考虑损伤阀值影响的岩石损伤统计软化本构模型及其参数确定方法

第27卷第6期岩石力学与工程学报V ol.27 No.6 2008年6月Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering June，2008

考虑损伤阀值影响的岩石损伤统计软化本构模型

及其参数确定方法

曹文贵，赵 衡，张 玲，张永杰

(湖南大学岩土工程研究所，湖南长沙 410082)

摘要：在基于Lemaitre应变等价性理论的岩石损伤模型基础上，首先探讨岩石应变软化变形过程中损伤变量或损伤因子的变化规律，并结合岩石应变软化变形全过程特征及其损伤机制的研究，探讨建立岩石损伤演化模型时考虑损伤阀值影响的必要性；其次，在对现有岩石微元强度度量方法研究的基础上，提出可考虑损伤阀值影响的新型岩石微元强度度量方法，并引进统计损伤理论，建立可考虑损伤阀值影响的岩石统计损伤演化模型，该模型不仅能反映损伤阀值的影响，而且能反映岩石损伤程度受应力状态影响和岩石损伤在不同应力状态下损伤起始点不同的特性；再次，在此基础上，建立能充分模拟岩石应变软化变形全过程的损伤统计本构模型，并提出其参数确定方法，该模型不仅能充分反映岩石在低应力水平或变形较小时的线弹性变形特性，而且模型参数物理意义明确，适用于复杂应力状态情况；最后，通过工程实例分析，验证了该模型的合理性。

关键词：岩石力学；损伤阀值；应变软化；本构模型；微元强度；统计损伤理论

中图分类号：TU 45文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2008)06–1148–07

DAMAGE STATISTICAL SOFTENING CONSTITUTIVE MODEL FOR ROCK CONSIDERING EFFECT OF DAMA GE THRESHOLD AND ITS PARAMETERS DETERMINATION METHOD

CAO Wengui，ZHAO Heng，ZHANG Ling，ZHANG Yongjie

(Institute of Geotechnical Engineering，Hunan University，Changsha，Hunan410082，China)

Abstract：Based on rock damage model founded by Lemaitre′s strain equivalent theory，the changing rule of damage variable or damage factor during the process of rock strain softening deformation，the characteristics of rock strain softening，the rock damage mechanism and the necessity of considering the influence of the damage threshold in developing rock damage evolvement model are discussed. Then，a new method for measuring microcosmic element strength of rock is presented with consideration of damage threshold；and a new statistical damage evolvement model is established by adopting statistical damage theory. This model can reflect not only the influence of damage threshold but also the influence of stress states on damage degree of rock as well as the damage characteristics of different initial points under different stress states. Based on these，a damage statistical softening constitutive model used to simulate the rock strain softening deformation process is developed；and the method to determine the model parameters is proposed. This model can reflect the linear-elastic characteristics of rock deformation in low stress level or small deformation. Moreover，the concepts of the model parameters are clear；and it is convenient for the model to be applied to complex stress state cases. Finally，the case study indicates that the constitutive model is reasonable.

收稿日期：2008–01–09；修回日期：2008–03–29

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50578060)；“十一五”国家高技术研究发展计划(863计划)项目；湖南省自然科学基金资助项目(08JJ3115)

作者简介：曹文贵(1963–)，男，博士，1985年毕业于北京钢铁学院采矿工程专业，现任教授、博士生导师，主要从事岩土工程方面的教学与研究工作。E-mail：cwglyp@

第27卷第6期曹文贵，等. 考虑损伤阀值影响的岩石损伤统计软化本构模型及其参数确定方法 ? 1149 ?

Key words：rock mechanics；damage threshold；strain softening；constitutive model；microcosmic element strength；statistical damage theory

1 引言

岩石变形全过程模拟方法的研究一直是众多岩石力学学者普遍关注的问题之一。目前，岩石应变软化变形过程模拟方法的研究已取得了长足的进步，但仍存在许多不足，主要表现为所建立的岩石损伤本构模型不能充分反映岩石不同变形阶段的特征等问题，如无法反映岩石在低应力水平下线弹性变形特征，因此，有必要就此展开进一步探讨。

近年来，统计损伤理论的引入为岩石变形全过程模拟研究提供了一条有效的途径。D. Krajcinovic 等[1～5]利用Lemaitre应变等价性理论[6]和统计损伤理论建立了可反映岩石应变软化变形过程的损伤统计本构模型。但是，该类模型均难以反映岩石在低应力水平下的线弹性变形特征，究其原因，主要表现在两个方面：其一，在建立岩石损伤模型时未考虑损伤阀值的影响，也就是说，岩石损伤并非一承载就产生，只有当岩石所受应力或变形达到一定值后损伤才会产生，即所谓的损伤阀值问题，因而利用这类模型无法解释岩石在低应力水平的线弹性变形现象；其二，该类岩石损伤本构模型将岩石视为无数微元体组成，利用岩石微元强度服从随机分布建立岩石统计损伤演化模型，此时，如何合理度量岩石微元强度就成为关键。唐春安[2]提出利用轴向应变度量岩石微元强度，虽然取得了较好效果，但是，轴向应变无法直接反映岩石微元的强度，因为它与所受应力状态直接相关。为此，曹文贵等[3]提出了基于岩石破坏准则的岩石微元强度度量方法，其合理性虽然得到改善，但是，采用基于此种微元强度度量方法的岩石微元强度服从随机分布建立岩石统计损伤演化模型仍然存在不合理性，其原因在于不仅不能反映岩石损伤阀值的影响，而且由于该岩石微元强度度量方法是基于岩石破坏准则建立起来的，致使采用由此建立的岩石统计损伤演化模型反映岩石损伤发生在屈服点之前，实际上，岩石损伤的初始点应该是屈服点。由此可以看出，利用统计损伤理论建立岩石统计损伤演化模型仍存在诸多不合理之处，从而导致由此建立的岩石损伤本构模型难以充分反映岩石应变软化变形不同阶段的特征，有必要对此进行深入探讨。

本文从考虑岩石损伤阀值影响的角度出发，建立相适应的岩石微元强度新型度量方法，引进统计损伤理论，对岩石应变软化损伤统计本构模型展开进一步研究，以期使所建立的岩石损伤本构模型能反映在低应力水平或变形较小阶段岩石的线弹性变形特征，进一步完善岩石应变软化变形过程的模拟方法。

2 岩石变形过程特点及损伤模型

岩石应变软化变形全过程大致可分为3个阶段[7]，如图1所示：第1阶段为弹性阶段(OA段)，岩石应力–应变曲线呈线性关系，弹性模量为常数，即岩石在该变形阶段不会产生损伤；第2阶段为塑性变形阶段(AB段)，当应力超过屈服极限时，岩体进入非线性变形阶段，材料开始产生损伤，岩石变形模量或应力–应变曲线的切线之斜率逐渐减小，直至为0，这是由于岩石不断产生损伤，其内部出现裂隙、孔隙等空隙所致；第3阶段为破坏阶段(BC 段)，当应力达到强度极限时，岩石进入破坏阶段，岩石内部产生大量的裂隙，岩石的承载力主要靠裂隙面的摩擦力提供，表现为应力–应变曲线的切线之斜率由0变为负值，并进一步减小。

图1 岩石应变软化变形全过程

Fig.1 Whole process of rock strain softening deformation

上述岩石变形过程实际表现为在荷载作用下的岩石连续损伤过程，一般采用基于Lemaitre应变等价性假设[6]的损伤模型描述[1～5，8～15]，即

)

1(D

i

i

?

′

=σ

σ(1)

式中：

i

σ，

i

σ′分别为岩石中未损伤部分材料的宏观名义应力及微观应力；D为岩石材料的损伤变量

或损伤因子，反映岩石损伤的程度。既然

i

σ′为岩石

? 1150 ? 岩石力学与工程学报 2008年

中未损伤部分材料的微观应力，因此，可假设其变形服从线弹性虎克定律，即

)(k

j i i E σσμεσ′+′′+′= (2) 式中：i ，j ，k = 1，2，3；i ε′为岩石中未损伤部分材料的微观应变；μ′为岩石中未损伤部分材料泊松比。根据岩石中损伤与未损伤部分材料变形协调条件可得

i i εε=′ (3)

式中：i ε为岩石宏观应变。由材料泊松比的物理含义，即泊松比为材料横向与纵向应变之比的绝对值可得岩石与岩石中未损伤部分材料的泊松比μ与μ′分别为

|/|13εεμ= (4)

|/|13

εεμ′′=′ (5) 于是，利用式(3)～(5)可得

μμ′= (6) 将式(6)代入式(2)，并结合式(1)和(3)可得

)()1(k j i i D E σσμεσ++?= (7)

上式即为描述岩石应变软化变形过程的损伤模型。

3 岩石统计损伤演化模型的建立

3.1 岩石损伤变量的变化规律

为了建立更为符合实际的岩石损伤演化模型，有必要结合试验曲线探讨岩石损伤变量的变化规律，以了解岩石损伤变量或损伤因子的取值情况。为此，先将式(7)进行变换可得

)/()]([13211εσσμσεE E D ++?= (8) 然后，采用T. Kawamoto 等[16]给出的不同围压下1σ-1ε试验曲线中各测点1σ，1ε值，利用式(8)计算出对应的损伤因子D ，从而可得不同围压下试验曲线对应的D -1ε曲线，如图2所示。由图可以看出：

(1) 当轴向变形较小时(对于本文实例，1ε约小于0.3×10－

2)，损伤变量或损伤因子变化缺乏规律

性，有时甚至出现D 小于0的情况，这显然与损伤因子的合理取值区间(0≤D ≤1)和变化趋势相悖，存在不合理性，其原因在于岩石变形较小或所受应力水平较低时，岩石变形实际处于线弹性状态，不可能产生损伤，此时岩石材料的损伤因子D 应该恒定为0，这说明岩石材料损伤存在阀值的影响问题。

(2) 当岩石变形较大时(对于本文实例，1ε约大于0.3×10－

2)，损伤变量或损伤因子随着变形增加或

图2 D -ε1曲线 Fig.2 D -ε1 curves

应力水平提高而不断增加，但其取值范围始终在区间[0，1]之内，其原因在于当岩石材料变形超过一定值或所受应力超过一定水平时，材料开始屈服即产生损伤，而且，随变形的增加或应力水平的提高，岩石材料的损伤程度增加，这显然是合理的。

(3) 随着围压3σ的增加，当岩石材料达到相同应变时，损伤因子D 的值在减小，这表明损伤因子的大小不仅与轴向变形和轴向应力相关，而且与岩石材料所受应力状态相关，这是由于随3σ的增加，主应力之差(31σσ?)在减小，岩石材料抵抗破坏或损伤的能力增大，这显然也是合理的。

综上所述，岩石损伤存在阀值问题，在阀值前

(即线弹性变形阶段)岩石变形不会产生损伤，只有在阀值后(即岩石材料屈服后)才会产生损伤，而且，岩石材料的损伤与所受应力状态密切相关，因此，在建立岩石损伤演化模型时必须反映上述岩石材料的损伤机制与特征。

3.2 岩石统计损伤演化模型的建立

岩石损伤演化模型的建立存在不同的方法与途径，利用统计损伤理论建立岩石损伤演化模型是其中较成功的方法之一，其关键在于岩石微元强度的合理度量。唐春安[2]提出采用轴向应变度量岩石微元强度，取得了良好的效果，但由于岩石微元强度并不直接决定于某个方向的变形大小，而是与所受应力状态直接相关，因此，采用轴向应变度量岩石微元强度仍存在一定的不合理性。曹文贵等[3]率先提出基于岩石破坏准则的新型岩石微元强度度量方法，它能直接反映应力状态对岩石微元强度的影响，合理性较前述方法大为改善，其基于Mohr-Coulomb 破坏准则的岩石微元强度F 的度量方法[8，9]

可表述

如下：

－－－D

ε1/10－

2

第27卷 第6期 曹文贵，等. 考虑损伤阀值影响的岩石损伤统计软化本构模型及其参数确定方法 ? 1151 ?

f f 3

f 1f cos 2)sin 1()sin 1(?σ?σ?c F =′+?′?= (9) 式中：f c 和f ?分别为岩石达到破坏即峰值强度时的黏聚力和内摩擦角。上述岩石微元强度度量方法尽管较前人提出的方法更为合理，但仍存在一定的不合理性：其一，由此建立的岩石损伤演化模型表明岩石只要产生变形或只要承受荷载就会产生损伤，实际上，岩石损伤并非如此，而是只有当变形达到一定值或所受应力状态达到一定水平时才会产生损伤；其二，基于破坏准则的岩石微元强度度量方法在反映岩石损伤的初始起点上存在问题，它反映的是岩石损伤初始时刻在峰值点，实际上，岩石损伤的初始起点在屈服点，这显然与岩石的损伤机制不符，需作进一步改进。为此，本文初步提出下述新型岩石微元强度F 的度量方法：

03y 1

y )sin 1()sin 1(k F ?′+?′?=′σ?σ? (10) y y 0cos 2?c k = (11)

式中：y c 和y ?分别为岩石屈服时的黏聚力和内摩擦角。将式(9)与(10)进行比较表明，岩石微元强度必须减去一个初始量0k (实际为岩石的屈服强度)，只

有当F ′＞0时岩石才会产生损伤，而当F ′＜0时，岩石材料变形呈线弹性，其损伤变量恒定为0。显然，此种岩石微元强度度量方法既反应了岩石损伤的阀值问题，而且还反映了岩石损伤的合理初始损伤起点问题，较前人方法更具合理性。但是，为方便计算，将式(10)的两边同时除以一个常量即y sin 1??可得本文最终采用的岩石微元强度度量方

法：

031

k F ′?′?′=σασ (12) 其中，

)sin 1/()sin 1(y y ??α?+= (13)

)sin 1/(cos 2y y y 0

???=′c k (14) 结合式(1)与(2)，式(12)可改写为下述另外一种形式：

3211

31)

()(k E F ′?+??=σσμσεασσ (15) 在上述新型岩石微元强度度量方法的基础上，假定岩石微元强度服从Weibull 分布，利用唐春安等[2

，3]

的方法即可建立出可考虑阀值影响的岩石统计损伤演化模型，具体表示如下：

?????????????????????????=0) ( 00) ( exp 10F F F F D m (16) 式中：m 及0F 均为岩石微元强度随机分布参数。由

此可以看出，当F ＜0时，岩石损伤因子0≡D ，不产生损伤，岩石处于线弹性状态；当F ≥0时，岩石材料处于不断损伤状态，损伤变量或损伤因子在区间[0，1]内取值，此时损伤变量与岩石所受应力状态直接相关，而且，由于0=F 实际为岩石屈服准则，说明岩石损伤的起点就是其屈服点，反映了岩石损伤开始的合理起点，这正符合前述对岩石损伤特性的描述，因此，本文建立的岩石统计损伤演化模型较前人同类模型更为合理。

4 岩石损伤本构模型及其参数确定

4.1 岩石应变软化损伤统计本构模型的建立 将式(16)代入式(7)即可得到模拟岩石应变软化变形全过程的损伤统计本构模型，具体表述如下：

???????++++?????????????????=0) ( )(0) ( )(exp 32132011F E F F F E m σσμεσσμεσ (17) 至此，已建立出新型岩石应变软化损伤统计本构模型，下面将详细介绍模型参数m 与0F 的确定方法。

4.2 岩石损伤本构模型参数的确定方法 模型参数m 及0F 的确定是岩石损伤统计本构模型建立的关键之一，现有模型参数确定主要有两大类方法。其一，首先通过拟合不同围压下岩石应力–应变曲线分别确定不同围压下模型参数，然后通过探讨不同围压下模型参数与围压的经验关系而得到适合于不同围压情况的统一模型参数[9

～11]

。该

方法虽已取得良好效果，但由此确定的模型参数物理意义不明确，且由于对于不同类型岩石其经验关系不同，因此不具备普遍适用性，可操作性低，在工程实际应用中将受到限制。其二，根据岩石应变软化特点，利用岩石应力–应变曲线的极值特性，采用极值理论确定模型参数[12

～15，17]

。由此确定的模

型参数不但物理意义明确，而且，对于不同类型岩石可得到适合于不同应力状态下统一的模型参数计算公式，显然该方法较前者更具优越性。因此，本文采用该方法来确定岩石损伤本构模型的参数，具体过程如下。

设岩石在不同围压下应力–应变曲线在峰值点对应的应力和应变分别为sc σ和sc ε，对应的岩石微元强度为sc F ，则由式(17)可得

≥ ＜

≥＜

? 1152 ? 岩石力学与工程学报 2008年

0d d sc

1sc 11

1

===εεσσεσ， (18)

将sc σ和sc ε代入式(17)，并与式(18)联立，可得模型参数的计算公式如下：

)

1ln()1(sc sc sc

D D BF m ???= (19)

m

D F F /1sc sc

0)]1ln([??=

(20)

其中，

sc

32sc

sc )

(1εσσμσE D +??= (21) 2

sc 23sc 232sc )()]([εασσσσμσE B ?+?= (22) 0

32sc sc

3sc sc )

()(k E F ′?+??=

σσμσεασσ (23) 由式(19)及(20)可以看出，m 和0F 的计算式中包含sc σ和sc ε，它们分别为不同围压下岩石应力–应变曲线峰值点对应的应力与应变，需要通过不同围压下三轴试验确定，显然，将其应用于工程实际将极为不便，因此，必须建立起sc σ和sc ε的确定方法。为此，杨明辉等[12]对此问题进行了深入研究，得到了较为合理的确定方法。本文亦采用该方法确定sc σ和sc ε，具体计算公式表述如下：

)sin 1/(])sin 1(cos 2[f 3f f f sc ?σ??σ?++=c (24)

3sc σεa b += (25)

式中：a 与b 均为常数，可由岩石在不同围压下应力–应变曲线峰值点的应变拟合得到。

至此，本文得到了不同围压下岩石应变软化损伤统计本构模型参数的统一确定方法。由此可以看出，该模型参数物理意义明确，而且适用于不同应力状态的情况。

5 实例分析与讨论

为了验证本文提出的岩石应变软化损伤模型和损伤统计本构模型及其参数确定方法的合理性，引用T. Kawamoto 等[16]的试验资料，并经数据处理可得该岩石弹性模量=E 51.62 GPa ，泊松比=μ0.25，破坏时的内摩擦角=f ?44.014°

，黏聚力=f c 27.962 MPa ，屈服时的内摩擦角=y ?40.239°

，黏聚力=y c 24.797 MPa ，=a 3.266×10－

2，=b 0.1431×10－

1 MPa －

1。

由于该试验曲线是假三轴试验条件，故可认为=2σ

3σ。下面将据此对本文模型进行讨论。

5.1 岩石损伤演化模型的合理性

利用式(16)和(17)可得到T. Kawamoto 等[16]岩石损伤因子D 分别与轴向应变1ε和主应力之差(?1σ

3σ)之间在不同围压下的关系曲线，如图3和4所

示。为了将其与其他损伤模型进行比较，采用曹文贵和张 升[9]所给损伤模型进行计算，同样也可得到相应理论曲线，其比较结果见图5和6。由图可以看出：

图3 D -ε1理论曲线 Fig.3 Theoretical curves of D -ε1

图4 D -(σ1－σ3) 理论曲线 Fig.4 Theoretical curves of D -(σ1－σ3)

图5 D -ε1理论曲线比较(σ3 = 7.0 MPa) Fig.5 Comparison between D -ε1 theoretical curves

(σ3 = 7.0 MPa)

D

ε1/10－

2

D

(σ1－σ3)/MPa

－0.20.00.20.40.60.81.0D

ε1/10－

2

－0.4

第27卷第6期曹文贵，等. 考虑损伤阀值影响的岩石损伤统计软化本构模型及其参数确定方法 ? 1153 ?

图6 D-(σ1－σ3)理论曲线比较(σ3 = 7.0 MPa)

Fig.6 Comparison between D-(σ1－σ3) theoretical curves (σ3 = 7.0 MPa)

(1) 由图3和4可知，本文模型不仅能反映岩石损伤阀值的影响，而且能充分反映岩石损伤与所受应力状态相关的特性，同时还能反映岩石在不同应力状态下的损伤起始点是不同的，这是因为岩石在不同围压下的屈服点是不同的，与实际相符合。

(2) 由图5和6可知，曹文贵和张升[9]所给出的损伤演化模型在变形较小或应力水平较低时，岩石损伤因子不为0，有时甚至小于0，这显然与岩石材料在线弹性阶段不可能产生损伤的特性相悖，而本文模型曲线表明岩石在线弹性阶段不产生损伤即损伤因子D恒定为0，显然与实际相符合，因此，本文模型较其他模型更具合理性。

5.2岩石损伤本构模型的合理性

分别利用本文模型与曹文贵和张升[9]所建立的岩石损伤统计本构模型可分别得到应力–应变关系的理论曲线，并与试验曲线进行比较，如图7所示。由图可以看出，本文模型与曹文贵和张升[9]所建模型均能较好地反映岩石应变软化变形全过程，并与试验曲线吻合良好。但是，如果对比岩石峰值前曲线可以发现，本文模型能够更好地反映岩石在屈服前的线弹性特征，而曹文贵和张升[9]所建模型则不能反映此特征。实际上，曹文贵和张升[9]所建模型表现的是岩石在屈服前的应力–应变曲线为非线性，不能反映岩石在屈服点之前的线弹性变形特性，因此，本文模型更加符合实际。

(a)σ3 = 0.0 MPa

(b)σ3 = 3.5 MPa

(c)σ3 = 7.0 MPa

(d)σ3 = 14.0 MPa

(e)σ3 = 21.0 MPa

图7 试验与理论曲线的比较

Fig.7 Comparison between test and theoretical curves

6 结论

本文在基于Lemaitre应变等价性理论的岩石损伤模型研究基础上，通过深入考虑岩石损伤阀值的

? 1154 ? 岩石力学与工程学报 2008年

影响，对模拟应变软化变形全过程的岩石损伤演化模型和岩石损伤本构模型进行了深入探讨，由此可得如下结论：

(1) 通过考虑岩石损伤阀值的影响，提出了岩石微元强度新的合理度量方法，并建立了可考虑损伤阀值影响的新型岩石统计损伤演化模型。该模型表明岩石损伤不仅存在损伤阀值，而且，岩石损伤程度直接与其所受应力状态有关，在不同应力状态下，岩石损伤的起始点也是不一样的。

(2) 建立了可充分模拟岩石应变软化变形全过程的岩石损伤统计本构模型，并提出了该模型参数的确定方法。该模型不仅能反映复杂应力状态下岩石应变软化变形全过程，尤其是能反映岩石在变形较小或应力水平较低阶段的线弹性变形特征，而且模型参数物理意义明确，不包含非常规岩石力学参数，无需通过非常规岩石力学试验确定模型参数，工程应用将极为方便。

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