概率论与随机过程----第二讲

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第二节 测度与概率

i 1,2, , Ai A j i j , 且 Ai ，有： 若 Ai ，
i 1

Ai Ai i 1 i 1

则称在 上具有σ -可加性，即完全可加性，也称为 上的σ -可加集函数或广义测度。
若 A ，则 B \ A B A （可减性）
若是测度，则 A B（不降性）
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第二节 测度与概率
4.（半可加性）为集代数，φ是有限可加测度， Ai
i 1,2,n, A，A Ai，则：
A
n
A
i i 1
n
i 1
证明：略，见P11
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第二节 测度与概率
5. （次可加性） 为集代数，φ是有限可加测度， Ai
i 1,2, , A，A Ai，则：
A

A
i i 1

i 1
第二节 测度与概率
定理1.2.1 设φ为上的集函数
1. 若φ是有限可加或σ -可加的，且 ，则 () = 0； 2. 若φ是σ -可加的，且 ，则φ是有限可加的；
3. 若为集代数，φ有限可加或σ -可加， A,B ， 且
AB，则：
B A B \ A
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第二节 测度与概率

若对每一A ， (A) 取有限值，则称为 上的有限集函数；若对每一A ，存在一集
合序列{An} ，使：
A
A ， A , n 1,2,
n n n 1
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则称为上的σ-可加集函数。
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第一节 集合代数和σ -代数
有时验证某集合类是否为包含某集代数的单调类也比 较困难，因此再引入λ-系、π-系的概念，借助于λ-系、π系来判断某一集代数是否为单调类，从而进一步判断这 个集合类是否为σ -代数，以保证该σ -代数中的每一个 集合都是随机事件，那么该σ -代数即为概率函数的定义 域。 定义1.1.6 设由Ω的一些子集组成的非空集合类，若：
证明：第一部分：根据单调类的定义，只需证明：
若An Æ ，n 1,2,且An ，有
（可适当讲解）
A Æ
n n 1

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第一节 集合代数和σ -代数
第二部分：欲证λ-系+ π-系σ-代数 根据定理1.1.5：集代数+单调类σ-代数 所以只须证明为集代数即可。 由λ-系的定义，只须说明：
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第二节 测度与概率
推论 若ν是集代数上的测度，则上述定理的结 论成立。
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1. 2. 3.
（1.1.2）
下面只需证明对每一个Aλ ()， 说明λA =λ () λA 为λ-系 λA是包含的λ-系 λA是包含的最小的λ-系，即λA =λ ()
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1. 欲证λA 为λ-系 Ω λA （显然， Ωλ()，对任意取定的Aλ()，A
称0为包含的最小λ-系，记为λ()
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.9 若是π -系，则： λ ()=σ () 证明：由于σ -代数一定是λ -系，则σ (）λ (） 根据定理1.1.7 λ-系+ π-系σ-代数 只需说明λ ()为π -系，即对有限交运算封闭。 与定理1.1.6类似，对任意的Aλ ()，构造辅助集合类 λA={B：Bλ()，AB λ()}

3. 若An Æ ，n 1,2,且An ，有 则称为λ-系。
A Æ
n n 1
由以上定义可知： σ-代数一定是λ-系。 定理1.1.7 若是λ-系，则它是单调类；若既是λ-系， 又是π-系，则它是σ-代数。
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第一节 集合代数和σ -代数
特别地，若A，而是π -系，有：
A B λ ()，则B λA ，则λA 一般地，若Aλ ()，则AλB
由1.1.2的对称性，有BλA，则λA )
3. λA是包含的最小的λ-系，即λA =λ ()
（只需证明λA λ ()即可，由λA 的构造，显然）
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第二节 测度与概率

若
i 1,2, n , Ai Aj i j , 且 Ai ，有： Ai ，
i 1
n
Ai Ai i 1 i 1
n n
则称在 上具有有限可加性，也称为 上的有限可加 集函数。
1. Ω ； 2. 若 A,B ，A-B ；
而A-B=A-(AB) ABA 因此： A-B
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.8 设是由Ω的一些子集组成的非空集合类，则存 在唯一的λ -系0，满足：
1. 0； 2. 对包含的任一λ-系，有0
若A，B Æ，有A B Æ，则称Æ为 系。
（π-系是一个比集代数还要弱的概念）
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第一节 集合代数和σ -代数
定义1.1.7 设是由Ω的一些子集组成的非空集合类，若 满足：
1. Ω ； 2. 若 A,B ，AB，有B\A ；
第二节 测度与概率
若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可加
测度； 若集函数为σ -可加且只取非负值，则称为测度，用μ或 ν表示； 具有性质 Ω 且ν(Ω)=1 的测度，称为概率测度或概率， 用P表示。 一般情况下取为集代数或σ -代数，下面讨论集函数 与测度的性质。
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第一节 集合代数和σ -代数
简单回顾上一讲的内容： 1. 集代数、σ -代数、单调类、 ()、μ()的定义 2. 它们之间的关系
σ -代数（可列可加） 集代数（有限可加）
σ -代数 单调类 集代数+单调类 σ -代数 μ()、 () 是存在且唯一的 是集代数，μ() = ()
Ω=Aλ() ）
若B,C λA且B C，有B\C λA
（ 由B,C λA， 有B,Cλ() ，且对任意 取定的Aλ()，有A B,A Cλ() ； 然而A B A C ，必有(A C)\ (A B) λ() 即(A C)\ (A B) =A (C\B) λ()，即C\B λA
第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.10 设，是由Ω的一些子集组成的非空集合类， 且
1. 若为λ -系, 是π -系，则：σ () 2. 若为单调类, 是集代数，则： σ ()
证明1：由于 ，是包含的λ -系
则也包含所生成的最小λ -系λ ()，即λ () 而是π -系，由定理1.1.9：λ ()= σ ()
则：σ ()
证明2：略，见P6。
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第一节 集合代数和σ -代数
五、乘积空间和乘机σ -代数
自学，略
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第二节 测度与概率
一、测度及其性质
首先引入集函数、广义测度和测度的概念。 定义1.2.1 设是由Ω的一些子集组成的非空集合类，若对 每一个A ，有一实数或者∞与之对应，记为(A) 且至少有一A ，使其取有限值，称(A) 是定义在上 的集函数。 （集函数和普通的函数差别为定义域为集合类）。
若BnλA，n=1,2,…，且Bn，有：

B
n 1
n
λA
（由BnλA ，则A Bnλ() ，且A Bn
n 1 2017/2/27
A B
n

λA）
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第一节 集合代数和σ -代数
2. λA是包含的λ-系
（λA ，只要证明对任意的B B λA 由B λ ()，Aλ ()