第8章 校正设计_3 PID控制器设计实例-单轴螺旋桨悬浮系统

Automatic control
Lecture 8: Control System Design
Automatic control
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选择控制器设计方案
Gc ( s )
U
比例（P）控制器分析
21.3 s ( s 1)
2
Kp
U
Gc ( s)
4
3
2012/11/27
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比例积分（PI）控制器分析
闭环特征方程 开环传递函数
比例积分微分（PID）控制器分析
Kp 3
-0.005
扰动为单位阶跃时的稳态误差
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 Real Axis -0.5 0
-3
-2
-1
0
-1
1
2
Real Axis (seconds )
若要稳定，Td 必须大于电机 时间常数1s
-0.01
1 ess lim sE ( s ) s 0 Kp
0
5
10 Time (seconds)
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比例（P）控制器分析
闭环特征方程
s 3 s 2 21.3K p 0
Step Response 1000
8 6 4 Imaginary Axis
开环传递函数 21.3K p Gc ( s )G p ( s ) 2 s ( s 1)
负反馈自动控制系统
N ( s ) 0.18 U ( s) s 1
K m n0 2 1 m1 gl m2 gl 2
Gc ( s )
U
21.3 s 2 ( s 1)
G p ( s)
f K m n0 2 2 K m n0 n
1 2 1 2 m1l m2l fl m1 gl m2 gl 3 2
5 10 15 Time (s) 20 25 30
4
3

2
1
0 0
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PD控制器实际运行效果
比例积分（PI）控制器分析
Nyquist Diagram 15 10 5 0 -5 -10
21.3 s 2 ( s 1)
Gc ( s )
G p (s)
KP 1 Ti 根轨迹
Imaginary Axis
开环传递函数
KP 1 Ti 2
Gc ( s )G p ( s )
闭环传递函数
4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -15
2.07n 合并方程2、3，并将各参数带入后得到
传递函数
MPU6050姿态传感器
(s)
N (s)

2.07 s2
合并上式与方程1，同时将角度单位转由弧度换为度。得到控制 量u和角度的关系 (s) 21.3
Arduino 单片机
U (s)

s 2 s 1
角度单位为度，控制 量u的单位为微秒
Nyquist Diagram
比例微分（PD）控制器分析
K P (1 Td s)
U
Gc ( s )
21.3 s 2 ( s 1)
G p ( s)
500 Amplitude
2 0 -2 -4 -6
0
-500
开环传递函数
-6 -4 Real Axis -2 0
Gc ( s )G p ( s )
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构造负反馈控制回路
杆数学模型
f
m1 0.1 Kg m2 0.07 Kg

系统运动方程遵循
m1 g
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设计目标
控ห้องสมุดไป่ตู้器设计实例
单轴螺旋桨悬浮系统
设计一个自动控制系统，自动控制螺旋桨转速产生 合适的升力，使木杆悬浮在指定角度。要求：
仲志丹 Johnsonzzd@gmail.com 机械电子工程教研室 1. 稳定。在外界扰动的情况下仍能正常工作； 2. 准确。尽量小的稳态误差； 3. 快速。快速运动到设定角度；
K P (1 1 Td s ) Ti s
U
s s 21.3K PTi s 21.3K p 0
4 3
缺2次方项，不稳定
Root Locus 10 8 6 Imaginary Axis (seconds )
-1
21.3K P (Ti s 1) s 3 ( s 1)
包围（-1，j0）点两圈，不稳定
5
PD控制器计算机程序
单片机程序，控制周期0.01s。
NOW = micros(); INTERVAL = (NOW ‐ lastTime); lastTime = NOW; ERROR = SET_POINT ‐ STATE.theta; P_ITERM = KP * ERROR; D_ITERM = KP * TD * (ERROR ‐ lastERROR) * 1000000/INTERVAL; ESC_DeltaU = P_ITERM + D_ITERM; output = ESC_DeltaU + ESC_U0; output = constrain(output,1000,2000); lastERROR = ERROR; ESC.writeMicroseconds(output);
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螺旋桨数学模型
1045螺旋桨 直径：10英寸 螺矩：4.5英寸
电机数学模型
螺旋桨拉力f 和空气相对速度平方成正比。空气流速与螺旋桨转 速n成正比： 2
K P 1, Td 根轨迹
Root Locus 20 15 Imaginary Axis (seconds )
-1
21.3K P (Td s 1) s 2 ( s 1)
KP 1
Nyquist Diagram 0.01 Td=0.99 Td=1.01
R( s)
E (s)
K P (1 Td s )
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比例微分（PD）控制器分析
闭环特征方程 开环传递函数
PD控制器在扰动作用下的误差
N (s)
s 3 s 2 21.3K PTd s 21.3K p 0
K P (1 1 ) Ti s
U
21.3 s 2 ( s 1)
Gp (s)
Gc ( s )
开环传递函数
设定值 控制量 实际值
Gc ( s )G p ( s )
G (s)
21.3K P (Ti s 1) s 3 ( s 1)
闭环传递函数
21.3K PTi s 21.3K p s s 3 21.3K PTi s 21.3K p
M I
m2 g
l 0.45 m
1 1 2 2 m1l m2l fl m1 g l cos m2 gl cos 2 3
在水平位置时 cos 1 则系统转动方程线性化为
1 2 1 2 m1l m2l fl m1 gl m2 gl 3 2
控制器向电调发出转速信号，电调控制电机旋转。控制器给电机 发送的控制量u是脉宽信号，有效宽度为1000—2000us，对应 转速0—180转/秒。同时认为脉宽和转速之间是一阶惯性环节， 时间常数通过实验确定为1s，则有
f K m n 2 K m (n0 n) 2 K m (n0 2 2n0 n n 2 ) K m n0 2 K m n0 n
f Kmn
Km是和旋桨直径平方成正比的一个系数。查得参数：180转/秒 时拉力0.8Kg，则有
好盈40A电机驱动器（电调）
朗宇V2216KV900无刷电机
K m 9.8*0.8 / 1802 0.00024 牛 /(转/秒)
设杆平衡时，螺旋桨转速为n0 ，此时拉力与重力平衡。在平衡 点处线性化，去除高阶平方项
15
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PD控制器仿真
kp=2; td=2.5; s=tf('s'); gc=kp*(1+td*s); gp=21.3/s/s/(s+1); t=0:0.01:30; r=linspace(1,1,length(t)); y=lsim(gc*gp/(1+gc*gp),u,t); n=linspace(5,5,length(t))+5* rand(1,length(t)); yn=lsim(gp/(1+gc*gp),n,t); plot(t, y+yn); grid on; 单位阶跃响应 扰动量：5以及0-5的随机数
G (s)
21.3K P (Td s 1) s 2 ( s 1)
-1000 0 2 4 Time (seconds) 6
-8
闭环传递函数
21.3K PTd s 21.3 K p s 3 s 2 21.3K PTd s 21.3K p
2
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2
N ( s ) 0.18 U (s) s 1
1
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对象传递函数
1.指令和转速的关系 2.转速和拉力的关系 3.拉力和杆角度的关系
21.3 s 2 ( s 1)
Gp (s)
G p ( s)
可选择控制器设计方案
1. 比例控制（P） 2. 比例+微分控制（PD） 3. 比例+积分控制（PI）
Gc ( s ) K P Gc ( s ) K P (1 Td s )
Gc ( s ) K P (1
1 ) Ti s 4. 比例+积分+微分控制（PID） G ( s ) K (1 1 T s ) c P d Ti s
Gc ( s )
U
21.3 s 2 ( s 1)
G p ( s)
Y (s)
把外界扰 动折算为 电机转速 的变化
10 5 0 -5 -10 -15 -20 -4
System: h Gain: 1.01 Pole: 0.0153 + 4.64i Damping: -0.0033 Overshoot (%): 101 Frequency (rad/s): 4.64
G p ( s) E (s) N ( s ) 1 Gc ( s )G p ( s )
Amplitude
Step Response 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
0.005 Imaginary Axis

0
21.3 s 3 s 2 21.3K PTd s 21.3K p
开环传递函数 闭环传递函数
Gc ( s )G p ( s )
G (s)
21.3K p s 2 ( s 1)
21.3K p s s 2 21.3K p
3
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21.3K P (TiTd s 2 Ti s 1) Ti s 3 ( s 1)