三阶非线性特征值问题的无穷多个正解
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高校应用数学学报
２ １， ５３： １—１ ００ ２（） ３３３８
三 阶 非线 性特 征值 问题 的无 穷 多个 正解
张晓萍， 孙永平， 赵 敏
（ 浙江传媒 学院 电子信 息学 院， 江杭 州 ３ ０ １ ） 浙 １ ０ ８
摘 要 ：借助－Ｋ ａｎ ｓｌｋｉ Ｉ ｒｓｏｅ’ ｉ － ｓ 锥拉伸与锥压缩不动点定理研究了一类非线性三阶特征值问题
无 穷多个正解的存在性．
关键词 ： 三阶非线性特征值问题； 正解； 存在性； 不动点定理 中图分类号： ７ ． Ｏ１５８
文献标识码 ： Ａ
文章编号： ００４２（０ ００—３３０ １０—４４２１）３０１—６
己ｌ １ｌ ， 吉 口
三 阶常微分方程边 值 问题在 理论上有重要 意义， 实际 问题 中具有 许多应用 ， 在 近年来有许 多作者对此进行了研究． 文考虑 以下非线性三阶特征值问题 本
§ 预 备 知 识 ２
以下恒设０∈（ １， ∈【 ２１是给定常数， ＞０ ０ ） 叼 １ ，） ， ／ 是个参数． 先给出以下假设 （ １ ａ 【 １＿ ［ 。） Ａ ） ： ，］ ÷０ 。连续且存在ｔ ∈（，） （ ） ； ０ ， ｏ ０１ 使ａｔ ＞０ ｏ
收 稿 日期 ： ０ ７０ —９ 修 回 日期 ： ０ ０ ０ —２ ２ ０ —７１ ２ １— ４２
Ｉｏｔ Ａｔｕ叩＝，） ｔ１ Ｉ （ ａｆ（ ：ｕ，１ ：ｏ ， ）： （） （（） ０（≤≤ ｆ ） （ ｕｔ ０ ， “ 一 叼） ，） ， ） “ （
…
在＿ 厂 满足 一定 的条件 下， 出 了使 问题（） 求 １有无 穷多正解 的特 征值 的取值 范围． 这里称ｕ 为 问 题（） １的正解是指满足ｕ （ ＞０ ０＜ｔ １ ｔ ） ， ＜ 的解 ． 在微分方程边值 问题解 的研究 中， 关于一解 、二解或三解 的存在性的研究较多， 相对而言关 于无穷多解存在性 的研 究较 少． 在 ＝０ 的情 况下， 对于 问题（） １已有一些作者进 行 了研 究． 比如 当 ＝ １ Ａｎ ｅｓｎ 时， ｄ ｒｏ ［借助￣Ｌ ｇｅｔ ｌａ １ ｅ ｇｔ Ｗｉｉ — ｌ ｍｓ不动点定理在 对， 作适 当的增 长性 限制 下证 明 了问题（） １至少有三个正解； ｆ 在ｔ ０ ＝ １ 当０￡ ） ： 和 奇异时， ｕ ［利用Ｋｒｚ ｏｅ’ ｉ Ｓ ｎ０ ］ ａｎ ｓｌｋｉ ｓ 不动点定理证 明 了问题（） １正解 的存在 性 与多重性； 【利 用Ｋ ａｎ ｓｌｋｉ 动 点定理得 到 了问题 （） 个 ３ ｊ ｒｓ ｏｅ’ ｉ ｓ 不 １有礼 正解 的某些充 分条件； 等［利用 不动点 指标理论 研究 了非线项 半正时 问题ｆ） 个正解 的存 Ｙｕ ］ １两 在性．Ｚ ａ ｇ ５ 用Ｌ ｒｙＳ ｈ ｕ ｅ￣ 线性 抉择得 到了 问题（） ｈ ｎ 等【利 】 ｅａ —ｃａ ｄ ｒｂ １非平凡解 的存在 性和惟一 性的
ｆ １一
ｔ一
ｓｄ －ｔ （ ）ｓ 叼一ｓ （）ｓ ） ｓｄ
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（ 一
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当
堡堕茔 三 非线性特 征值问 题的无穷多 个正解
ｔ ８２
≤
３５ １
Ｇ ≤
＋
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叩 ｔｔ （２ｓ ） ＋＋ （ｔｔ 一 ｄ＋ ） ， ， ㈤ ｉ－ ｉ ｔ 蚪得 （ ｃ ２ ｄ ｓ （ ）舸 １ ）） 一／ 一 ｓ （ｔｒ 一 ＋＋ ） ， ｉ／ ｔ
，用 锥 １ Ｃ 数
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文 理
，
０ ≤ ￡≤ １ ，
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＝
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ｃ
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＝ 惟
一
三
一
，ｓ。ｓ 叩 ≤ ≤， ￡ ’ ，
一
基金项 目： 浙江省 自然科学基￣（ ６ ５ １）浙江省教育厅科研立项项 目（０８ ４７ ） ： ０ １４； Ｙ ２０ ０６ １
高 校 应 用 数 学 学 报
３４ １
第２ 卷第３ ５ 期
本 负 引
ｐ≤≤ （ Ｉ ａａｈ 。ｔ１“ｔ 的Ｂ ｎｃ空间， ＋０１ 【 １ Ｉ ） 【 ］ ０］ ， 是ｃ ， 中
，ｆ ＼
“ （
ｕ（ ＝ ｆ１ ｆ）
）ｓ Ａ ｄ ＋２ ，
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一
ｒ（ 卵
一
ｓ （）ｓ ） ｓｄ ，
０
一
ｓ）（） ｓ ｙｓｄ ．
因此， 边值问题 （） ２
１
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“￡ （ ）
一
些结果． 在文 ｆ 中作 者借助于Ａ ｅｙＰ ｔｒｏ 不动 点定理研究 了问题（） ６ １ ｖｒ ｅｅｓｎ １的三个正解 的存在性．
本文继续研究这个 问题， 借助于Ｋｒｓ ｏｅ’ ｉ ａｎ ｓｌ ｋｉ ｓ 不动点定理给 出了当Ｏ ∈（， ） 在－ 足一定的 Ｚ ０ １时， 厂 满 增长性条件 下， 出了使 问题（１ 求 １有无穷多个 正解 的特征值 取值范围． § 先给 出几 个 引理 ￣Ｋｒｓ ｏｅ’ ｉ 拉伸 与锥压 缩不 动点 定理， ３ 出本 文 的主要结 果， ２ ［ ａｎ ｓｌｋｉ １ ｓ 锥 §给 §给 出了满足条件 的例题 说明结果 的有效性． ４
叼 ≤ ｓ≤ ｔ ，
Ｂ
卵≤ ８ ，ｔ≤ ｓ
、 ｌ，
Ｓ
ｄ Ｓ
＋
１
由钆 ｔ＝ 可设札ｔ ： …（ （ ） ） （ ）
Ｊ（一ｓ。 （）ｓ 。亡 ） ｓｄ ＋Ａｔ＋Ｂｔ ｔ 。 ＋Ｃ． 中Ａ， 是待定的常 其 Ｂ，
￡
ｌ
町
， ， ．
∞
数 ．由上 式 可得
２＋ ｔ ｓ＋ ｌｔ
２
Ｇ（，） ｔｓ ：
１种 ２２ ￡ｔ 卜＋ ＋￡ Ｓ． 一｝ Ｉ卵 两 — ＿ ｒ 一 ２— ２ Ｉ－ １ 一
，
０ ：２ ８
￡≤ ｓ≤ 叩 ，
懒确
（） ３
一
ｌ
，
是对应齐次边值 问题的Ｇｒｅ 函数． ｅｎ
慧 胤 训 撼
证
２ １， ５３： １—１ ００ ２（） ３３３８
三 阶 非线 性特 征值 问题 的无 穷 多个 正解
张晓萍， 孙永平， 赵 敏
（ 浙江传媒 学院 电子信 息学 院， 江杭 州 ３ ０ １ ） 浙 １ ０ ８
摘 要 ：借助－Ｋ ａｎ ｓｌｋｉ Ｉ ｒｓｏｅ’ ｉ － ｓ 锥拉伸与锥压缩不动点定理研究了一类非线性三阶特征值问题
无 穷多个正解的存在性．
关键词 ： 三阶非线性特征值问题； 正解； 存在性； 不动点定理 中图分类号： ７ ． Ｏ１５８
文献标识码 ： Ａ
文章编号： ００４２（０ ００—３３０ １０—４４２１）３０１—６
己ｌ １ｌ ， 吉 口
三 阶常微分方程边 值 问题在 理论上有重要 意义， 实际 问题 中具有 许多应用 ， 在 近年来有许 多作者对此进行了研究． 文考虑 以下非线性三阶特征值问题 本
§ 预 备 知 识 ２
以下恒设０∈（ １， ∈【 ２１是给定常数， ＞０ ０ ） 叼 １ ，） ， ／ 是个参数． 先给出以下假设 （ １ ａ 【 １＿ ［ 。） Ａ ） ： ，］ ÷０ 。连续且存在ｔ ∈（，） （ ） ； ０ ， ｏ ０１ 使ａｔ ＞０ ｏ
收 稿 日期 ： ０ ７０ —９ 修 回 日期 ： ０ ０ ０ —２ ２ ０ —７１ ２ １— ４２
Ｉｏｔ Ａｔｕ叩＝，） ｔ１ Ｉ （ ａｆ（ ：ｕ，１ ：ｏ ， ）： （） （（） ０（≤≤ ｆ ） （ ｕｔ ０ ， “ 一 叼） ，） ， ） “ （
…
在＿ 厂 满足 一定 的条件 下， 出 了使 问题（） 求 １有无 穷多正解 的特 征值 的取值 范围． 这里称ｕ 为 问 题（） １的正解是指满足ｕ （ ＞０ ０＜ｔ １ ｔ ） ， ＜ 的解 ． 在微分方程边值 问题解 的研究 中， 关于一解 、二解或三解 的存在性的研究较多， 相对而言关 于无穷多解存在性 的研 究较 少． 在 ＝０ 的情 况下， 对于 问题（） １已有一些作者进 行 了研 究． 比如 当 ＝ １ Ａｎ ｅｓｎ 时， ｄ ｒｏ ［借助￣Ｌ ｇｅｔ ｌａ １ ｅ ｇｔ Ｗｉｉ — ｌ ｍｓ不动点定理在 对， 作适 当的增 长性 限制 下证 明 了问题（） １至少有三个正解； ｆ 在ｔ ０ ＝ １ 当０￡ ） ： 和 奇异时， ｕ ［利用Ｋｒｚ ｏｅ’ ｉ Ｓ ｎ０ ］ ａｎ ｓｌｋｉ ｓ 不动点定理证 明 了问题（） １正解 的存在 性 与多重性； 【利 用Ｋ ａｎ ｓｌｋｉ 动 点定理得 到 了问题 （） 个 ３ ｊ ｒｓ ｏｅ’ ｉ ｓ 不 １有礼 正解 的某些充 分条件； 等［利用 不动点 指标理论 研究 了非线项 半正时 问题ｆ） 个正解 的存 Ｙｕ ］ １两 在性．Ｚ ａ ｇ ５ 用Ｌ ｒｙＳ ｈ ｕ ｅ￣ 线性 抉择得 到了 问题（） ｈ ｎ 等【利 】 ｅａ —ｃａ ｄ ｒｂ １非平凡解 的存在 性和惟一 性的
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ｓｄ －ｔ （ ）ｓ 叼一ｓ （）ｓ ） ｓｄ
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堡堕茔 三 非线性特 征值问 题的无穷多 个正解
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３５ １
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文 理
，
０ ≤ ￡≤ １ ，
ｕ（） ｕ （） 卵 ＝ １ ：０ 有惟 一解ｕｔ＝ Ｇ（，）（ ｄ 里 （ ） ｔｓ ｓ ｓ 这 ）
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三
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基金项 目： 浙江省 自然科学基￣（ ６ ５ １）浙江省教育厅科研立项项 目（０８ ４７ ） ： ０ １４； Ｙ ２０ ０６ １
高 校 应 用 数 学 学 报
３４ １
第２ 卷第３ ５ 期
本 负 引
ｐ≤≤ （ Ｉ ａａｈ 。ｔ１“ｔ 的Ｂ ｎｃ空间， ＋０１ 【 １ Ｉ ） 【 ］ ０］ ， 是ｃ ， 中
，ｆ ＼
“ （
ｕ（ ＝ ｆ１ ｆ）
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因此， 边值问题 （） ２
１
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“￡ （ ）
一
些结果． 在文 ｆ 中作 者借助于Ａ ｅｙＰ ｔｒｏ 不动 点定理研究 了问题（） ６ １ ｖｒ ｅｅｓｎ １的三个正解 的存在性．
本文继续研究这个 问题， 借助于Ｋｒｓ ｏｅ’ ｉ ａｎ ｓｌ ｋｉ ｓ 不动点定理给 出了当Ｏ ∈（， ） 在－ 足一定的 Ｚ ０ １时， 厂 满 增长性条件 下， 出了使 问题（１ 求 １有无穷多个 正解 的特征值 取值范围． § 先给 出几 个 引理 ￣Ｋｒｓ ｏｅ’ ｉ 拉伸 与锥压 缩不 动点 定理， ３ 出本 文 的主要结 果， ２ ［ ａｎ ｓｌｋｉ １ ｓ 锥 §给 §给 出了满足条件 的例题 说明结果 的有效性． ４
叼 ≤ ｓ≤ ｔ ，
Ｂ
卵≤ ８ ，ｔ≤ ｓ
、 ｌ，
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１
由钆 ｔ＝ 可设札ｔ ： …（ （ ） ） （ ）
Ｊ（一ｓ。 （）ｓ 。亡 ） ｓｄ ＋Ａｔ＋Ｂｔ ｔ 。 ＋Ｃ． 中Ａ， 是待定的常 其 Ｂ，
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数 ．由上 式 可得
２＋ ｔ ｓ＋ ｌｔ
２
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１种 ２２ ￡ｔ 卜＋ ＋￡ Ｓ． 一｝ Ｉ卵 两 — ＿ ｒ 一 ２— ２ Ｉ－ １ 一
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０ ：２ ８
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（） ３
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