基于贝叶斯网络的系统可靠性评估方法研究
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图 2 一个基于 CTBN 的系统可靠性模型
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第 21 卷第 16 期 2009 年 8 月
系统仿真学报
Vol. 21 No. 16 Agu., 2009
图 3 采用的建模工具 Hugin Lite 进行计算
C 的联合故障概率密度函数为：
f ABC (a,b,c) = fC|A,B (C | a,b) fB (b) f A (a)
1.4 连续时间贝叶斯网络（CTBN）
定义 1：贝叶斯网络（BN）
贝叶斯网络是表示变量间概率依赖关系的有向无环图
（Directed acyclic graph，DAG）B=<N,A,Θ>，这里每个节 点 n∈N 表示领域变量，每条边 a∈A 表示变量间的概率依
赖关系，同时对每个节点都对应着一个条件概率分布表
正；
(3) 贝叶斯网络可以图形化表示随机变量间的联合概
率，能够处理各种不确定信息；
(4) 贝叶斯网络没有确定的输入或输出节点，节点之间
是相互影响的，任何节点观测值的获取或者对于任何节点的
干涉, 都会对其它节点造成影响, 并可以利用贝叶斯网络推
理来进行估计和预测；
1.3 离散时间贝叶斯网络（DTBN）
收稿日期：9
修回日期：2008-05-27
作者简介：何明(1978-), 男, 新疆石河子人, 博士后, 副教授, 研究方向
为建模与仿真和信息安全； 裘杭萍(1965-), 女, 浙江杭州人, 教授, 研
究方向为系统工程和评估；姜志平(1978-), 男, 江苏人, 博士, 讲师, 研
针对以上问题，我们提出基于 BN 的可靠性建模与分析 方法，为研究动态系统提供了一种新的技术途径。文中重点 研究如何定义不确定情形下的可靠性参数，以及如何求解这 些参数，并对仿真试验的结果做了灵敏度和不确定性分析。
1 相关概念
1.1 动态故障树（DFT）
动态故障树（Dynamic Fault Tree，DFT）扩展了传统故
HE Ming1,2, QIU Hang-ping1, JIANG Zhi-ping1, DAI Jian-feng1, ZENG Qiong1
(1. Institute of Command Automation, PLA Science and Technology University, Nanjing 210007, China; 2 Institute of Information Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)
系统的灵敏度，减少了其不确定性。
关键词: 贝叶斯网络；动态故障树；可靠性；离散时间贝叶斯网络；连续时间贝叶斯网络
中图分类号：TP391.9
文献标识码: A
文章编号：1004-731X (2009) 16-4934-04
Research on Method for Evaluating Reliability of Systems Based on BN
第 21 卷第 16 期 2009 年 8 月
系 统 仿 真 学 报© Journal of System Simulation
Vol. 21 No. 16 Aug., 2009
基于贝叶斯网络的系统可靠性评估方法研究
何 明 1,2，裘杭萍 1，姜志平 1，戴剑峰 1，曾 琼 1
(1.解放军理工大学指挥自动化学院，南京 210007；2.东南大学信息科学与工程学院，南京 210096)
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第 21 卷第 16 期 2009 年 8 月
何明，等：基于贝叶斯网络的系统可靠性分析与仿真
Vol. 21 No. 16 Aug., 2009
障树定义了专门用于捕获错误序列函数相关性的门限。
本要素或门限在时间间隔 x 即(( x -1)△， x △]内发生故障。
1.2 贝叶斯网络（BN）
2 基于 CTBN 的可靠性分析方法
为便于理解，通过与故障树进行对比，来介绍基于 CTBN 对系统中的模态部件（“与”门和 WSP 门）进行描述。 系统中模态部件对应于 CTBN 中的根结点，根结点的条件概 率表对应于模态部件各个状态的发生概率。
2.1 CTBN 的“与”门
图 1 故障树“与”门对应的 CTBN
有向图自然直观地表示出来, 另一方面, 也可以将统计数据
以条件概率的形式融入到模型中。这样贝叶斯网络就能将人
类的先验知识和后验的数据完美地结合，克服框架、语义网
络等模型仅能表达处理信息的弱点和神经网络等方法不直
观的缺点；
(2) 贝叶斯网络与一般知识表示方法不同的是对于问题
域的建模，当条件或行为等发生变化时，不用对模型进行修
其中，CTBN 和 DTBN 有相同的“与”门结构。图 1 中节点 A 和 B 都是根节点，边缘概率密度函数分别是 f A (a) 和 fB (b) ， “与”门输出为 C。其条件概率密度函数为：
fC|A,B (c | a,b) = u(b − a)δ (c − b) + u(a − b)δ (c − a) (2) 第一项 u(b − a)δ (c − b) 表示如果节点 B 在节点 A 之后 发生故障，则节点 C 与节点 B 的状态相同；第二项 u(a − b)δ (c − a) 表示如果节点 A 在节点 B 之后发生故障， 则节点 C 与节点 A 的状态相同。 举例：假设图 1 中部件 A，B 都为二态部件，对于 A 只 有正常（Work）和故障（Fault）2 种状态。由于所具有的 2 种状态互斥且互补，为便于表示，用 A=1 表示该部件处于 Fault 状态，A=0 表示该部件处于 Work 状态。而对于噪声门 或其它不确定的关系，用故障树方法进行表达，则力不从心。 而用 CTBN 的条件概率表，则显得非常方便。图 2 用 CTBN 的条件概率表表示噪声“与”门，仿真结果如图所示：
摘 要：为了有效评估动态系统要素间的复杂行为和交互特性，提出了一种基于贝叶斯网络
（Bayesian Network，BN）的可靠性建模与分析的新方法。该方法利用 BN 的不确定性推理和图形
化表达的优势，能够很好地捕捉系统要素的行为与交互，以结构的方式组合各种基本 BN 架构为用
户提供模块化和分级的途径对系统进行建模。实验结果表明该方法的可行性和有效性。从而提高了
究方向为指挥自动化；戴剑峰(1979-), 男, 江苏人 硕士，研究方向为系
统工程；曾琼(1978-), 女, 四川人, 硕士，研究方向为网络管理。
障树，用于解决失效序列和函数相关问题。传统故障树，也 可称作标准或静态错误树，是各种模型的组合。组合模型只 能用于捕获组合事件的发生，而不能对事件发生的次序进行 排序。因此组合模型不适用于目前的复杂动态系统。动态故
（CPT），指明了该变量与父节点之间概率的数量关系，Θ 表示 CPT 的参数。
设大写字母 X={X1,X2,…Xm}表示领域变量，小写字母 x={x1,x2,…xm}表示变量的取值， pa( Xi ) 表示节点 Xi 的所 有父节点变量的集合，那么贝叶斯网络的联合概率分布可以
用下面的式子表示：
n
f X1 , X 2 ,..., X n
Abstract: In order to evaluate complex behaviors and interactions between their components of dynamic systems, a new method for modeling and analysing dynamic systems reliability based on BN was presented. By using the advantages of uncertainty reasoning and figurative expression of Bayesian network, system components’ behaviors and interactions were captured well-defined. Combining, in a structured way, the various ‘basic’ Bayesian network constructs enables the user to construct, in a modular and hierarchical fashion, the system model. Experiment results show that the method is feasible and valid. Sensitivity is improved, and uncertainty is lessened. Key words: BN; DFT; reliability; DTBN; CTBN
(5) 国内学者尹晓伟等人利用 BN 根据元件多种状态概 率直接计算系统可靠度，对多状态系统可靠性进行定性分析 和定量评估[6]。
但是，传统的可靠性建模与分析方法不能捕获动态系统 的复杂行为和交互特性。虽然，Markov 链可用于动态系统 建模，但也存在局限性：①它是一种低级的建模形式，在一 个大型系统中相互指定一个 Markov 链繁琐，且易出错，通 常由高级建模描述语言（比如 Galileo 方法中的动态故障树） 自动导出；②建模方法局限于 Markov 过程，这需要所有状 态持续时间服从指数分布；③遇到状态空间爆炸式增长的问 题显得无能为力。
CTBN[8]是为在连续时间演化的结构化随机过程的一种 形状建模语言，是对 DTBN 的推广。特别是当 n 趋向于无穷 时，DTBN 就成了 CTBN。事实上，DTBN 与 CTBN 中的基 本 BN 结构是相同的。两者的差别在于 CTBN 中的变量是连 续的，概率可表示成概率密度函数，联合概率可表示成联合 概率密度函数。
在分别将贝叶斯网络中的节点和有向边改造为时间随 机变量和时间区间因果关系后，需要为时间随机变量分配条 件概率，以量化时间区间因果关系的强度。条件概率分配完 成后，即完成了对贝叶斯网络的改造，形成了时间贝叶斯网 络。根据时间表示，时间 BN 分成两大类：瞬时法和间隔法。
在 DTBN[7]形式中, t=0 到 t=T 的时间轴被分成 n 等分， 每等分的时间间隔为△，n 为时间粒度。每个随机变量 n+1 个状态，前 n 个状态表示要素 X 在前 n 个时间间隔内发生故 障，最后的 n+1 状态表示要素在任务时间内正常运行。如果 要对一组随机变量建立时间次序，那么所有变量需要有相同 的时间粒度；如果随机变量 X 处于状态 x ，那么就意味着基
引 言1
贝叶斯网络（Bayesian Network，BN）[1]是研究不确定 性问题的重要方法之一。它基于概率和统计理论，具有自然 的表达方式、强大的推理能力和方便的决策机制等许多优 点，在许多领域得到了广泛的应用。
目前，BN 在可靠性方面的研究现状如下： (1) Bobbio 等人将 BN 用于可靠性分析[2]，给出了静态 故障树（FT）到 BN 的映射，以及如何由 BN 推导得到 FT 门限上限的故障概率。不足之处是，仅对静态 FT 研究，其 成果不适用于动态系统。 (2) Torres-Toledano 和 Succar 在可靠性框图和 BN 的映 射方面作了相关工作[3]。 (3) Bouissou 等人利用 BN 解释了如何在一个多状态系 统上执行有效性的计算[4]。 (4) Weber 等人利用 2 时间片动态贝叶斯网络（Dynamic Bayesian Network，DBN）来建模网络要素间的时间相关性 实现可靠性计算，还论证了 DBN 和 Markov 链之间的等价 性[5]。
(x1, x2 ,...,
xn )
=
Π
i =1
f ( x Xi |pa( Xi ) i
|
pa( X i ))
(1)
贝叶斯网络作为有一种图形化的建模工具, 主要具有
以下优点：
(1) 贝叶斯网络将有向无环图与概率理论有机结合, 不
但具有正式的概率理论基础, 同时也具有更加直观的知识
表示形式。一方面，它可以将人类所拥有的因果知识直接用
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第 21 卷第 16 期 2009 年 8 月
系统仿真学报
Vol. 21 No. 16 Agu., 2009
图 3 采用的建模工具 Hugin Lite 进行计算
C 的联合故障概率密度函数为：
f ABC (a,b,c) = fC|A,B (C | a,b) fB (b) f A (a)
1.4 连续时间贝叶斯网络（CTBN）
定义 1：贝叶斯网络（BN）
贝叶斯网络是表示变量间概率依赖关系的有向无环图
（Directed acyclic graph，DAG）B=<N,A,Θ>，这里每个节 点 n∈N 表示领域变量，每条边 a∈A 表示变量间的概率依
赖关系，同时对每个节点都对应着一个条件概率分布表
正；
(3) 贝叶斯网络可以图形化表示随机变量间的联合概
率，能够处理各种不确定信息；
(4) 贝叶斯网络没有确定的输入或输出节点，节点之间
是相互影响的，任何节点观测值的获取或者对于任何节点的
干涉, 都会对其它节点造成影响, 并可以利用贝叶斯网络推
理来进行估计和预测；
1.3 离散时间贝叶斯网络（DTBN）
收稿日期：9
修回日期：2008-05-27
作者简介：何明(1978-), 男, 新疆石河子人, 博士后, 副教授, 研究方向
为建模与仿真和信息安全； 裘杭萍(1965-), 女, 浙江杭州人, 教授, 研
究方向为系统工程和评估；姜志平(1978-), 男, 江苏人, 博士, 讲师, 研
针对以上问题，我们提出基于 BN 的可靠性建模与分析 方法，为研究动态系统提供了一种新的技术途径。文中重点 研究如何定义不确定情形下的可靠性参数，以及如何求解这 些参数，并对仿真试验的结果做了灵敏度和不确定性分析。
1 相关概念
1.1 动态故障树（DFT）
动态故障树（Dynamic Fault Tree，DFT）扩展了传统故
HE Ming1,2, QIU Hang-ping1, JIANG Zhi-ping1, DAI Jian-feng1, ZENG Qiong1
(1. Institute of Command Automation, PLA Science and Technology University, Nanjing 210007, China; 2 Institute of Information Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)
系统的灵敏度，减少了其不确定性。
关键词: 贝叶斯网络；动态故障树；可靠性；离散时间贝叶斯网络；连续时间贝叶斯网络
中图分类号：TP391.9
文献标识码: A
文章编号：1004-731X (2009) 16-4934-04
Research on Method for Evaluating Reliability of Systems Based on BN
第 21 卷第 16 期 2009 年 8 月
系 统 仿 真 学 报© Journal of System Simulation
Vol. 21 No. 16 Aug., 2009
基于贝叶斯网络的系统可靠性评估方法研究
何 明 1,2，裘杭萍 1，姜志平 1，戴剑峰 1，曾 琼 1
(1.解放军理工大学指挥自动化学院，南京 210007；2.东南大学信息科学与工程学院，南京 210096)
• 4934 •
第 21 卷第 16 期 2009 年 8 月
何明，等：基于贝叶斯网络的系统可靠性分析与仿真
Vol. 21 No. 16 Aug., 2009
障树定义了专门用于捕获错误序列函数相关性的门限。
本要素或门限在时间间隔 x 即(( x -1)△， x △]内发生故障。
1.2 贝叶斯网络（BN）
2 基于 CTBN 的可靠性分析方法
为便于理解，通过与故障树进行对比，来介绍基于 CTBN 对系统中的模态部件（“与”门和 WSP 门）进行描述。 系统中模态部件对应于 CTBN 中的根结点，根结点的条件概 率表对应于模态部件各个状态的发生概率。
2.1 CTBN 的“与”门
图 1 故障树“与”门对应的 CTBN
有向图自然直观地表示出来, 另一方面, 也可以将统计数据
以条件概率的形式融入到模型中。这样贝叶斯网络就能将人
类的先验知识和后验的数据完美地结合，克服框架、语义网
络等模型仅能表达处理信息的弱点和神经网络等方法不直
观的缺点；
(2) 贝叶斯网络与一般知识表示方法不同的是对于问题
域的建模，当条件或行为等发生变化时，不用对模型进行修
其中，CTBN 和 DTBN 有相同的“与”门结构。图 1 中节点 A 和 B 都是根节点，边缘概率密度函数分别是 f A (a) 和 fB (b) ， “与”门输出为 C。其条件概率密度函数为：
fC|A,B (c | a,b) = u(b − a)δ (c − b) + u(a − b)δ (c − a) (2) 第一项 u(b − a)δ (c − b) 表示如果节点 B 在节点 A 之后 发生故障，则节点 C 与节点 B 的状态相同；第二项 u(a − b)δ (c − a) 表示如果节点 A 在节点 B 之后发生故障， 则节点 C 与节点 A 的状态相同。 举例：假设图 1 中部件 A，B 都为二态部件，对于 A 只 有正常（Work）和故障（Fault）2 种状态。由于所具有的 2 种状态互斥且互补，为便于表示，用 A=1 表示该部件处于 Fault 状态，A=0 表示该部件处于 Work 状态。而对于噪声门 或其它不确定的关系，用故障树方法进行表达，则力不从心。 而用 CTBN 的条件概率表，则显得非常方便。图 2 用 CTBN 的条件概率表表示噪声“与”门，仿真结果如图所示：
摘 要：为了有效评估动态系统要素间的复杂行为和交互特性，提出了一种基于贝叶斯网络
（Bayesian Network，BN）的可靠性建模与分析的新方法。该方法利用 BN 的不确定性推理和图形
化表达的优势，能够很好地捕捉系统要素的行为与交互，以结构的方式组合各种基本 BN 架构为用
户提供模块化和分级的途径对系统进行建模。实验结果表明该方法的可行性和有效性。从而提高了
究方向为指挥自动化；戴剑峰(1979-), 男, 江苏人 硕士，研究方向为系
统工程；曾琼(1978-), 女, 四川人, 硕士，研究方向为网络管理。
障树，用于解决失效序列和函数相关问题。传统故障树，也 可称作标准或静态错误树，是各种模型的组合。组合模型只 能用于捕获组合事件的发生，而不能对事件发生的次序进行 排序。因此组合模型不适用于目前的复杂动态系统。动态故
（CPT），指明了该变量与父节点之间概率的数量关系，Θ 表示 CPT 的参数。
设大写字母 X={X1,X2,…Xm}表示领域变量，小写字母 x={x1,x2,…xm}表示变量的取值， pa( Xi ) 表示节点 Xi 的所 有父节点变量的集合，那么贝叶斯网络的联合概率分布可以
用下面的式子表示：
n
f X1 , X 2 ,..., X n
Abstract: In order to evaluate complex behaviors and interactions between their components of dynamic systems, a new method for modeling and analysing dynamic systems reliability based on BN was presented. By using the advantages of uncertainty reasoning and figurative expression of Bayesian network, system components’ behaviors and interactions were captured well-defined. Combining, in a structured way, the various ‘basic’ Bayesian network constructs enables the user to construct, in a modular and hierarchical fashion, the system model. Experiment results show that the method is feasible and valid. Sensitivity is improved, and uncertainty is lessened. Key words: BN; DFT; reliability; DTBN; CTBN
(5) 国内学者尹晓伟等人利用 BN 根据元件多种状态概 率直接计算系统可靠度，对多状态系统可靠性进行定性分析 和定量评估[6]。
但是，传统的可靠性建模与分析方法不能捕获动态系统 的复杂行为和交互特性。虽然，Markov 链可用于动态系统 建模，但也存在局限性：①它是一种低级的建模形式，在一 个大型系统中相互指定一个 Markov 链繁琐，且易出错，通 常由高级建模描述语言（比如 Galileo 方法中的动态故障树） 自动导出；②建模方法局限于 Markov 过程，这需要所有状 态持续时间服从指数分布；③遇到状态空间爆炸式增长的问 题显得无能为力。
CTBN[8]是为在连续时间演化的结构化随机过程的一种 形状建模语言，是对 DTBN 的推广。特别是当 n 趋向于无穷 时，DTBN 就成了 CTBN。事实上，DTBN 与 CTBN 中的基 本 BN 结构是相同的。两者的差别在于 CTBN 中的变量是连 续的，概率可表示成概率密度函数，联合概率可表示成联合 概率密度函数。
在分别将贝叶斯网络中的节点和有向边改造为时间随 机变量和时间区间因果关系后，需要为时间随机变量分配条 件概率，以量化时间区间因果关系的强度。条件概率分配完 成后，即完成了对贝叶斯网络的改造，形成了时间贝叶斯网 络。根据时间表示，时间 BN 分成两大类：瞬时法和间隔法。
在 DTBN[7]形式中, t=0 到 t=T 的时间轴被分成 n 等分， 每等分的时间间隔为△，n 为时间粒度。每个随机变量 n+1 个状态，前 n 个状态表示要素 X 在前 n 个时间间隔内发生故 障，最后的 n+1 状态表示要素在任务时间内正常运行。如果 要对一组随机变量建立时间次序，那么所有变量需要有相同 的时间粒度；如果随机变量 X 处于状态 x ，那么就意味着基
引 言1
贝叶斯网络（Bayesian Network，BN）[1]是研究不确定 性问题的重要方法之一。它基于概率和统计理论，具有自然 的表达方式、强大的推理能力和方便的决策机制等许多优 点，在许多领域得到了广泛的应用。
目前，BN 在可靠性方面的研究现状如下： (1) Bobbio 等人将 BN 用于可靠性分析[2]，给出了静态 故障树（FT）到 BN 的映射，以及如何由 BN 推导得到 FT 门限上限的故障概率。不足之处是，仅对静态 FT 研究，其 成果不适用于动态系统。 (2) Torres-Toledano 和 Succar 在可靠性框图和 BN 的映 射方面作了相关工作[3]。 (3) Bouissou 等人利用 BN 解释了如何在一个多状态系 统上执行有效性的计算[4]。 (4) Weber 等人利用 2 时间片动态贝叶斯网络（Dynamic Bayesian Network，DBN）来建模网络要素间的时间相关性 实现可靠性计算，还论证了 DBN 和 Markov 链之间的等价 性[5]。
(x1, x2 ,...,
xn )
=
Π
i =1
f ( x Xi |pa( Xi ) i
|
pa( X i ))
(1)
贝叶斯网络作为有一种图形化的建模工具, 主要具有
以下优点：
(1) 贝叶斯网络将有向无环图与概率理论有机结合, 不
但具有正式的概率理论基础, 同时也具有更加直观的知识
表示形式。一方面，它可以将人类所拥有的因果知识直接用