第四部分 点阵振动(声子1)-总结与习题

在 ωT < ω < ωL 的频率范围， ε (ω ) 为负值，点阵显示全反射特性，这时光波 不能在离子晶体中传播，称为频率间隙。 ωL 是 ε (ω ) = 0 的频率，即纵光学声子 频率
⎛ ε ( 0) ⎞ ωL = ⎜ ⎜ ε (∞) ⎟ ⎟ ωT ⎝ ⎠
12
(4.8)
以上关系称为离子晶体的 LST 关系
p >0
波近似Βιβλιοθήκη Baidu的色散关系为
ω ∝ K ( m −1) 2
(4)
(提示：不能再用长波条件将式(2)个的正弦函数展开，但可以在长波极限下 用积分代替求和．) (d)证明在 m＝3 的特定情况下，
ω ∼ K ln K
[解]
(5)
(a) 一维单原子点阵的简谐势能为
2 1 U harm = ∑∑ C p ( us − us + p ) s p >0 2
12
⎡ ⎢ ω = 2 ⎢∑ C p ⎢ p >0 ⎢ ⎣
⎛ 21 ⎞⎤ ⎜ sin pKa ⎟ ⎥ 2 ⎝ ⎠⎥ M ⎥ ⎥ ⎦
(10)
这就是一维单原子链计入第 p 近邻互作用的色散关系。
(b)在长波极限下， Ka sin
于是有
2 2 ⎡ ⎛ pKa ⎞ ⎤ ω= ⎢∑ C p ⎜ ⎟ ⎥ M ⎣ ⎢ p >0 ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎦
p
求和中的 p 是一系列整数，可以为正或负．根据平移对称性要求 C− p = C p ，于是 上式化为
M ω 2 = ∑ C p ( 2 − eipKa − e − ipKa )
p >0
或
ω2 =
ω2 =
2 M
4 M
∑ C (1 − cos pKa ) (9)
p >0 p
∑C
p >0
p
⎛ pKa ⎞ sin 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
初基晶胞含有两个原子的一维点阵， 简正模式的色散关系分为声学支和光学 支(见图 4．2)．在布里渊区边界上声学支和光学支之间有一频率间隙(声子的能 隙) ． 三维点阵简正模式的色散关系是一维情况的推广．波矢 K 是三维矢量，频率
ωs ( K ) 是波矢大小的函数，又是波矢方向的函数．第 s 支色散关系的形式为 ω = ωs ( K )
N 个，独立的解(5)也有 N 个．但描写原子实际位移的是解(5)的实部或虚部： ⎧ ⎪cos ( Ksa − ωt ) us ( t ) ∝ ⎨ ⎪ ⎩sin ( Ksa − ωt ) (9)
原子链的任意运动由 N 个原子的初始位置和初始速度决定， 由于这总可以用式(9) 的 2N 个独立解的线性组合来满足，于是我们就得到了原子链振动问题的全解．
(b)沿原子链传播的波具有相速度
v =ω K
(10)
和群速度
vg = ∂ω ∂K
(11)
对色散关系式(8)取微商，求得波包的群速度为
12 1 vg = ( Ca 2 M ) cos Ka 2
(12)
如图 4．6 所示．在布里渊区边界上 vg = 0 ，这是由于格波的波矢在布里渊区边 界上时，满足了布喇格条件，格波受布喇格反射的结果，形成了驻波，驻波的群 速度是零．
离子晶体的长光学波和红外光波有强的相互作用， 使得离子晶体在红外区对 光波有强的反射和吸收，吸收系数和光学反射比都可以用晶体的介电函数来表 示．介电函数与频率的关系是
ε (ω ) = ε ( ∞ ) +
ε ( 0) − ε ( ∞ ) 2 1 + ω 2 ωT
(4.7)
式中 ε ( 0 ) 是静介电常数，ε ( ∞ ) 是光频介电常数，ε ( ∞ ) = n 2 ,n 是光的折射率，ωT 是横光学声子频率。介电函数与频率的关系如图 4.3 所示。
⎛ 21 ⎞ ⎜ sin pKa ⎟ 2 ⎠ ω = 2 ∑ Cp ⎝ M p >0
(2)
(b)证明长波极限下，其色散关系为
⎛ ⎞ ω = a ⎜ ∑ p2 C p M ⎟ ⎝ p >0 ⎠
p >0
12
K
(3)
这里假设 ∑ p 2C p 是收敛的。 (c) 证明，如果 C p = 1 p m (1＜m＜3)，求和 ∑ p 2C p 并不收敛，于是在长
最近邻互作用的假设，考虑到第 p 近邻的互作用，设相应的力常数为 C p ，于是
一维单原子点阵的简谐势能为
2 1 U harm = ∑∑ C p ( us − us + p ) s p >0 2
(1)
这里 us 和 us + p 分别表示第 s 个原子和第(s+p)个原子相对于平衡价置的位移． (a)证明简正模式的色散关系为
第四章 点阵振动-总结与习题指导 内容提要
1 格波与声子 点阵振动的简正模式是具有一定频率 ω 和波矢 K 的平面波，通常称为格 波． K 值是第一布里渊区内的一系列分立值 K = K1 , K 2 K N , 共有 N 个，等于晶
体中初基晶胞的数目．不同的 K ,ωs ( K ) 代表格波的不同模式，给定了波矢 K，频 率 ω 由点阵振动的第 s 支色散关系 ωs ( K ) 相应地确定． 波矢为 K 、 频率为 ωs ( K ) 的格波，其能量是量子化的，
原子的质量为 M ，力常数为 C ．假如只考虑最近邻原子间的相互作用，试证明： (a)简正模式的色散关系为
⎛ 4C ⎞ ω =⎜ ⎟ ⎝M ⎠
12
1 sin Ka 2
(b)波包的群速度为
⎛ a2 ⎞ 1 vg = ⎜ C ⎟ cos Ka 2 ⎝ M⎠
(c)在长波极限下的色散关系为
12
ω=v K
其中 v 是声速，
1
pKa pKa ≈ 2 2
12
a ⎡ 2 ⎤ = ⎢∑ ( C p p )⎥ M ⎣ p >0 ⎦
12
K
(11)
这里假设了级数 ∑ C p p 2 是收敛的，于是声速为
p >0
a ⎡ 2⎤ vs = ⎢∑ C p p ⎥ M ⎣ p >0 ⎦
波矢守恒定律要求：
k i + G = k′ ± K
(4.17)
k i 和 k ′ 是散射前后中子的波矢， K 是吸收或发射的声子的波矢， G 是一个倒易点
阵矢量，G 的选取必须使声子波矢不超出第一布里渊区。 以上二式中“+”号对应发射声子的过程，“−”号对应吸收声子的过程。
例题
4． 1 一维单原子点阵的振动 考虑一个一维单原子点阵， 设点阵常数为 a ，
6
中子的非弹性散射
声子对中子的非弹性散射可以用来测量声子能谱． 该实验方法所依据的基本 原理是散射过程遵守能量守恒和波矢守恒定律． 能量守恒定律要求：
i ′ ± ωs ( K ) En = En
(4.16)
i ′ 是散射前后中子的能量， ωs ( K ) 是吸收或发射的声子的频率． 式中 En 和 En
− M ω 2uei( sKa −ωt ) = −C ( 2 − eiKa − e − iKa ) uei( sKa −ωt )
两端消去公因子，得
M ω 2 = 2C (1 − cos Ka )
ω=
4C 1 sin Ka M 2
(8)
如图 4．1 所示．对于每一个 K 值，有一个 ω ( K ) 与之对应．出于独立的 K 值有
ωs ( K + G ) = ωs ( K )
同时也具有中心反演的对称性
(4.4)
ωs ( K ) = ωs ( − K )
3 第一布里渊区
(4.5)
对于点阵振动色散关系的同一支而言，K 和 K+G 代表同一振动模式，因而 格波的波矢是限制在第一布里渊区内的． 第一布里渊区外的波矢所代表的振动模 式只不过是第一布里渊区内的波矢所代表的模式的重复或再现而已． 当格波的波 矢超出第一布里渊区时，必须平移一个适当的倒易点阵矢量，用第一布里渊区内 的波矢来描写．点阵振动的最大波矢是布里渊区边界所对应的波矢，相应的波长 也就是点阵振动的最短波长． 4 声学支和光学支
(4.3)
单原子点阵的色散关系有三个声学支， 其中两个代表横偏振， 一个代表纵偏振． 对 带有基元的点阵，色散关系有 3p 支，这里 p 是基元中所包含的原子数．其中有
3 个声学支(晶体中有 N 个初基晶胞，共有 3N 个声学模式)，有 3p-3 个光学支(共
有(3p-3)N 个光学模式)。总的模式数为 3 pN ，等于晶体中原子的总自由度数。 简正模式的色散关系在波矢空间具有平移对称性质：
1⎞ ⎛ En = ⎜ nK , s + ⎟ ωs ( K ) 2⎠ ⎝
(4.1)
．格波的能
式中 nK , s 称为波矢为 K 的第 s 支格波的激发态量子数， nK , s = 0,1, 2
量量子称为声子．声子是准粒子，其能量是 E = ωs ( K ) ．声子不带有物理动量， 声子的准动量定义为 P = K i 又称为声子的晶体动量．声子波矢 K 和频率 ωs ( K ) 相应于格波的波矢和频率． 函数 ωs ( K ) 又称为声子的色散关系或声子能谱， 一个 波矢为 K 的第 s 支振动模式处于它的第 nK , s 个激发态，我们就说，在晶体中存在 有 nK , s 个波矢为 K 的第 s 种声子． 2 点阵振动的色散关系
(2)
= −C ( 2us − us +1 − us −1 )
s 原子的运动方程为
Mus = −C ( 2us − us +1 − us −1 ) (3)
如果原子数 N 足够多，而且不考虑原子链端点的边界效应，我们可以用周期性 边界条件，把原子链看成首尾相接的圆环(田 4．5)．第 0 个原子和第 N 个原子 的位移相同．
对初基晶胞含有不只一个原子的点阵，色散关系分为声学支和光学支．长声 学波描写同一初基晶胞中原子(连同它们的质心)的整体运动，色散关系近似为直 线
ω = vk
(4.6)
其性质类似声波，具有恒定的声速 v。长光学波描写同一初基晶胞中原子的相对 运动(质心固定不动)．离子晶体的长光学波可以用光波激发，如果它们具有相同 的频率和波矢，可以发生共振，这决定了离子晶体的红外光学性质． 5 离子晶体的长光学波
于是作用在 s 原子上的力为
Fs = −
或
∂U harm ⎤ = ∑⎡ ⎣C p ( u s − u s + p ) − C p ( u s − p − u s ) ⎦ ∂us p >0 (6)
p
Fs = −∑ C p ( us − us + p )
s 原子的运动方程为
Mus = −∑ C p ( us − us + p )
简谐近似是处理点阵振动问题的理论基础．简谐近似下，如果只计入最近邻 原子间的互作用，一维单原子点阵简正模式的色散关系是
ω = ωm sin Ka
12
1 2
(4.2)
⎛ 4C ⎞ 这里 ωm = ⎜ ⎟ 是截止频率，C 是原子间的力常数，M 是原子质量，在 K=0 附 ⎝M ⎠
近色散关系为直线，当 K 足够大时，曲线达极大值，如图 4.1 所示。
(c)在长波极限下， Ka
1 ，近似有
ω =⎜ ⎜a
⎝
⎛
C M
⎞ ⎟ ⎟K ⎠
(13)
ω 是 K 的线性函数，群速同于相速且均于频率无关，
v = vg = a C M
(14)
以上表明，点阵对于长波长的格波就好象连续介质，于是色散关系(8)过渡到式
(13)．
4.2 计入第 p 近邻互作用的一维单原子点阵 如果对一维单原子点阵放弃
⎛ Ca 2 ⎞ v=⎜ ⎟ ⎝ M ⎠
解
12
(a)参看图 4.4．用 us 表示原子 s 相对于平衡位置 sa 的位移．点阵的间谐势能
为
1 2 U harm = C ∑ ( us − us +1 ) 2 s
作用在原子 s 上的力为
(1)
Fs = −
∂U harm = −C ( us − us +1 ) − C ( us − us −1 ) ∂us
p
(7)
寻求简正模式解
us = ue (
i sKa −ωt )
(8)
将式(8)代入式(7)，得到
− M ω 2ue (
i sKa −ωt )
= −∑ C p (1 − eipKa ) ue (
p
i sKa −ωt )
两边消去 uei( sKa −ωt ) ，得
M ω 2 = ∑ C p (1 − eipKa )
u1 = u N +1 u0 = u N
下面我们寻求运动方程的简正模式解，
us ( t ) = uei( sKa −ωt )
周期性边界条件(4)要求
(5)
eiKNa = 1
于是得到
(6)
K=
2π n , n = 0, ±1, ±2 a N
(7)
当波矢 K 改变 2π／a 时，由式(5)所定义的位移 us 是不变的．因此独立的 K 值只 有 N 个，相应地有 N 个不同的解(5)．通常，我们把波矢 K 的值取在第一布里渊 区内，即 − π a ∼ π a 之间．将式(5)形式的试解代入运动方程(3)中，得到