高等土力学李广信2.7Lade-Duncan模型和清华弹塑性模型

Wp峰
Pa
3
pa
l
（3）
q 3 pa
（4）
图2－67
承德中密砂Wp与塑性剪胀屈服函数fp间的关系
修正的Lade-Duncan模型中14个常数
Kur, n, , 弹性 m, 破坏与屈服
c, p, 塑性塌陷 R, S, t, 塑性剪胀的塑性势函数
P, l， 硬化参数
2.7.4 清华弹塑性模型
(f
ft)
Wp a dWp
ft:初应力水平
a
Mpa
( 3
pa
)l
d 1 ( f ft )ult
rf
Kf ft ( f ft )ult
破坏比
Lade－Duncan模型的参数
弹性常数：K，n,
破坏常数：K1 塑性势常数(K2)： A 塑性功常数：M, l, rf, ft,
2.7.2 修正的Lade-Duncan模型
3)塑性剪胀部分的参数
塑性势函数中的参数
2 Sfp R 3 pa t
常数S, t, R
p
d
p 3
gp
3
d1p
gp 1
2 f (I1,1, 3, p )
3)塑性剪胀部分的参数
剪胀变形的塑性功Wp中的参数：
1
1
fp
aebWp
Wp
pa
q
a
1
epa Wp峰
q
（1）
b 1 （2） qWp峰
d
c ij
dc
f c
ij
应力应变关系：
dc
dWc 2 fc
（二次齐次
方程）
3. 塑性剪胀应变 破坏面方程：
屈服面方程：
塑性势方程： 硬化参数 ：
d
p ij
1
I13
I3
27
I1
pa
m
fp
I13
I3
27
I1
pa
m
gp
I13
27
2
pa I1
m
I3
Wp
q
p 图2－66
微弯的破坏面、屈服面与塑性势面
1
1t2
2t2 1 2 cos2 30 t2 2t 1 2 2t 3t2 2t3
1 t 2t2 1cos 30 （12）
0
t Mt Mc
2
1 1 2t 2t2
1 t 2
2t2 t 2 2 cos 30
1 t 2t2 t 2 cos 30
p
kPa
3kPa
5kPa
0
vp
图2－68 三轴试验的塑性应变路径
p-q平
面
平面上
图2－69 塑性应变增量的方向与屈服轨迹
f g p h 2 q 2 1 0 （1）
kh krh
近似为椭圆屈服轨迹
k2p2 k2 1q2 p
h
r2
（2）
k2 1
硬化参数h
根据正交性，式（1）微分＋式（2），得到：
1.弹性应变的确定
ij
e ij
p ij
dij
d
e ij
d
p ij
1.弹性应变 eij的确定
n
E
kur
pa
3
pa
假设泊松比常数
有关常数通过三轴试验的初始模量确定E
2. 破坏面、屈服面、塑性势面及其函数式
破坏面函数： 屈服函数： 塑性势函数：
f1 I13 I3 kf
f I13 I3 k
d
c ij
塑性塌陷应变
破坏面
塑性剪胀屈服面 塑性塌陷屈服面
静水压力轴
0
图2－65 修正模型的双重屈服面
2.塑性塌陷应变 屈服面函数
d
c ij
fc I12 2I2
硬化参数：塑性功；相适应流动法则 Wc ijdicj
dwc
ij
d
c ij
ijdc
fc
ij
dc ij
fc
ij
＝dc
2
fc
微分
x2k
2
k
2
r
1
2
（3）
代入公式（4）
tgz
r 2 x
k
r
2
2
1
x
(5)
x2k
2
k
2 1 r2
Z
arctg
dv p d p
从式（5）和此图中
两个点确定 r, k 两个
常数
图2－70 三轴试验确定屈服函数中的参数
3. 硬化参数的确定 h
k2
p2
k
2
r
2
1
q
2
p
k2 1
(2)
在各向等压条件下：q=0, p=p0。公式（2）变为：
g
ij
ij
应力应变关系
dWp
d
p
ij
ij
d
g
ij
ij
g
ij
ij
3g
（三阶齐次方程）
所以：
d dWp
3g
d
p ij
d
g
ij
4. 模型的参数的确定
1）弹性参数：，Kur, n：三轴试验卸、再加载（或
者曲线初始段）曲线 2）强度参数：kf : 试样破坏时kf =I13/I3 3）塑性势函数中k2 4）硬化参数：塑性功中参数
2.7 Lade-Duncan模型和清华弹塑性模型
2.7.1 Lade-Duncan模型 2.7.2 修正的Lade-Duncan模型 2.7.3 清华弹塑性模型
2.7.1 Lade-Duncan模型－特点
1.采用不相适应的流动准则 2.以塑性功Wp为硬化参数 3.过坐标原点的射线屈服轨迹－圆锥形屈服面 4.主要适用于砂土
h p0 1 k
q （2）
在同一屈服面上：
p
p0
p ( 0
k2
wk.baidu.com
p2
k2 1q2 r2
p)
/(k
图2－71 屈服面
1)
（6）
从各向等压试验：
p0
pa
1 m4
(
p v0
m6 )m5
（7）
p h 0
1 k
（2）
h pa 1 k
1 m
(
p v0
m6
)m5
4
（8）
在同一个屈服面上：
p vo
p v
m3
g I13 k2I3 0
q
破坏面、屈服面、塑性势面的 几何形状
破坏轨迹 屈服轨迹
p 塑性势轨迹
图2－61 破坏面、屈 服面、塑性势面在 子午面上的轨迹
图2－62
在平面上的破坏、屈服面轨迹
3.硬化参数与应力应变关系
硬化参数： 塑性功Wp
Wp
ij
d
p ij
塑性功增量
dWp
d
p
ij
ij
d
1 2t 2t2 4t3 4t2 t 3
（13）
0
arctg
4t 3 3
4t2 t 3 4t3 3t 1
（14）
t为用M=q/p表示的三轴伸长强度与三轴压缩强度 之比，只需加作一个三轴伸长试验，确定其强度。
K2 A f 27(1 A)
p: 是试验数据 I1，1，3 ：相应的应力
通过以上关系式确定各应力状态下的k2 绘制K2与f的直线，确定常数A
K2
f
k2
3I12 1 p 3 1 p 3
图2－63 参数K2的试验确定
K2 A f 27(1 A)
对于承德中密砂A=0.415
塑性功Wp中的常数－假设
原模型只有锥面，亦即只有剪胀； 在静水压力下，没有塑性体应变； 所以作者进行修正。
图2－64 只有塑性剪胀 的屈服面
两套屈服面：圆锥面＋帽子屈服面。 破坏面、屈服面、塑性势面的子午线是微弯的 可反映土的应变软化。
1. 弹性变形与两种塑性应变
dij
d
e ij
d
c ij
dipj
d
p ij
塑性剪胀应变
f g p h 2 q 2 1 0
kh krh
dV p d p
dq dp
r2x
r2
k
2
1
x
x2k
2
k
2
r
1
2
（3）
其中：
x
p q
1
设
Z
arctg
d
p V
d p
（4）
Z
arctg
dVp d p
（4）
d Vp d p
dq dp
r2x
k
r
2
2
1
x
f I13 I3 k
g I13 k2I3 0
3）塑性势函数中k2 假设
K2 A f 27(1 A)
f I13 I3 k
K2是f的函数， 关键是确定常数A
p d3p g 3 3I12 k213
d1p g 1
3I12
k2
2 3
k2
3I12 1 p 3 1 p 3
1. 弹性参数的确定 2. 屈服面的确定 3. 硬化参数的确定 4. 模型的三维形式
1. 弹性变形参数 K, G
K K0 p
各向等压试验
n
G
G0
pa
3
pa
常规三轴试验
2. 屈服面的确定
p v
v
ve
p
e
计算三轴试验下各应力状态下的塑性应变，
绘制应力－塑性应变间关系曲线－在应力坐 标下塑性应变增量的方向。
4. 有关参数的确定
1)弹性参数E、：
三轴卸载
2)塑性塌陷部分的参数：c和p从三 轴试验确定
Wc
cPa
fc pa 2
p
3)塑性剪胀部分的参数
强度参数：和m: 不同围压下的破坏试验
1
I13
I3
27
I1
pa
m
pa/I1 与(I13/I3-27)的双对数坐标曲线：
lg(I13 / I3 27) lg1 m lg(I1 / pa )
p
（9）
1 1 m3 2
（10）
1
p v
/
p vo
2
p
/
p vo
图2－72 同一屈服面上 塑性应变分量的关系
硬化参数的表达式：
h
pa 1 k
1 m4
m6
p V
m3
p
m5
（11）
4. 模型的三维形式 图2－73 双圆弧屈服轨迹
f
ph kh
2
q
krh
2
1
0
0
1
t
1 2t