第三章 结构地震反应分析与抗震验算3—4 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用

【例3-5】结构同例3-4。已知 T1＝0.433s T2＝0.202s
T3＝0.136s
0.301 1 0.648 1
0.676 2 0 . 601 1
2.47 3 2 . 57 1
查 表 3-2 、 3-3 得 Tg ＝ 0.25s ， α （参见图3-12）
0.9
max ＝ 0.16 ， 则
0.9 T 0.25 1 g max 0.16 0.0976 0.433 T1
2 max 0.16
•为求第一阶振型，将ω 1＝14.5 rad／s代入
0 2579 .5 1200 (K 12 M ) 1200 1484 .6 600 600 389.8 0
•
由式（3-76）得
11 2579 .5 1200 0 0.301 12 1200 1484 .6 600 0.648
第三振型各质点水平地震作用为 F31＝2×9.8×0.16×0.09×2.47＝0.697kN F32＝1.5×9.8×0.16×0.09×（-2.57） ＝-0.529kN F33＝1.0×9.8×0.16×0.09×1＝0.141kN 则由各振型水平地震作用产生的底部剪力为 V11＝F11＋F12＋F13＝3.498kN V21＝F21＋F22＋F23＝1.002kN V31＝F31＋F32＋F33＝0.309kN
0 . 16 3 max 由
F ji Gi j j ji
得第一振型各质点（或各楼面）水平地震作用为 F11＝2×9.8×0.0976×1.421×0.301＝0.818kN F12＝1.5×9.8×0.0976×1.421×0.648＝1.321kN F13＝1.0×9.8×0.0976×1.421×1＝1.359kN 第二振型各质点水平地震作用为 F21＝2×9.8×0.16×（-0.510）×（-0.676） ＝1.081kN F22＝1.5×9.8×0.16×（-0.510）×（-0.601） ＝0.721kN F23＝1.0×9.8×0.16×（-0.510）×1＝-0.800kN
1.081 0.721 (0.800) (0.800) 0.799 10 3 m 1800 1200 600
F31 F32 F33 F32 F33 F33 U 33 k1 k2 k3
0.309 (0.529) 0.141 0.141 0.083 10 3 m 1800 1200 600
(t ) + γ φ = mi∑ [φ ji γ j Δ j j ji x g (t )]
j=1 N
=∑F ji (t )
j =1
n
(t ) + φ γ Fji (t ) = mi [φ ji γ j Δ j ji j xg (t )]
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
1.359 (0.800) 0.141 1.609kN
按上面各楼层总地震作用所计算的结构底部剪力为
V1 F1 F2 F3 1.524 2.318 1.609 5.451kN
与前面正确计算次序的结果相比，其值偏大。原因是： 振型各质点地震作用有方向性，负值作用与正值作用方向相 反，而按平方和开方的方法计算各质点总地震作用，没有反 映振型各质点地震作用方向性的影响。
Gi --- i质点的重力荷载代表值。
F1n
mi m2 m1
F2 n
F jn
Fnn
F1i
F2i
Fji
Fj 2
Fni
Fn 2
F12 F11
F22
F21
F j1
j振型
Fn1
n振型
1振型地震 2振型 作用标准值
3.4.1 振型分解反应谱法
振型组合
根据随机振动理论，如假定地震时地面运动为平稳随 机过程，则对于各平动振型产生的地震作用效应可近似地 采用“平方和开方”法确定，即
通过振型组合求结构的最大顶点位移
3 2 2 2 U 3 U 2 10 6 . 442 ( 0 . 799 ) 0 . 083 6.492mm j3
若仅取前两阶振型反应进行组合
3 2 2 U 3 U 2 10 6 . 442 ( 0 . 799 ) 6.491mm j3
F1
2 2 2 F11 F21 F31
0.8182 1.0812 0.6972 1.524kN
F2
2 2 2 F12 F22 F32
1.3212 0.7212 (0.529) 2 2.318kN
F3
2 2 2 F13 F23 F33 2 2 2
5 2B
2 3 1.5B 1
0 1 0 1 B
K M
2
2 0
或 B3－5.5B2＋7.5B－2＝0 由上式可解得 B1＝0.351 B2＝1.61 B3＝3.54 从而由 600 B 得 ω 1＝14.5 rad／s ω 2＝31.3 rad／s ω 3＝46.1 rad／s 由自振周期与自振频率的关系 T＝2π ／ω ， 可得结构的各阶自振周期分别为 T1＝0.433 s T2＝0.202 s T3＝0.136 s
j =1
由 {x j (t )} =∑γ j Δ j (t ){φ j }
j =1
n j=1
n
求两次导数，得
(t ){φ } j (t )} =∑γ j Δ { x j j
3.4.1 振型分解反应谱法
i质点地震作用的绝对值为：
i (t ) + g (t )] Fi (t ) = mi [ x x
通过振型组合求结构的最大底部剪力为
2 2 2 V1 V j2 3 . 498 1 . 002 0 . 309 3.652kN 1
若仅取前两阶振型反应进行组合
2 2 V1 V j2 3 . 498 1 . 002 3.639kN 1
由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为
0.676 2 0 . 601 1
将各阶振型用图形表示，如图3-15所示。图中Hale Waihona Puke Baidu映振 型具有如下特征：对于串联多质点多自由度体系，其第几 阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡 位置的交点）。利用振型图的这一特征，可以定性判别所 得振型正确与否
结构处于8度区（地震加速度为0.20g），Ⅰ类场地 第一组，结构阻尼比为0.05。试采用振型分解反应谱 法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点 位移。
【例 3-4】三层剪切型结构如图 3-14 所示，求 该结构的自振圆频率和振型。
【解】该结构为 3 自由度体系，质量矩阵 和刚度矩阵分别为（刚度的求法见本题后附图）
3.4.1 振型分解反应谱法
这样，利用单自由度体系的设计反应谱，先求出对应于 每一振型各质点的最大水平地震作用 ( 同时达到最大值 ) 及相 应的地震作用效应，然后对这些效应进行振型组合，以求得 结构的最大地震作用效应。具体步骤如下。
(t ) + x γ Fji (t ) = mi [ x ji γ j Δ j ji j xg (t )]
F11 F12 F13 F12 F13 F13 U13 k1 k2 k3 3.498 1.321 1.359 1.359 6.442 103 m 1800 1200 600
F21 F22 F23 F22 F23 F23 U 23 k1 k2 k3
§3—4 多自由度弹性体系的最大地震 反应与水平地震作用
振型分解反应谱法 底部剪力法
多自由度弹性体系的水平地震作用一般可采用振型分 解反应谱法求得，该法是在振型分解法的基础上，结 合运用单自由度体系反应谱理论得出的一种计算方法， 而在一定条件下则可采用比较简单实用的底部剪力法。 现将这两种方法分述如下。
1
•代入式（3-75）校核
0.301 0 600 389.8 0 0.648
则第一阶振型为
0.301 1 0.648 1
2.47 3 2 . 57 1
同样可求得第二阶和第三阶振型为
S EK =
2 S ∑j j=1
m
m --选取振型数
一般只取2-3个振型， 当基本自振周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时， 振型个数可适当增加。
S j --j振型地震作用产生的地震效应；
必须注意，不能先将各振型的地震作用 Fji 采用“平 方和开方’法进行组合，求出总的地震作用，再求地震 作用效应。因为高阶振型中的地震作用有正有负，经平 方后，全为正值，这样将夸大结构所受的地震作用效应。
采用振型分解反应谱法计算结构最大地震反应容易犯的 一个错误是，先将各振型地震作用组合成总地震作用， 然后用总地震作用计算结构总地震反应。这样的计算次 序与正确的计算次序（即先由振型地震作用计算振型地 震反应，再由振型地震反应组合成总地震反应）所得结 果是不一致的。下面以本例底部剪力结果加以说明。 若先计算总地震作用，则各楼层处的总地震作用分别为
(t ) + g (t ) F = F (t ) max = m x x
所以
max
= m Sa (t ) = αG
Fji = α j φ ji γ j G j
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
3.4.1 振型分解反应谱法
Fji = α j φ ji γ j G j
α j ---相应于j振型自振周期的地震影响系数； φ ji --- j振型i质点的水平相对位移； γ j --- j振型的振型参与系数；
1 1.5 (0.601) 2 (0.676) 2 0.510 2 2 1 1.5 (0.601) 2 (0.676)
1 1.5 (2.57) 2 2.47 3 0.090 2 2 1 1.5 (2.57) 2 2.47
【解】 由
j
M 1 m M m
T j T i 1 n i 1 i j j i
n
ji 2 ji
得
1 1.5 0.648 2 0.301 1 1.421 2 2 1 1.5 0.648 2 0.301
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
F ji = F ji (t )
max
(t ) + g (t ) = mi x ji γ j Δ x j
max
---体系j振型i质点水平地震作用标准值
3.4.1 振型分解反应谱法
Fji = mi γ j φ ji S a (T j )
对于单自由度体系
3.4.1 振型分解反应谱法
多自由度弹性体系在地震时的水平地震作用就是各质点 所受到的惯性力，故质点i上的地震作用为：
g (t ) + i (t ) Fi (t ) =-mi x x
n
[
]
n j =1
g (t ) = g (t )∑γ j φ ji =∑γ j g (t )φ ji x x x
1.2 0 3 K 1.2 1.8 0.6 10 6 N / m 0.6 0.6 0
2 0 0 M 0 1.5 0 103 kg 0 0 1
先由特征值方程求自振圆频率，令 B＝ω 2／600 得