第三章_电子光学中的场

3.3 轴对称静电场力函数


通过 电位函数 通过 力函数
描述
描述
等位面 力管
正交
力函数：等于通过z轴，面积为S的圆盘内的电 力线通量平均值： 1 E dS （3－15） 2 s 1 Ez 轴对称 z r r 1 静电场的性质 Er r r z
1. 曲率和曲率半径： 曲线上两点Q和M的切线正向的夹角与弧长之比， 当Q趋向于M时的极限，即： d （3－11）
k lim
QM
MQ

ds
称为曲线在点M的曲率。
1 ds R k d
称为曲线在点M的曲率半径。
（3－12）
3.2.3 等位面的曲率
2. 当已知曲线方程为：y=f(x)时，
(r , z )
k 0
V
( z0 ) Pk (r , z z0 ) k!
展开，略去二次以上高次项：
(r, z) V ( z0 ) ( z zo )V ( z0 ) ( z zo )2V ( z0 ) / 2 r 2V ( z0 ) / 4
结论
3.2.3 等位面的曲率
V ( k ) ( z0 ) ( r, z ) Ck Pk ( r, z z0 ) 其中，C k k 0 k!

( r, z )
k 0

V
(k )
( z0 )
k!
Pk ( r，z - z 0 ) 1
2
（3－8）
r
2
V ( z0 ) ( z - z 0 )V ( z 0 ) V ( z 0 )[( z - z 0 ) V ( z 0 )] ... 2 2
(1 y2 )3 / 2 R y
即是曲线的曲率半径。 （3－13）
3.2.3 等位面的曲率

要求得等位面上某点的弯曲程度，只需 求出通过该点的、任意两个彼此垂直方 向上的曲率。 1. 子午曲率：1/RM(r，z)


子午等位线 弧矢等位线

2. 弧矢曲率：1/RS(r，z)


3. 求解
3.1.1 各种正交曲线坐标系中矢量运算公式的求法

直角坐标系下拉氏方程：
2 2 2 2 2 2 0 x y z
2

圆柱坐标系下拉氏方程：
1 1 2 2 2 (r ) 2 2 0 2 r r r r z
（3－27）
Bz (r, z) (1)k
k 0

1 r 2k (2k ) ( ) B ( z) k ! k ! 2
（3－28）
显然：Br是r的奇函数，Bz是r的偶函数
3.5.1 轴对称磁场的幂级数表达式

4. 近轴区磁场性质
取级数表达式的第一项
r A( r, z ) B( z ) 2 r ' Br ( r, z ) B ( z ) 2 Bz ( r, z ) B( z ) Bz (0, z )
（3－25）
A(r, z) (1)k
k 0

1 r ( )2k 1 B (2k ) ( z) k !(k 1)! 2
（3－26）
3.5.1 轴对称磁场的幂级数表达式

3. 磁感应强度B的幂级数表达式：
Br (r , z ) ( 1) k 1
k 0
1 r ( ) 2 k 1 B (2 k 1) ( z ) k !(k 1)! 2
1 r 2k ( 2k ) (r, z) (1) ( ) o ( z ) 2 (k!) 2
k
（3－23）
注意：1. 静电场恒为无旋场，因此电位的引入无条件。 力函数的引入需要在无自由空间电荷条件下， 才满足无源条件 2. 磁场恒为无源场，力函数的引入无条件。 磁标位的引入需要在无自由空间电流条件下， 才满足无旋条件
(3-17)
B 0
（无角向分量）
3.4.1 轴对称磁场的矢位

通过矢量运算我们可以得到：
1 (rA ) Br r z
1 ( rA ) Bz r r
（3－18）
B 0
3.4.1 轴对称磁场的矢位

最简单的选择：
Ar Az 0, A A ( r , z )
强流电子光学

1.
绪论

2.
第一章 几何光学基础
第二章 电子在均匀场中的运动 第三章 电子光学系统中的场


3.
4.


5.
6. 7.
第四章 电子轨迹方程
第五章 场和电子轨迹的求解 第六章 强流电子光学
第三章 电子光学中的场
教师：刘迎辉 电子科技大学物电学院
本章组织



数理基础 3.1 轴对称静电场的数学表达式 3.2 轴对称静电场近轴区性质 3.3 轴对称静电场力函数（流函数）性质 3.4 轴对称磁场的矢位和标位 3.5 轴对称磁场的数学表达式 3.6 数学解析法求解静电场与静磁场。
等位面在轴上的任何方位的曲率相同
3.2.4 鞍点附近的等位面
鞍点这词语来自于不定二次型 的二维图形，像个马 鞍：在x-轴方向往上曲，在y-轴方向往下曲。
的鞍点在 (0,0)
两座山中间的鞍点(双纽线的交叉点)
鞍点附近电位： ( r, z ) V ( z0 ) ( z zo )2V ( z0 ) / 2 r 2V ( z0 ) / 4
3.2.3 等位面的曲率

梅尼定理：曲面上任意曲线B的曲率半径等于 在曲面法线上所截取的对应法截线的曲率半 径在曲线B的主法线上的正射影。
Rs RM cos
4.在轴上某点处的等位面的曲率
(3-14)
1 1 1 V ( z ) R( z ) RM ( z ) Rs ( z ) 2V ( z )
谢尔茨公式：
( r, z ) ( 1) k
0
1 r 2 k (2 k ) ( ) V ( z) 2 ( k !) 2
2 4
（3－5）
V ( z)
r r V ( z ) V ( z ) ... 4 64
由上式可知：已知轴上电位分布可求空间电位分布
3.1.3 轴对称电场的积分表达式
当
0时，
2 1 2 1 2 (r ) 0 2 2 0 2 r r r r r r z z
（3－4）
3.1.2 轴对称E的幂级数表达式

假设，场的作用空间无奇异点、无点电荷、无面电荷 和偶电层，则电位是解析函数，可以展成幂级数。
直角坐标系
圆柱坐标系
q?
e?
h?
3.1 轴对称E的数学表达式
3.1.1 各种正交曲线坐标系中矢量运算公式的求法

拉梅系数在直角坐标系（x、y、z）同其 它正交曲线系（q1、q2、q3）间建立了 联接。
x 2 y 2 z 2 h ( ) ( ) ( ) qi qi qi
2 i
（3－3）
静电场恒为无旋场，因此电位的引入无条件。 力函数的引入需要在无自由空间电荷条件下，才满足无源条件

旋转对称磁场是
电子光学系统中广泛 采用的磁场
液氦制冷 超导磁体系统

旋转对称磁场是
电子光学系统中广泛 采用的磁场
无液氦、 传导制致 冷 超导磁体系 统
B
14000 12000 10000
B0(Gs)
3.5 轴对称磁场的数学表达式

1. 磁标位的幂级数表达式 2. 磁矢位A的幂级数表达式
A(r , z ) a2 k 1 ( z )r 2 k 1
k 0
（3－24）
a1(2 k ) ( z ) 1 1 a2 k 1 ( z ) (1) k ( 2k ) k ! (k 1)! 2
第一类、第二类贝塞尔函数
3.1.3 轴对称电场的积分表达式

利用分离变量法求解拉普拉斯方程
轴对称电场的积分表达式：
1 (r , z ) 2

2
0
V ( z ir sin a)da
(3－7)
3.1.4 轴对称E的调和级数展开式

调和级数展开式可以对某一点附近的电 场进行研究（例如鞍点或阴极前的场）
8000 6000 4000 2000 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
z(mm)
3.4 轴对称磁场的矢位和标位

由电磁场理论知道 ，可引入磁矢量位 A， (3-16)
使磁感应强度满足：
B A

由于磁场的旋转对称性
Br Br ( r , z ) Bz Bz ( r , z )
（3－29）
显然：近轴区A和Br同r成正比，Bz与r无关。 即：磁场在r方向对电子的作用力同r成正比。
B H
在假设条件下：
E 0
E 0
（3－2）
B 0
B 0
数学基础

wk.baidu.com矢量公式通用形式
e1 e2 e3 h1q1 h2 q2 h3 q3
D
1 [ (h2 h3 D1 ) (h1h3 D2 ) (h2 h1 D3 )] h1h2 h3 q1 q2 q3

圆柱坐标系下拉氏方程：
2 1 2 2 0 2 r r r z
0

贝塞尔微分方程：
d 2 1 d 2 (1 2 ) 0 2 dz z dz z
（3－6）
贝塞尔函数
Jn（x）函数是震荡衰减函数，有无穷多个单重实零点，在x 轴上关于原点对称。
其中，rA 的物理意义： rA 表示磁场中的流函数（力函数）,类似于静电场 的力函数。它是通过以r为半径，以z轴为圆心的且 垂直于轴的圆盘内的磁通量的 1 2 倍：
rA 1 B dS 2 s
（3－22）
3.4.3 轴对称磁场的标量位

由磁场标位和电场标位函数相似性可得 磁标位的谢尔茨公式为：
1 (rA) A 则： Br r z z
（3－19）
上式表明，矢位A仅有角向分量，即： A A (r, z)
1 (rA) Bz r r
（3－20）
B 0
3.4.2 轴对称磁场的力函数

在无自由空间电流区间，磁场无旋：
2 (rA) 1 (rA) 2 (rA) B 0 0（3－21） 2 2 r r r z
3.2.1 近轴区电场对电子作用
谢尔茨公式：
r2 r4 (r, z) V ( z) V ( z) V ( z) ... 4 64

受力分析(一级近似)：
Fz eEz eV ' ( z ) e '' Fr eEr V ( z )r 2
（3－9）
数理基础

电子光学的首要问题： 求解电场、磁场分布



几个假设：
1. 静场
2. 真空
3. 不考虑空间电荷和电流的影响。
4. 场结构简单：轴对称或者面对称
物理基础

麦克斯韦方程组：
B D E t D H J B 0 t
D E
（3－1）
3.2.2对称轴附近的等位面形状

旋转对称电场中，等位面方程：
(r , z ) C
（3－10）
其中，C为常数，对应于不同取值的等位面。
• 子午面，子午等位线(子午线，等位线)。
3.2.2对称轴附近的等位面形状

例1 在圆柱坐标系下，求轴对称静电场中， 对称轴上除鞍点外任一点zo附近的等位线形 状。 (k )
z 0,
0
( r, z )

k 0

V (0) k!
(k)
P ( r，z ) V ( 0) V ( 0) z
k
1 2
V ( 0)( z
2
r
2
) ...
2
3.2 轴对称静电场近轴区性质

研究近轴区：
1. 掌握近轴区性质对于定性分析电子在场内的 运动是有利的。 2. 目前广泛采用的数值计算方法求解电场，更 加需要注意轴附近电位分布的特殊点，以及等 位面的曲率和形状。
数学基础
e1 h2 h3 A q1 e2 h1h3 q2 e3 h2 h3 q3 h3 A3
h1 A1 h2 A2
1 h1h2 h3
2
h2 h3 h1h3 h2 h1 ( ) ( ) ( ) q3 h3 q3 q1 h1 q1 q2 h2 q2