f ||M , 其中||F||X 表示F 在 X 中的范数 , 而 || f ||M 表示 f 在 M 中的范数 ．
3.2 有界线性泛函及其表示
赋范线性空间. 称 X 上有界线性泛函的 设 X 是 F上的 上的赋范线性空间 或共轭空间. 全体 X *为 X 的对偶空间 对偶空间或 10 赋范线性空间 X 上有界线性泛函 f 的范数
| f (x ) | | |f | |= sup = sup | f ( x ) |= sup | f ( x ) | , x∈ X | |x | | x∈ X x∈ X
3.1.1 有界线性算子的概念和例子
定义3.2 设 X 和 Y 为两个赋范线性空间 , T : X→Y 是有界线性算子 , 令
| | Τx| | | | Τ | |= sup , |x | | x∈ X |
x≠0
则称 ��T �� 为算子T 的范数 或T 的算子范数 . 的范数或 当 X �{0}时, 规定 ��T �� � 0 . 例3.1 设 I: X →X 是恒等算子 , 则 �� I �� � 1. 例3.2 设O: X→Y 是零算子, 则 当X �{0} ��O�� � 0. 时范数为 0 的有界线性算子必定是零算子 .
f ( xk ) = ck (k = 1, 2,..., n) 当且仅当∀ t1, t2, �, tn � F, 有
n n k k
| |f | | ≤ α,
∑t c
k =1
≤α
∑t
k =1
k
xk .
3.2.2 对偶空间与泛函表示
例3.7 在等距同构意义下 , (�n, ||•||2)*� (�n, ||•||2) . 在等距同构意义下 , 还有 (�n, ||•||2)*� (�n, ||•||2) ; (�n, ||•||)*� (�n, ||•||), (�n, ||•||)*� (�n, ||•||). 例3.8 在等距同构意义下 , (l 1)* � l ∞. 这里l ∞ 为有界序列的全体 , 范数
3.1.3 有界线性算子空间
设 X , Y 是在同一个数域 F 上的两个赋范空间 , (X,Y) 表示 X 到 Y 的全体有界线性算子组成的集合 . ∀S, T∈ (X,Y), ∀α∈F, 令 S + T 和 αT 为 (T + S )x � Tx + Sx , (αT )x � α Tx , ∀x� X , 线性空间, 称为 有界 则 (X,Y) 按此线性运算成为 F 上的 上的线性空间 称为有界 线性算子空间. ∀T∈ (X, Y), 令
| |Tx | | | |T | |= sup , |x | | x∈X |
x ≠0
则 ( (X,Y), ||•|| ) 成为 赋范线性空间. 成为赋范线性空间
3.1.3 有界线性算子空间
定理3.3 设 X 为赋范线性空间, Y 为 Banach 空间, 则 (X ,Y ) 为 Banach 空间. 推论 设 X 为赋范线性空间, X * 是 X 上 有界线性泛 函的全体, 则 X * 是Banach 空间. 定理3.4 设 X 为赋范线性空间, S, T∈ (X, X), 则S 与T (复合 ) ST∈ (X, X), 且 ST 的范数满足 次乘性： 的乘积 乘积( 复合) 的范数满足次乘性 ��ST �� � ��S �� ��T �� .
T � (X,Y), 且T 是满射, 则T 将X 中的开集映成 Y 中的开集 (称T 为开映射).
3.1.4 有界线性算子的基本定理
定理3.7 (Banach逆算子定理 ) 设X, Y 是Banach 空间, T � (X, Y ), 且为双射, 则T 的逆算子 T -1 是有界线性算子 . 定义3.3 设 X, Y 为度量空间 , M� X, T: M�Y , 称 X �Y 的子集 G(T) �{(x, T(x)) | x � M }为T 的 图 闭图像; 若G(T)是 X�Y 的闭子集, 则称T 具有 具有闭图像 像. 特别当T 为赋范线性空间上的线性算子时 , 也称
3.1.1 有界线性算子的概念和例子
定义3.1 设 (X, ||•||X ) 和 (Y, ||•|| Y )是两个赋范线性空间, T : X→Y 是线性算子. 如果存在常数 c � 0, 使得 "x∈ X, 有界线性算子. 均有 || Tx||Y � c || x|| X , 则称 T 是 X 上的 上的有界线性算子 线性泛函. 当Y � � 或� 时便称 T 是有界 有界线性泛函 定理3.1 设 T : (X, ||•|| X ) → (Y, ||•|| Y )是线性算子, 则 T 有 界当且仅当 T 将 X 中任意有界集映成 Y 中有界集. 注 “线性算子有界”是指把有界集映成有界集 , 而微积分 中“函数有界”是指函数的值域有界, 这是两个不同的概念. 例如, �上的函数 f (x) � 2x 是无界的, 但作为赋范线性空 间(�, ||•||1 )到自身的线性算子 f : x #2x 却是有界的.
∫
b
a
x(t) y(t)dt ≤
p
(∫
b
a
|x(t ) | dt
q
p
) (∫
b
a
q |y(t) | dt , ∀x ∈ Lp[ a, b], ∀y ∈ Lq[ a, b] .
)
1 1 例3.9 (l , ||•||p ) � (l , ||•||q) , 1� p, q��, + = 1 . p q
1≤ j ≤ n
i =1
3.1.1 有界线性算子的概念和例子
例3.5 设 C1[0,1]是[0,1]上具有连续一阶导函数的函数的 全体. 微分算子D: (C1[0,1], ||•|| � )→(C[0,1], ||•||� )定义为
dx (t ) x (t ) a , dt
则 D 是线性算子, 但不是有界的. Hint ∀c �0, n∈�, n �c, s.t. xn(t)� t n 满足 || Dxn|| ∞ � n �c.
*
例3.10 (Lp[a,b], ||•|| p )*� (Lq[a,b], ||•|| p), 1� p, q��1 , + 1 = 1.
p q
3.2.2 对偶空间与泛函表示
设 X 为内积空间 , 则"y � X, 都可以唯一定义
X 上的一个线性泛函 f : f (x) � � x, y �, "x � X ,
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3.2.1 Hanh-Banach泛函延拓定理
推论3 设X 是赋范线性空间, 则"x�X, x 的范数可表成 | f (x)| | |x | |= sup . |f | | f ∈X * |
f ≠0
因而, 若x� X 使得 ∀ f � X *, 有 f (x) � 0, 则 x � 0． 例3.6 (矩量定理) 设 x1, x2,�, xn 是赋范线性空间X 中的 线性无关的元素, c1,c2,�, cn �F, α ≥0, 则存在 f �X *, 满足
x≠0
| |x | |=1 | | x| |≤ 1
. | f ( x ) |≤ | |f | || |x | | (∀ x ∈ X )
的. 有界的 20 赋范空间 X 上线性泛函 f 是连续的 ⇔ f 是有界 30 X 的对偶空间 X *是 Banach 空间.
3.2.1 Hanh-Banach泛函延拓定理
| | x| |≤1
存在 c �0, 使得 如果存在 30 如果 (1) ∀x � X, 有 ��Tx �� � c ��x�� ;
(2) ∃ x0 � X, x0 � 0, s.t. ��Tx0 �� � c �� x0 ��, 则 ��T�� � c .
3.1.1 有界线性算子的概念和例子
例3.3 积分算子 T : (C[a,b], ||•|| � ) → (C[a,b], ||•|| � ) 为
3.2.1 Hanh-Banach泛函延拓定理
推论1 若M 是赋范线性空间X 的子空间, x0� X \ M , 且
h = inf | |x − x0 | | > 0, 则存在X 上的有界线性泛函 f , 满足 x∈M
(1) ∀ x � M , 有 f (x) � 0 ; (2) f (x0) � h ; (3) �� f �� =1. 推论2 设 X 是赋范线性空间, 0 � x0 � X, 则存在 X 的 有界线性泛函 f , 满足 (1) f (x0) � �� x0 ��; (2) �� f �� �1．
3.1.1 有界线性算子的概念和例子
10 ∀x � X , 有 ��Tx�� � ��T�� ��x��. 20
x ≠0
| | x| | =1
| |Tx | | | |T | | = sup = sup | | Tx | | = sup | | Tx | | . |x | | x∈X x∈X | x∈X
3.1.2 有界线性算子的连续性
定理3.2 设 X 和 Y 为赋范线性空间, T : X�Y 是线性算 子, 则 (1) 如果 T 在某一点 x0 � X 处连续, 则 T 在 X 上连续; (2) T 为连续算子 ⇔ T 为有界算子. 推论 设 X 和Y 为赋范线性空间, T :X�Y 是有界线性算 子, 则 (1) 若{xn}� X , xn �x0 , 则 Txn �Tx0 ; (2) T 的零空间 �(T ) �{x � X | Tx = 0 } 是闭的.
x (t ) a
∫
t
a
x ( s )ds ,
则 T 是有界线性算子, 且 ��T �� � b - a . 例3.4 设 A� [aij]∈�m×n , 定义T : (�n, ||•|| 1 ) � (�m, ||•|| 1 ) 为 Tx � Ax , 则T 是有界线性算子 , 且
m
| |T | |= max ∑ |aij |.
3.1.4 有界线性算子的基本定理
定理3.5 (Banach-Steinhaus一致有界原理 ) 设 X 是Banach空间, Y 是赋范线性空间 , {Ti � i � I }是 一 | |Ti x | | < ∞, 族X 到Y 的有界线性算子 . 若"x� X,sup i∈I 则{ ��Ti �� | i � I }是有界集 . 定理3.6 (开映射定理 ) 设X, Y 都是Banach空间,
| |x | | = sup |ξi | ,
i∈
∀x = (ξ1 ,ξ2 ,K) ∈ l .
∞
3.2.2 对偶空间与泛函表示
Hölder 不等式
∞ 1 p
1 1 设1� p, q��, 且 + = 1 , 则 p q
1 q
∞ ⎛ ∞ ⎞ ⎛ p q⎞ p q ξ η ≤ | ξ | | η | , ∀ ( ξ , ξ , K ) ∈ l , ∀ ( η , η , K ) ∈ l ∑ i i 1 2 1 2 ⎜∑ i ⎟ ⎜∑ i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ 1 p 1 q
且 �� f �� � �� y �� , 即 f � X * ． 定理3.10 (Riesz表示定理) 设 X 为 Hilbert 空 间, 则 "f � X *, 存在唯一的 y� X, 使得 "x � X, 有 f (x) � � x, y �, 且 �� f �� � �� y �� ．