3.刚体定点转动的运动方程
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.取惯量主轴为坐标轴
当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量 积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.
(三).欧拉方程
基本方程
r dJ
r M
dt
将坐标系固联于刚体，则
r
r
r
r
但
Biblioteka Baidu
J r dJ dt
Jxi Jy j Jzk
J&xir
J&y
r j
J&z kr
r
r J
取惯量主轴为坐标轴，有
r
B点的加速度为：
ar B
ar A
dr
dt
rr r r rr
dr
dt
1
r dj dt
1, 0
r j
1V
R
r i
vr A
r Vj
r
r
1 j
V R
r k
rr
l
sin
r i
l
cos
r k
ar
aA
dr
dt
rr
r
r
rr
V 2
r i
1V
r i
r
r
l sin i l cos k
解：这个是一般运动问题
vr
vrA
drr dt
vrA
r
rr
r vA
r Vj
r
r
1 j
V R
r k
rr
l
sin
r i
l
cos
r k
因此，B点的速度为：
vrB
r Vj
1
r j
V R
r k
r
r
l sin i l cos k
vrB
r
1l cos i
V 1
l R
sin
r j
r
1l sin k
(三).欧拉运动学方程
在直角坐标系
&
r
r
xi
y
r j
r
zk
& &
x &sin sin &cos y &sin cos &sin z &cos &
,,
（四）速度和加速度
1.速度 vr drr r rr
dt
MR
P
vr
r vA
drr dt
r vA
r
rr
r
2.加速度
O
ar dvr dr rr r r rr
为描述定点转动，选定点为坐标原点，用三个 独立变化的角度（欧拉角）确定转轴取向和绕转轴 转过的角度.
章动 角
Z轴位置由 θ,φ角决定
进动 角
自转 角
节线ON
0 0 2 0 2
3.刚体定点转动的运动方程
一般说来，刚体若作定点转动，则其欧拉角是时
间的函数。如果确定了三个函数关系式，就确定了刚 体的运动，也就是说，如果选欧拉角为坐标，有
r r&r& r& (7.1—3)
2.瞬时转轴
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
定点转动时，转动轴的方向随 时间变化，转动瞬轴在空间描绘的 锥面称空间极面，在刚体内描绘的 锥面称本体极面。
定点转动时，一个角速度矢量 （有三个分量）就足以描述刚体运动。
d
dt
I xx x I xy y I xz z
M x
d
dt
I yx x I yy y I yz z
M y
d
dt
I zx x I zy y I zz z
M z
(二).欧拉的两点简化
1.采用本体坐标系
由于刚体相对于静止坐标系是运动的，故上式左部 所包含的惯量系数必然都是时间t的函数。这使得方程 （7.2—3）的求解极为复杂。如果采用本体坐标系则惯 量系数将均为常数.从而使问题的求解得以简化。所谓本 体坐标系就是固着在刚体上的坐标系。
R
R
1
r j
V R
r k
1l
r
cos i
Vl R
cos
r j
1l
r
sin k
V2 R
12l sin
V 2l R2
sin
r i
2V 1l
R
cos
r j
12 l
r
cos k
1
a
V2 R
12l sin
2V 1l
R
cos
2
V 2l R2
sin
2
12l cos
2 2
第七章 欧拉方程
§7.1 欧拉运动学方程 §7.2 欧拉动力学方程 §7.3 重刚体定点转动的求解
§7.1 欧拉运动学方程
(一) 欧拉角
1.刚体定点转动的例子
陀螺
常平架
2.欧拉角
刚体绕固定点转动时，自由度是3，因而确定 刚体的位置需要三个独立变量。这三个独立变量可 以有各种取法，最常用的一种取法是用两个角度确 定瞬时转轴的方位，再用另一个角度确定刚体绕这 个轴所转过的角度。这三个角通常称为欧拉角。
§7.2 欧拉动力学方程
(一) 定点转动的角动量定理
求解刚体定 点转动的基本 方程是角动量 方程。如果刚
体速绕度定r 点tO转以动角，
则由角动量定 理可得
r
dJ 0 dt
r M0
利用第三章的惯量张量,可 以写出角动量定理的分量形式
dJ x
dt
M x
dJ y
dt
M y
dJ z
dt
M z
dt dt
转动加
向轴加
速度
速度
ar dr rr r r grr 2rr
dt
ar
r aA
dr
dt
rr
r
r grr
2rr
例 7-1 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水 平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联 线和沿垂线成θ角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨 的长度AB ＝l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1。
机械能守恒
1
2
I1x2
I
2
2 y
I3z2
V E
(四) 由拉格朗日方程推导欧拉方程
以三个欧拉角 、、为广义坐标，取刚体的三条惯量主
轴为动坐标系的x、y、z轴。由第五章讨论知道，当广义坐标
为角量时，对应的广义力为沿转动轴方向的外力炬分量。但
与 、对应的广义力并不是沿惯量主轴方向的力矩分量，而
是沿着节线方向和固定坐标系Z轴的力矩分量，只有与广义坐
标 对应的广义力 Q才是沿主轴（z轴）方向的力矩分量 M z。
下面，利用拉格朗日方程推导z分量的欧拉动力学方程。
T
1 2
(
I1x2
I
2
2y
I3z2 )
r
r
r
J I1xi I2y j I3zk
r
r
xi
y
r j
r
z k
r
r
r
r
M Mxi M y j Mzk
为什么？
J&x I1&x ,
r
i
r
r J
x
J&y
r
I2&y
, r
J&z I3&z
jk
y z
I1x I2y I3z
欧拉动力学方程
I1&x I2 I3 yz Mx I2&y I3 I1 zx M y I3&z I1 I2 xy M z
t
t
t
（7.1—1）
这就是刚体定点转动的运动方程。由（7.1—1）式 可以确定刚体在任何时刻欧拉角的数值，从而就确 定了刚体的位置。
(二). 瞬时角速度与瞬时转轴
1.瞬时角速度
由上面的论述可知，如果采用欧拉角描述刚体的 定点转动，则刚体在每一时刻都具有互相独立的自转 角速度、章动角速度和进动角速度。因此，刚体的瞬 时角速度应是这三个角速度的矢量和，即
当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量 积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.
(三).欧拉方程
基本方程
r dJ
r M
dt
将坐标系固联于刚体，则
r
r
r
r
但
Biblioteka Baidu
J r dJ dt
Jxi Jy j Jzk
J&xir
J&y
r j
J&z kr
r
r J
取惯量主轴为坐标轴，有
r
B点的加速度为：
ar B
ar A
dr
dt
rr r r rr
dr
dt
1
r dj dt
1, 0
r j
1V
R
r i
vr A
r Vj
r
r
1 j
V R
r k
rr
l
sin
r i
l
cos
r k
ar
aA
dr
dt
rr
r
r
rr
V 2
r i
1V
r i
r
r
l sin i l cos k
解：这个是一般运动问题
vr
vrA
drr dt
vrA
r
rr
r vA
r Vj
r
r
1 j
V R
r k
rr
l
sin
r i
l
cos
r k
因此，B点的速度为：
vrB
r Vj
1
r j
V R
r k
r
r
l sin i l cos k
vrB
r
1l cos i
V 1
l R
sin
r j
r
1l sin k
(三).欧拉运动学方程
在直角坐标系
&
r
r
xi
y
r j
r
zk
& &
x &sin sin &cos y &sin cos &sin z &cos &
,,
（四）速度和加速度
1.速度 vr drr r rr
dt
MR
P
vr
r vA
drr dt
r vA
r
rr
r
2.加速度
O
ar dvr dr rr r r rr
为描述定点转动，选定点为坐标原点，用三个 独立变化的角度（欧拉角）确定转轴取向和绕转轴 转过的角度.
章动 角
Z轴位置由 θ,φ角决定
进动 角
自转 角
节线ON
0 0 2 0 2
3.刚体定点转动的运动方程
一般说来，刚体若作定点转动，则其欧拉角是时
间的函数。如果确定了三个函数关系式，就确定了刚 体的运动，也就是说，如果选欧拉角为坐标，有
r r&r& r& (7.1—3)
2.瞬时转轴
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
定点转动时，转动轴的方向随 时间变化，转动瞬轴在空间描绘的 锥面称空间极面，在刚体内描绘的 锥面称本体极面。
定点转动时，一个角速度矢量 （有三个分量）就足以描述刚体运动。
d
dt
I xx x I xy y I xz z
M x
d
dt
I yx x I yy y I yz z
M y
d
dt
I zx x I zy y I zz z
M z
(二).欧拉的两点简化
1.采用本体坐标系
由于刚体相对于静止坐标系是运动的，故上式左部 所包含的惯量系数必然都是时间t的函数。这使得方程 （7.2—3）的求解极为复杂。如果采用本体坐标系则惯 量系数将均为常数.从而使问题的求解得以简化。所谓本 体坐标系就是固着在刚体上的坐标系。
R
R
1
r j
V R
r k
1l
r
cos i
Vl R
cos
r j
1l
r
sin k
V2 R
12l sin
V 2l R2
sin
r i
2V 1l
R
cos
r j
12 l
r
cos k
1
a
V2 R
12l sin
2V 1l
R
cos
2
V 2l R2
sin
2
12l cos
2 2
第七章 欧拉方程
§7.1 欧拉运动学方程 §7.2 欧拉动力学方程 §7.3 重刚体定点转动的求解
§7.1 欧拉运动学方程
(一) 欧拉角
1.刚体定点转动的例子
陀螺
常平架
2.欧拉角
刚体绕固定点转动时，自由度是3，因而确定 刚体的位置需要三个独立变量。这三个独立变量可 以有各种取法，最常用的一种取法是用两个角度确 定瞬时转轴的方位，再用另一个角度确定刚体绕这 个轴所转过的角度。这三个角通常称为欧拉角。
§7.2 欧拉动力学方程
(一) 定点转动的角动量定理
求解刚体定 点转动的基本 方程是角动量 方程。如果刚
体速绕度定r 点tO转以动角，
则由角动量定 理可得
r
dJ 0 dt
r M0
利用第三章的惯量张量,可 以写出角动量定理的分量形式
dJ x
dt
M x
dJ y
dt
M y
dJ z
dt
M z
dt dt
转动加
向轴加
速度
速度
ar dr rr r r grr 2rr
dt
ar
r aA
dr
dt
rr
r
r grr
2rr
例 7-1 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水 平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联 线和沿垂线成θ角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨 的长度AB ＝l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1。
机械能守恒
1
2
I1x2
I
2
2 y
I3z2
V E
(四) 由拉格朗日方程推导欧拉方程
以三个欧拉角 、、为广义坐标，取刚体的三条惯量主
轴为动坐标系的x、y、z轴。由第五章讨论知道，当广义坐标
为角量时，对应的广义力为沿转动轴方向的外力炬分量。但
与 、对应的广义力并不是沿惯量主轴方向的力矩分量，而
是沿着节线方向和固定坐标系Z轴的力矩分量，只有与广义坐
标 对应的广义力 Q才是沿主轴（z轴）方向的力矩分量 M z。
下面，利用拉格朗日方程推导z分量的欧拉动力学方程。
T
1 2
(
I1x2
I
2
2y
I3z2 )
r
r
r
J I1xi I2y j I3zk
r
r
xi
y
r j
r
z k
r
r
r
r
M Mxi M y j Mzk
为什么？
J&x I1&x ,
r
i
r
r J
x
J&y
r
I2&y
, r
J&z I3&z
jk
y z
I1x I2y I3z
欧拉动力学方程
I1&x I2 I3 yz Mx I2&y I3 I1 zx M y I3&z I1 I2 xy M z
t
t
t
（7.1—1）
这就是刚体定点转动的运动方程。由（7.1—1）式 可以确定刚体在任何时刻欧拉角的数值，从而就确 定了刚体的位置。
(二). 瞬时角速度与瞬时转轴
1.瞬时角速度
由上面的论述可知，如果采用欧拉角描述刚体的 定点转动，则刚体在每一时刻都具有互相独立的自转 角速度、章动角速度和进动角速度。因此，刚体的瞬 时角速度应是这三个角速度的矢量和，即