第7讲-B样条曲线曲面-NURBS曲线曲面
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8
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
n
权性： Ri,k (u) 1
可微性：i如0 果分母不为零，在节点区间内是无限次连 续可微的，在节点处 (k-1-r)次连续可导，r是该节 点的重复度。
若i=0，则Ri,k(t)=0； 若i=+，则Ri,k(t)=1；
13
NURBS曲线---性质
NURBS曲线与B样条曲线具有类似的几何性 质：
4
五. B样条曲面
给定参数轴u和v的节点矢量
U [u0 ,u1,,um p ]
V [v0 , v1,, vnq ]
p×q阶B样条曲面定义如下
mn
P(u,v)
Pij Ni, p (u)N j,q (v)
i0 j0
5
五. B样条曲面
Pij 构成一张控制网格，称为B样条曲面
的特征网格。Ni, p (u) 和 N j,q (v) 是B样
Csf 1 时，上式是Байду номын сангаас物线弧，
16
NURBS曲线---性质
Csf (1,) 时，上式是双曲线弧，
Csf (0,1) 时，上式是椭圆弧。
Csf 0 时，上式退化为一对直线段P0P1和P1P2
Csf
时，上式退化为连接两点P0P2的直线段
P1
双曲线
抛物线
椭圆
P0
P2
图3.1.36 圆锥曲线的
n
P i , n(t)k==0∑ P i+k F k , n (t) 其中，F k , n (t)为n次B样条基函数（德布尔-考克
斯递推公式）
3
第3章 车身曲线曲面的数学模型基础 主要讲授内容
CAGD发展； 几何造型技术； 参数曲线和曲面； Bezier 曲线与曲面； B样条曲线与曲面； NURBS曲线与曲面；
P67-68
9
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
局部性质。 局变差减小性质。 凸包性。 在仿射与透射变换下的不变性。 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。
14
NURBS曲线---性质
如果某个权因子为零，那么相应控制顶 点对曲线没有影响。
若时，i 非有理，与则有当理tBez[tiie,rti曲k 线] P和(t)非有Pi 理
B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况
了解内容
三次Hermite曲线---弗格森
定 义 ： 假 定 型 值 点 Pk 和 Pk+1 之 间 的 曲 线 段 为 p(t),t∈[0,1]， 给 定 矢 量 Pk、Pk+1、Rk 和 Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次 Hermite样条曲线：
p(0) Pk , p(1) Pk1 p(0) Rk , p(1) Rk1
n
i Pi Ni,k (t) n
P(t)
i0 n
Pi Ri,k (t)
i Ni,k (t) i0
i0
Ri,k (t)
i Ni,k (t)
n
j N j,k (t)
j0
12
NURBS曲线---性质
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：
局部支承性：Ri,k(t)=0，t[ti, ti+k]
P(u, v)
i0 j0 mn
Pij Ri, p; j,q (u, v)
ij Ni, p (u)N j,q (v) i0 j0
i0 j0
u, v [0,1]
Ri, p; j,q (u, v)
m
ij Ni, p (u)N j,q (v)
n
rs Nr, p (u)Ns,q (v)
r0 s0
19
17
NURBS曲线---修改
常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点。
修改权因子
当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或
增加某权因子时，曲线被推离或拉向相应顶
点。
S* Pi
S
N
B
图 3.1.37 修改权因子
18
NURBS曲线---非均匀有理B样条 曲面
NURBS曲面的定义
mn
ij Pij Ni, p (u)N j,q (v) m n
15
NURBS曲线---性质
取节点向量为 T [0,0,0,1,1,1]则NURBS曲线退化为二次
Bezier曲线，且可以证明，这是圆锥曲线弧方程。
Csf
P(t) 1
2
(1 t 2 )0P0 2t(1 t (1 t)20 2t(1
称为形状因子，
)1P1 t)1 t
t 22 22
P2
Csf 的值确定了圆锥曲线的类型。
条基，分别由节点矢量U和V按deBoorCox递推公式决定。
6
五. B样条曲面
P23
P03
P33
P02
P12 P22
P32
P11
P21
P01
P31
P10
P20
P00 P30
图3.1.33 双三次B样条曲面片
7
第2章 车身曲线曲面的数学模型基础 主要讲授内容
CAGD发展； 几何造型技术； 参数曲线和曲面； Bezier 曲线与曲面； B样条曲线与曲面； NURBS曲线与曲面；
车身制图
山东交通学院
汽车工程系
主讲： 邱绪云
10-11第2学期第11周 2011-5-12
1
复习：分段三次B－样条曲线
2
Ｂ样条曲线的表达式
若给定m+n+1个顶点Pi (i=0，1，2，…， m+n)，将多边折线分成m+1段，每段多边折线称 为B特征多边形，构成的第i 段Ｂ－样条曲线为n次 多项式 (i=0，1，2，…，m) ：
20
了解内容
三次Hermite曲线---弗格森
推导：
ax ay az
p(t) [t3
10
NURBS曲线曲面
应用NURBS中还有一些难以解决的问题：
比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间 权因子选择不当会引起畸变 对搭接、重叠形状的处理很麻烦。 反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题
11
NURBS曲线---定义
NURBS曲线的定义
NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
n
权性： Ri,k (u) 1
可微性：i如0 果分母不为零，在节点区间内是无限次连 续可微的，在节点处 (k-1-r)次连续可导，r是该节 点的重复度。
若i=0，则Ri,k(t)=0； 若i=+，则Ri,k(t)=1；
13
NURBS曲线---性质
NURBS曲线与B样条曲线具有类似的几何性 质：
4
五. B样条曲面
给定参数轴u和v的节点矢量
U [u0 ,u1,,um p ]
V [v0 , v1,, vnq ]
p×q阶B样条曲面定义如下
mn
P(u,v)
Pij Ni, p (u)N j,q (v)
i0 j0
5
五. B样条曲面
Pij 构成一张控制网格，称为B样条曲面
的特征网格。Ni, p (u) 和 N j,q (v) 是B样
Csf 1 时，上式是Байду номын сангаас物线弧，
16
NURBS曲线---性质
Csf (1,) 时，上式是双曲线弧，
Csf (0,1) 时，上式是椭圆弧。
Csf 0 时，上式退化为一对直线段P0P1和P1P2
Csf
时，上式退化为连接两点P0P2的直线段
P1
双曲线
抛物线
椭圆
P0
P2
图3.1.36 圆锥曲线的
n
P i , n(t)k==0∑ P i+k F k , n (t) 其中，F k , n (t)为n次B样条基函数（德布尔-考克
斯递推公式）
3
第3章 车身曲线曲面的数学模型基础 主要讲授内容
CAGD发展； 几何造型技术； 参数曲线和曲面； Bezier 曲线与曲面； B样条曲线与曲面； NURBS曲线与曲面；
P67-68
9
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
局部性质。 局变差减小性质。 凸包性。 在仿射与透射变换下的不变性。 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。
14
NURBS曲线---性质
如果某个权因子为零，那么相应控制顶 点对曲线没有影响。
若时，i 非有理，与则有当理tBez[tiie,rti曲k 线] P和(t)非有Pi 理
B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况
了解内容
三次Hermite曲线---弗格森
定 义 ： 假 定 型 值 点 Pk 和 Pk+1 之 间 的 曲 线 段 为 p(t),t∈[0,1]， 给 定 矢 量 Pk、Pk+1、Rk 和 Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次 Hermite样条曲线：
p(0) Pk , p(1) Pk1 p(0) Rk , p(1) Rk1
n
i Pi Ni,k (t) n
P(t)
i0 n
Pi Ri,k (t)
i Ni,k (t) i0
i0
Ri,k (t)
i Ni,k (t)
n
j N j,k (t)
j0
12
NURBS曲线---性质
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：
局部支承性：Ri,k(t)=0，t[ti, ti+k]
P(u, v)
i0 j0 mn
Pij Ri, p; j,q (u, v)
ij Ni, p (u)N j,q (v) i0 j0
i0 j0
u, v [0,1]
Ri, p; j,q (u, v)
m
ij Ni, p (u)N j,q (v)
n
rs Nr, p (u)Ns,q (v)
r0 s0
19
17
NURBS曲线---修改
常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点。
修改权因子
当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或
增加某权因子时，曲线被推离或拉向相应顶
点。
S* Pi
S
N
B
图 3.1.37 修改权因子
18
NURBS曲线---非均匀有理B样条 曲面
NURBS曲面的定义
mn
ij Pij Ni, p (u)N j,q (v) m n
15
NURBS曲线---性质
取节点向量为 T [0,0,0,1,1,1]则NURBS曲线退化为二次
Bezier曲线，且可以证明，这是圆锥曲线弧方程。
Csf
P(t) 1
2
(1 t 2 )0P0 2t(1 t (1 t)20 2t(1
称为形状因子，
)1P1 t)1 t
t 22 22
P2
Csf 的值确定了圆锥曲线的类型。
条基，分别由节点矢量U和V按deBoorCox递推公式决定。
6
五. B样条曲面
P23
P03
P33
P02
P12 P22
P32
P11
P21
P01
P31
P10
P20
P00 P30
图3.1.33 双三次B样条曲面片
7
第2章 车身曲线曲面的数学模型基础 主要讲授内容
CAGD发展； 几何造型技术； 参数曲线和曲面； Bezier 曲线与曲面； B样条曲线与曲面； NURBS曲线与曲面；
车身制图
山东交通学院
汽车工程系
主讲： 邱绪云
10-11第2学期第11周 2011-5-12
1
复习：分段三次B－样条曲线
2
Ｂ样条曲线的表达式
若给定m+n+1个顶点Pi (i=0，1，2，…， m+n)，将多边折线分成m+1段，每段多边折线称 为B特征多边形，构成的第i 段Ｂ－样条曲线为n次 多项式 (i=0，1，2，…，m) ：
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了解内容
三次Hermite曲线---弗格森
推导：
ax ay az
p(t) [t3
10
NURBS曲线曲面
应用NURBS中还有一些难以解决的问题：
比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间 权因子选择不当会引起畸变 对搭接、重叠形状的处理很麻烦。 反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题
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NURBS曲线---定义
NURBS曲线的定义
NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的