离散数学(刘任任版)第5章答案.ppt

b) 假设对于小于p的自然数，结论成立。
c）在p阶连通图中任取一个顶点v。设G-v共有k个分支，
且每个分支有Pi个顶点， i 1. k
Pi<P, i 1. k 。
于是由归纳假设可知G[Vi]至少有Pi-1条边，
，
从而G-v至少有(P-1)-k条边。故G至少有P-1条边。
16.(2)设G（p,q）是连通图，求证:若q > p – 1,则G 中必含回路;
V2 {v V(H) v V2} 显然V (H ) V1V2, ， 且 V1V2 。
因此 H H (V1 V2) 。
15、设G（p,q）是简单图，整数n满足1< n <p – 1,求证:若p≥ 4,且G的所有n 个顶点的导出子图均 有相同的边数,则 G K p 或 G K p .
证明：若G K p 和 G K p 均不成立，
证明：设 q p 1。
若G不含回路，则必有v1 V (G) 满足d(v1) 1。于是 G1 G v1 仍连通且无回路，而 G v1恰有 q 1条
边。如此下去，G p1 G {v1 , v2 , , v p1}
连通无回路且 G p1 恰含 q ( p 1)条边，一个顶
点 即qvp，p此时1。G p此1与是q一个p平凡1图矛。盾从。而故qG必(p 含1)回 0路。
(G) 2q / p (G)
p
∵ 2q
d (vi )
而
i 1
(G) d (vi ) (G)
p
∴ p (G) d (vi ) p (G)
因此
即
(G)
1 p
p i1
d (vi )
i 1
(G)
(G) 2q / p (G)
9 、设G（p,q）是简单图,p≥2.求证:G 中至少有两个顶点的度数相等.
x {a,b, c, d, e, f , g}
x{α ,b,c, d,e, f , g}
a
a
g
b
g
b
f
c f
c
e （a） d 图5.16 e
（b） d
6、设G（p,q）是简单二分图，且G ≌ G, 求证 p 0 或 p 1 (mod4) .
∵G ≌ G , ∴ E(G） E（G且） E(G) E(G) p( p 1) / 2
也即 p 1 p。
从而 1 0 ，矛盾。故存在 v v(G) ， 使 d(v) 3 。
11、求证:在任何有n(n≥2)个人的人群中,至 少有两个人在其中恰有相同个数的朋友.
证明：作一个n阶简单图，n个顶点分别表示n个 人。两个人是朋友当且仅当表示这两个人的顶点 邻接。这样，问题就转化成中至少有两个顶点的 度数相等。此结论题9已证。
5、证明图5.14中的两个图是同构的, 图5.15 中的两个图不是同构的.试问,图5.16中的两 个图是否同构?
g
a
f
e
b
g
h f
i
c
h a
b
d
c
j
i
（a）Petersen图
j
图5.14
e
d （b）
1. 令 (x) x，
x {a,b, c, d, e, f , g, h,i, j}
x{a,b, c, d, e, f , g, h,i, j}
12、求证:每一个p阶简单图G,都与Kp的子图同构.
证明：因任何一个P阶简单图G≤Kp。又 G G。
故结论成立。
13、求证:任何完全图的每个点导出子图仍 是完全图.
证明：由点导出子图的定义及完全图的结构即知 结论成立。
14、求证:二分图的每个顶点数不小于2的子 图仍是二分图.
证明：设G G(V1,V2 ), H G ，且| V (H ) | 2 。 令 V1 {u V(H) u V1}，
于是|E(G)|=p(p-1)/4。
显然|E(G)|是整数。于是P或P-1是4的倍数。
因此，p 0 或 p 1 (mod4) 。
7、构造一个简单图G,使得 G ≌ G .
如下图，令 i i, i 1, 2, 3, 4, 5 ，
则有 1
G
≌
G
.
1
5
2
3
4
4
3
G
5
2
G
8、求证:对任何图G（p,q）,有:
则存在 u, v, w, x V (G)
使得u与v邻接，而w与x不邻接。
于是取 n=2 ，则G[{u, v}] 与 G[{w, x}]边数不相
同，矛盾。
故 G Kp 或 G Kp 。
16.(1)设G（p,q）是连通图，求证:G至少有 p – 1条边;
p 证明：对 用归纳法
a) p=1时，显然成立。
证明：假设G（p,q)中任何顶点的度均不相等, 则p个顶点的
度分别为0,1,2,…,p-1。
（1）设 d (vi ) 0 ，则
G( p中, q存)在孤立点 ；
（2）v设i 足 d(v
j
)
，则
，p 此1与（1）G矛(盾p。, q)
中无顶点v 满
百度文库
d(v) 0
总之，0和p-1不能同时出现。由抽屉原理知，必有，
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第五章 图与子图
2、设G（p,q）是简单二分图 求证：q p 2 / 4 。
证明：设G( p, q) G(V1,V2 ), V1 m, V2 p m
则q m ( p m)
pm m2
p2 ( p m)2 42
因为( p m)2 0，所以q p2 / 4 2
3、设G（p,q）是简单图,求证:q≤p(p1)/2，在什么情况下, q=p(p-1)/2?
证明：因G( p, q) 是简单图。所以G中任意两颗点
之间最多只有一条边。故
。
当Gq为完C全p2 图p时(，p 有1q) =/ 2p(p-1)/2 。
4、试画出四个顶点的所有非同构的简 单图.
共有11个。即
使
。
vi , v j V (G), i j d (vi ) d (v j )
10、求证:在图G（p,p+1）中,至少有一个顶 点v,满足d(v) ≥3.
证明：若对任意v v(G)，均有d(v) 2，则有
p
2( p 1) 2q d (vi ) 2 p i 1
即 2( p 1) 2 p ，
c
d
b
e （a） a
w
x
v
图5.15
y （b） u
（2）如下图，若(a)与(b)同构，则对任何双射，
:{a,b,c, d,e} {u, v, w, x, y)
必有 (a) u 。于是推得
(e) y, (b) v
但d(b) ≠d(v)，故(a)与(b)不同构。
(3)下面两个图是同构。令 (x) x ,