小波变换与数据压缩

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小波变换原理
连续小波变换变换（ continuous wavelet transform ）
小波基函数
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小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
小波正变换
小波反变换
标注:
a = scale variable －缩放因子 b= time shift －时间平移
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小波变换原理
Mallat算法
下采样过程
原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个通道 的数据均为1000个，总共为2000个。 图中的符号 表示下采样。
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小波变换实例
一维哈尔小波变换
哈尔函数定义
1 0 x 1 ( x) 其他 0
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小波变换实例
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小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
20世纪 80年代后期发展起来的小波变换理论 它是继傅里叶(Joseph Fourier)分析后信号处理与分析的强大工 具 无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产 生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需 要用到比较多的数学知识。 从工程应用角度出发，直观的方法来介绍小波变换及其应用， 为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景材料
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在CWT中，缩放和平移是连续变化的
小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
函数的伸缩
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小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
小波函数的伸缩
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小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
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窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
尽管窗式傅立叶变换能解决变换函数的局域化问题，但是，其 窗口的大小和形状是固定的,即窗口面积不变，窗口没有自适 应性。 对于高频的信息，时间间隔要相对的小，更好地确定峰值和断 点，或者说需要用较窄的时域窗来反映信息的高频成分。 对于低频谱的信息，时间间隔要相对的宽才能给出完整的信号 信息， 或者说必须用较宽的时域窗来反映信息的低频成分。
Gabor变换： 时窗函数＝Gauss函数时 时窗函数的Fourier变换仍然是Gauss函数，保证了窗口傅立叶 变换在频域内也有局域化的功能。
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窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
时窗（Time Window）
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窗口傅里叶变换
傅里叶变换的不足成为了推动寻找新变换的动力
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窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
1946年Gabor提出了短时傅里叶变换的概念 ，从而开始了 非平稳信号的时频联合分析
G (w, t ) =
ò
f (t ) g (t - t )e-
jwt
20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学 家Jean Morlet提出了小波变换CWT (continuous wavelet transform)的概念。 法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函 数，用缩放(dilations)与平移(translations)均为 2的j次幂的倍数 构造了平方可积的实空间L2(R)的规范正交基，使小波得到真 正的发展. S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分辨率分析 (multiresolution analysis)的概念, 从空间上形象地说明了小波的 多分辨率的特性,提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫 做Mallat算法。 Mallat算法地位相当于快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位。
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小波变换原理
离散小波变换
图中的符号 表示频带降低1/2，HH表示频率最高的子带， LL表示频率最低的子带。这个过程可以重复，直到符合 应用要求为止。这样的滤波器组称为分解滤波器树 (decomposition filter trees)
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小波变换原理
离散小波变换
只有离散，小波变换才能应用 离散的方式有很多 离散小波变换的多分辨率分析
时窗中心 ：小波 的时窗中心是其母函数 的时窗中心乘 倍再平移 个单位 小波的 时窗宽度是其母函数 的时窗宽度的 倍。
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小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
=
1 Dwy a
小波的 小波的
频窗中心是其母函数 频窗宽度是其母函数
一维哈尔小波变换
哈尔函数定义
1 0 x 1 ( x) 其他 0
基函数 一组线性无关的函数，以用来构造任意给定 的信号
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小波变换实例
一维哈尔小波变换
哈尔基函数 最简单的基函数
i ( x) (2 x i)
j j
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小波变换实例
一维哈尔小波变换
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小波变换原理
Mallat算法
下采样过程
原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个通道 的数据均为1000个，总共为2000个。
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小波变换原理
Mallat算法
下采样过程
原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个通道 的数据均为1000个，总共为2000个。
哈尔基函数
2
i j ( x) (2 j x i)
1, 0 x 1/ 4 0 ( x) 其他 0, 1, 1/ 2 x 3/ 4 2 ( x) 其他 0,
2
1, 1/ 4 x 1/ 2 1 ( x ) 其他 0,
2
Mallat创立了多分辨率分析理论 在多分辨率分析基础上，Mallat提出了基于滤波器组实现信 号的小波正变换和反变换算法。执行离散小波变换的有效 方法
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小波变换原理
Mallat算法
低通滤波器和高通滤波器构成双通道滤波
原始的输入信号:S 两个互补的滤波器 A表示信号的近似值(approximations) D表示信号的细节值(detail)
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小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
小波变换具有在不同尺度下保持时频分析窗口面积不变性质 自动调节对信号分析的时宽和带宽 被誉为信号分析的显微镜
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小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
小波（Wavelet (A small wave, a ripple) 就是小的波形，所谓小，就是它具有衰减性，是存在于一 个较小区域的波。
dt
1 f (t ) = G(w, t ) g (t - t )e jwt d wd t 2p A ò
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窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
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窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
频窗（Frequency Window）
时窗函数g(t)的傅立叶变换 ，
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窗口傅里叶变换
窗口傅里叶变换（ short time Fourier transform ）
以上定义知，g(t)和G(ω)分别起着时窗和频窗的作用，在时间 －频率坐标系中，时窗和频窗共同作用的结果就构成了时-频 窗，这样就从几何上直观地描述了时频局部化。
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小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
1988年 Inrid Daubechies 最先揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系 20世纪90年代中期，Sweldens提出了小波变换提升方案--第二代小波变换， 用于JPEG2000 小波在信号(如声音信号，图像信号等)处理中得到极其Байду номын сангаас泛的 应用。
具有频域准确定位，可分析信号能量在各个频域成分中的分布 情况， 最常用的、最广泛的信号分析工具， 并且相关的理论研究已发展为一个重要的数学分支——调和分 析。
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傅里叶变换
傅里叶变换的特点
具有频域准确定位，可分析信号能量在各个频域成分中的分布 情况， 最常用的、最广泛的信号分析工具， 并且相关的理论研究已发展为一个重要的数学分支——调和分 析。
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傅里叶变换
傅里叶变换的特点
具有频域准确定位，可分析信号能量在各个频域成分中的分布 情况 最常用的、最广泛的信号分析工具 并且相关的理论研究已发展为一个重要的数学分支——调和分 析
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傅里叶变换
傅里叶变换的不足
缺乏时间-频率的定位功能 不适于非平稳信号 无法根据信号的特点自动调节时域和频域的分辨率
的频窗中心的 的频窗宽度的
倍 倍
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小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
用较小 对信号做高频分析时，实际是用高频小波对信号进行 细致观察 用较大 对信号做低频分析时，实际是用低频小波对信号进行 概貌观察
1 S t. (at ).( ) t . a
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小波变换原理
Mallat算法
低通滤波器和高通滤波器构成小波分解树
对低频分量连续分解
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小波变换原理
Mallat算法
小波包分解树
对低频分量和高频分量均连续分解
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小波变换原理
Mallat算法
下采样过程
原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个通道 的数据均为1000个，总共为2000个。
DCT 压缩的优点
简单、 便于硬件实现
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小波变换用于图像压缩的理由
DCT 压缩的缺点
图像是分块处理， 沿块的边界方向相关性被破坏，出现 “blocking artifacts”
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傅里叶变换
信号表示
多种方式信号的描述: 例如一个函数表达式，这就是信号的时域表示，
傅里叶变换
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小波变换原理
连续小波变换（ continuous wavelet transform ）
部分小波波形
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小波变换原理
子带编码SBC (subband coding)：
把信号的频率分成几个子带，然后对每个子带 分别进行编码，并根据每个子带的重要性分配 不同的位数来表示数据 20世纪70年代，子带编码开始用于语音编码 20世纪80年代中期开始在图像编码中使用
1, 3/ 4 x 1 3 ( x) 其他 0,
2
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小波变换实例
一维哈尔小波变换
尺度函数
( x)：尺度函数 尺度函数张成的空间Vj Vj的基的个数为2j
1822年,傅里叶提出频率的概念: 通过傅里叶正变换将信号在频 域分解，获得信号的频谱，再通过反变换重建原始信号。 频率仍然是傅里叶变换所定义 。
F ( )



f (t )e jt dt

1 f (t ) 2

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F ( )e jt d
傅里叶变换
傅里叶变换的特点
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小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展


哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅里叶类似的基非常感 兴趣。 1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets 最早发现和使用了小波的名称
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小波变换原理
小波变换的（ wavelet transform ）发展
小波变换与数据压缩
主要内容
小波变换用于图像压缩的理由 傅里叶变换 窗口傅里叶变换 小波变换的原理 小波变换实例 小波变换与数据压缩
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小波变换用于图像压缩的理由
基于DCT (Discrete Cosine Transform) 的压缩标准
JPEG MPEG-1,MPEG-2, H.264