3D打印结构拓扑优化理论方法

3D打印结构拓扑优化理论方法

鑫精合-孙峰、李广生

1.结构优化综述

“传统的结构设计，在某种程度上可以说是一种艺术，要求人们根据经验和通过判断去创造设计方案”[1]。目前以力学、有限元法等为理论基础的CAD/CAE技术作为校验的手段应用于结构设计中。同时，伴随着计算机技术的高速发展，各类复杂工程结构问题已广泛开展了结构分析方法的应用。相比较传统的结构设计方法而言，以有限元法为核心内容包括CAD技术、多体系统动力学等在内的现代设计方法作为更为科学的手段取代了以往的艺术行为。结构优化又称结构综合，其研究内容指综合结构分析方法和数学规划理论，在满足规定约束条件下，使设计目标达到最优。与结构分析相比，结构优化使得人们在结构设计中不再局限于被动地对给定结构方案进行分析校核，而是主动地在结构分析的基础上寻找最优结构。

尽管结构优化与有限元法几乎同时起步，但其发展却较为落后。其主要原因在于：结构优化作为结构分析的逆问题，理论与方法还不够成熟；从实际需求考虑，产品结构满足功能要求具有必须性，而进一步的结构优化要求则基于可行方案通过优选方式得以满足。近几年来，随着能源危机、环境问题的日益严重，各行各业对结构优化需求在不断提高。以整车结构为例，汽车轻量化不仅能降低燃耗、改善运动和排气等多方面性能，而且为减振降噪和实现大功率化创造了条件。车辆轻量化程度已成为汽车企业技术实力的一项综合反映。发动机发展趋势最突出的特点在于大功率和高功率密度，大幅度减小动力系统的体积和重量是发动机轻量化、具有强劲能源动力的保障。对于航天航空产品而言，结构产品对重量的敏感度更高。例如在卫星上，甚至有结构重量减少一克，则运载火箭的重量减少一吨的说法。

2.连续体结构拓扑优化理论方法综述

拓扑优化的主要思想是将寻求结构的最优拓扑问题转行为在给定的设计区域内寻求材料的最优分布问题。如图1所示，自从程耿东院士和Olhof以及Bendsoe和Kikuchi[2]相继引入材料微结构概念和均匀化方法以来，有关结构拓扑优化理论与方法的研究呈现出丰富多彩的发展局面，形成了一系列各具特色的解决方法：变密度法[3]、水平集法[4]、拓扑导数法[5]、相场法[6]、渐进结构法[7]以及中国学者隋允康等[8]提出的独立连续映射法等。曾任国际多学科优化协会主席Sigmund等[9]指出：随着这些拓扑优化手段的不断发展和进步，它们之间的差异也越来越小。因此，他建议目前各自独立的拓扑优化研究机构应该联合起来，共同致力于提出一种最优的拓扑优化手段。近年来，移动组件构件法[10-11]的提出，体现了各类方法融合统一的趋势。

图1典型拓扑优化算例

均匀化法是最先提出的连续体结构拓扑优化方法，其基本思想是将微结构引入到连续介质中，通过微结构的增减以确定最优拓扑结构。方法以微结构的尺寸参数作为设计变量，将拓扑优化问题转化为较为容易解决的尺寸优化问题。均匀化法在力学与数学理论方面较为严密，但方法设计变量数目多，微结构形状和角度变量难以确定，优化结果易产生多孔材料而不易加工制造，种种不利因素都成为均匀化法在工程应用上推广的障碍。

作为均匀化法的延伸算法，变变密度法引入单元密度与材料弹性模量等的假设函数关系，不涉及微结构设计与均匀化过程。程序实现简单且计算效率较高。常见的插值模型包括固体各向同性惩罚微结构模型(solid isotropic microstrcutres with penalization,SIMP)[12]，材料属性有理近似模型(rational approximation of material properties,RAMP)[13]。为解决变密度法中存在的棋盘格现象和网格依赖性等数值问题[14]，研究者提出了很多有效措施：采用高阶有限元活非协调元[15-16]、敏度过滤法[17]、密度过滤法[18]、周长约束法[19]、局部密度斜率控制[20]和最小密度下限控制[21]等。为使变密度法的优化结果更加便于工程应用，研究者们做出了大量的努力并取得了丰硕的成果。例如：Duysinx和Bensond[22]在拓扑优化中考虑了应力约束，并根据程耿东院士和郭旭[23]提出的ε松弛法消除了应力奇异现象。通过密度过滤和Heaviside投影，最初的SIMP方法演变为两场、三场类方法。例如王凤稳等[24]提出了使用多种Heaviside 映射方法，使得最终的优化结果更加清晰和稳健。此类方法的拓展研究科参考文献[25-29]

上述连续体结构拓扑优化方法中的设计变量通常假设为连续变化的物理量或数学变量，Xie和Steven提出的进化式结构优化方法(evolutionary structural optimization, ESO)是一种基于离散变量的拓扑优化方法。ESO法基本思想是通过逐步删除无效或低效的单元并使得剩余结构稳定，从而得到最优结构。ESO法的优点在于易于实现。但为了保证剩余结构稳定，通常需要进行多次结构重分析，优化效率低。Querin等[30]提出的双向进化式结构优化方法(bi-directional evolutionary structural optimization, BESO)通过同时生长和删除克服了该缺点。

同均匀化法以微孔结构尺寸为设计变量和变密度法以相对密度为设计变量不同，隋允康等[31]提出的独立连续映射(independent,continuous,mapping,ICM)法以独立于

单元具体物理参数的变量来表征单元的“有”与“无”，即“独立拓扑变量”。ICM法

将拓扑变量从尺寸、密度等低层次变量中抽象出来，以恢复拓扑变量的独立性。同时，ICM法保持了变密度法设计变量连续可微的优点，使得传统基于梯度的连续变量优化算法得以发挥应用。ICM中的mapping，即映射具有两个方面的含义：“离散－连续”映射和“连续－离散”映射。“离散－连续”映射指的是传统拓扑变量向独立连续拓扑变量的映射过程。与变密度法比较，过滤函数作用类似于密度－刚度插值格式，但同时具有一定的区别，主要体现在：(1)变密度法中的插值函数反映的是密度与材料弹性模量的关系，而ICM法中的拓扑变量是一个纯粹意义上的数学量，可直接作用于单元刚度阵等上以表征单元物理量的有无，这使得设计变量与物理量的关系更为简捷；(2)ICM法的拓扑变量采用不同的过滤函数单独作用于单元体积、单元刚度阵、单元质量阵等上，使得设计变量与物理量的关系更为灵活。上述两点不同正是反映了ICM法与变密度法在设计变量选取上的根本区别，也是ICM法中设计变量独立性的具体体现。磨光、过滤过程是ICM法映射法则的具体体现。该过程遵循了数学关系映射反演(relation mapping inverse,RMI)原理，在优化求解中，通过数学变换将原有难以求解的优化模型变换为易于求解的二次规划问题，故而具有方法论上的高度。彭细荣等[32]在过滤函数参数选取、优化模型构造、单元删除策略等上面进行了更细致的研究，使改进后的ICM法更加稳健实用。ICM这些年的研究进展集中体现在专著[33]中。

水平集法(Level Set Method,LSM)是由Osher和Sethian[34]提出的采用高一维水平集函数(Level Set Function,LSF)隐式追踪动态界面的一种数值方法，并于2000年首次被Sethian和Wiegmann[35]引入到拓扑优化设计中。如图2所示为某结构的水平集描述。基于LSM的拓扑优化方法不仅能够设计出具有光滑边界的结果，还可避免棋盘格现象和应力奇异现象等，因此在被王煜等[36]和Allaire等[37]完善了灵敏度分析理论之后得到了迅速的发展。为实现对多相材料结构的结构拓扑优化设计，王煜和王晓明[38]创新性提出了“彩色”LSM。为了消除优化结果对初始孔洞数量的依赖性，梅玉林和王晓明[39]以及Allaire等将拓扑导数与形状导数相结合，实现了在结构中自动开孔的目的，并因此显著提高了优化收敛速率。传统基于LSM的拓扑优化方法采用的都是离散的LSF，所以在优化过程中需要求解Hamilton-Jacobi方程，这时不仅要进行速度场扩散和重新初始化等操作，还要限制优化步长以满足Courant-Friedrichs-Lewy条件。为解决这一问题，为解决这一问题，Wang、王煜、罗震和魏鹏等[40-42]先后采用全局径向基函数和紧支径向基函数插值构造出参数化的LSF，并选取基函数的插值系数为设计变量，进而通过十分简单的参数优化方式实现了对低一维结构的拓扑优化，无需求解偏微分方程。近年来，基于LSM的拓扑优化方法研究更加注重以工程实际为导向，其中比较热门的两个研究方向就是将LSM应用于非规则区域拓扑优化设计和应力相关拓扑优化设计。前一个研究方向属于弥补LSM自身的不足，相关的研究有：Chen等[43]基于布尔操作的思想利用R函数对参数化的LSF进行处理，实现了非规则设计区域内的形状拓扑联合优化；Xing等[44]使用FEM求解用于驱动拓扑优化的偏微分方程，突破了常用的有限差分法对设计区域的苛刻限制；James等[45-46]把等参映射方法应用于到拓扑优化中，将非规则设计区域拓扑优化问题转化到规则区域内求解；周明东和王煜[47]从CAD的构造实体几何（Constructive Solid Geometry，CSG）表示法得到启发并创建了基于CSG的LSF，在设计区域中成功引入了工程特征约束。后一个研究方向属于发挥LSM自身的优势，相关的研究有：郭旭等[]提出了基于LSM和XFEM的应力相关拓扑优化方法，该方法不仅能得到具有光滑边界的优化结果，还能高精度地计算结构应力响应，很好地克服了前述密度法在处理此类问题上的不足；王煜等和张维声等[48]在拓扑优化中同样使用了LSM和