结构力学 结构位移计算

P 1 /12, k
6
/
5,
何h确/ l定Q1的/10?,Q1Eil
/G x
2.5(钢砼)
M 100
第六章 结构位移计算
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
P B
P=1
P
QP M P
R A
O 解：构造虚设的力状态如图示
θ
R
设: M

PR3
4EI
NP , Q
2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W
微段位移分 刚体位移 ab ab
为两部分
变形位移ab ab
微段外力功 在刚体位移上的功dWs 分为两部分 在变形位移上的功dWv 微段外力功 dW= dWs+dWv
所有微段的外力功之和:
W=∫dWv =δWv
机械系 董达故善有教δ授We=δWv成立。
M
W M

4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
A
B P W P A PB
P(A B )
P
第六章 结构位移计算
三、变形杆件的虚功原理
（1）质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，在某一位
置处于平衡的必要和充分条件是： FN1
FP1
对于任何可能的虚位移，作用 于质点系的主动力所做虚功之
机械系 董达善 教授
第六章 结构位移计算
§2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
第六章 结构位移计算
变形体虚功原理的证明:
几个问题: qx
a
b
b
1. 虚力功状原态理a必a里 须存b满b在足两平个衡状条态件：；位移状态必a须 满足协调b
1.利用变条形件连。续因性此条件原计理算仅是必要2性.利命用题平衡。条件条件计算
所有微段的外力虚功之和 W
所有微段的外力虚功之和 W
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P

NP EA
,
P

kQP GA
,
P

MP EI
适用于线弹性 直杆体系,
K P
[ N P N i kQ PQi M P M i ]ds
EA
GA
EI
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第六章 结构位移计算
例 1：已知图示粱的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
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第六章 结构位移计算
四、应用举例
例 1. 设 EI 为常数，求 Cy 和 B 。
l
l
2
2
EA
4.拱
ip
[ M P M i N P N i ]ds
EI
EA
3.组合结构
董达善 ip
M P M i ds EI
N P N il EA
机械系
教授
第六章 结构位移计算
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
1
kx
N P N il EA
对于直杆体系，有: δWv =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
δW =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
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第六章 结构位移计算
§6-3 单位荷载法
一.单位荷载法
求k点竖向位移. 由变形体虚功方程:
δWe =δWv
k
K
P 1
δWe =P ΔK
δWv =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds

x)k

q(l

x)3
]dx
0 GA
2EI
2qGkl对A2 于8q细El4I长(杆) ,剪切变形
对位移的贡献与弯曲变
董达善 机械形系相比可略去不教授计.
/2
M
P
M
i
设:
] ds
MM P
ql 4 8EI
,qQ

qkl 2 2GA
位EI 移A方b向MQh,M是I Gi4如QEAbPIhlk23
K P
[ N P N i kQ PQi M P M i ]ds
EA
GA
EI
在实际计算中，根据结构的具体情况，常常可以只考虑其中的一项（或两项）
1.梁与刚架
ip
M P M i ds EI
2.桁架
ip
N P N i ds EA

N P N il
一个力系作的总虚功 W=P×
P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚P功的力P系为一个集中力
P
2
1 W P
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
P
A
B
W M A M B M ( A B ) M
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2)作虚功的力系为一个集中力偶
θ
RkPR
4GA
,
N

PR
4EA
A bh, I bh3 /12, k 6 / 5,
M P PR sin , Mi R sin h / RNP1/1P0,sEin/G, Ni 2.5(s钢in砼 )
QP P cos ,Qi cos
ip
已有基础：
1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；
3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
P


MM Pds EI

FN FNds EA

kFQ FQds GA
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பைடு நூலகம்
第六章 结构位移计算
一、图乘法
MM P ds EI

1 EI

MM
P

W 1 P 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
tC
P
机械系 董达善 教授 t
W Pt
第六章 结构位移计算
§2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)
21
第六章 结构位移计算
变形体虚功原理的证明:
qx
ab a b
a
b
b
a
b
1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W
微段外力分 体系外力
为两部分
相互作用力
微段外力功 分为两部分
体系外力功dWe 相互作用力功dWi
微段外力功 dW= dWe+dWi
所有微段的外力功之和:
W=∫dWe+∫dWi =∫dWe =δWe
引起结构位移的原因：
荷载、温度改变 T、支座移动 c、制造误差 等
二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求 如：
在工程上：吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
Pds
必须注意 适用条件

1 EI

x
tan

M Pdx

tan
EI

xM Pdx

tan
EI


xc

1 EI
yc
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图乘法是Vereshagin于1925年提 出的，他当时为莫斯科铁路运输 学院的学生。
第六章 结构位移计算
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
机械将系位董移达分析故善化有教为δ授平W衡e=δ问W题v来成求立解。——虚力原理。
第六章 结构位移计算
（4）变形体虚功方程的展开式
M
q M dM
微段外力: N
N dN Q ds Q dQ
微段变形可看成由如下几部分组成:
微段拉伸
ds
ds 微段剪切
ds
微段弯曲
所W=有微为微微分∫d微段段段为两W段外外外两部e+2变3将的∫力力力部分.d.原形W外原实实平功分功分i力理体=理际际衡∫d功dW，的可待待问W体 相 体 相之=证适e有分分题系 互互系d=和Wδ明用外 作作外两析析化:e+W表于力 用用力d种的的为eW功 力力明任应平协几i d功:何W用衡调何原deW结：力位问理i 构状移题适微 分微 所 W微 为。态状来用=段段 为段有 两∫，态求于d外外 两位微 部W虚，解任力力 部移段 分v =功功 分分的—设虚何δ外—的设Wd(力W线v虚协的在 在刚 变=功性位调平刚 变d体 形之W和体 形移位衡位 位和s+非位 位移 移d:原移力W移 移线aa理状状vbb上 上性。态态的 的)a的，，功 功abbddWWsv
m 1
和为零。也即
Σ→fi .δr→i=0
m
FP 2
2
FN 2
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第六章 结构位移计算
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反
力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必 要和充分条件是：
-FP ΔP +FB ΔB=0
ΔP
FP
对于任何可能的虚位 FAx
ΔB
移，作用于刚体系的所
ΔK =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
适用于各种杆件体系(线性,非线性).
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变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
第六章 结构位移计算
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
ΔK =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
----适用于各种杆件体系(线性,非线性).
hl
n1
h
C
l
(n 1)l
n2
n2
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第六章 结构位移计算
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件：
（1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc
取负值。
在杆件的同侧，yc取正值；反之，
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
第六章 结构位移计算
§6-1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
角位移
A
相对线位移


C
D
y
C C D D
FP
A
x

FP

线位移
相对角位移

线位移，角位移，相对线位移、相对角位移等统称广义位移
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第六章 结构位移计算
P2
22
注意：
P1
（1）属同一体系；
11
12
（2）均为可能状态。即位移
应满足变形协调条件；
力状态应满足平衡条件。
P1
（3）位移状态与力状态完全无关；
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
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第六章 结构位移计算
二、广义力(Generalized force)、广义位移(Generalized displacement)
[ NPNi EA
kQ
P
Q
i
Q M
ds
M
1Rd N P4M00i ]dsM
GA
EI
1 1200
董达善 PR 4 EA
kPR
4 GA
4PER似I 3 计(小算)曲;轴率向杆变可形利,剪用切直变杆形公对式位近
机械系
教授
移的影响可略去不计
第六章 结构位移计算
有外力所做虚功之和为
FAy
零。
FB
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第六章 结构位移计算
（3）变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移时所作的总虚功δWe，恒等于变 形体所接受的总虚变形功δWv。也即恒有
如下虚功方程成立
δWe =δWv
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解：构造虚设单位力状态.
Ah
Ni (x) 0, NP (x) 0
l
b
Qi (x) 1,QP (x) q(l x)
P 1 x
M i (x) x l, M P (x) q(l x)2
ip
[ N P N i kQ P Q i
EA
GA

l q(l [
结构力学
第六章 结构位移计算
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第六章 结构位移计算
§6-1. 结构位移计算概述 §6-2. 变形体虚功原理 §6-3. 单位荷载法 §6-4. 荷载作用下的位移计算 §6-5. 图乘法 §6-6. 温度变化时的位移计算 §6-7. 支座移动时的位移计算 §6-8. 互等定理
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P
0
NP 0
P a 1 2
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a EA
2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
2P k a
2
Ni
1
EA
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第六章 结构位移计算
§6-5 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
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第六章 结构位移计算
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3) 施工要求
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2)小变形 (Small Deformation), (3)理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)