数学分析 第一型曲线积分

其中
∆si
=
s(ti )
−
s(ti−1).
如果极限 lim π →0
m i =1
f (σ(ξi ))∆si
存在且与
{ξi }
的选取无关,
则称此极限为
f
在 σ 上的第一型曲线积分, 记为
m
f ds = lim f (σ(ξi ))∆si .
σ
π →0 i =1
当 f = 1 时, 第一型曲线积分也就是曲线的长度.
β
(f ) = sup v (f ; π).
α
π
根据定义不难验证, 单调函数, Lipschitz 函数, C1 函数都是有界变差函数.
问题: 你能举一个连续但不是有界变差函数的例子吗?
可求长的充要条件
(Jordan 定理) 曲线 σ(t) 可求长当且仅当其分量均为有界变差函数.
可求长的充要条件
i =1
如果 supπ v (f ; π) 有限, 则称 f 为 [α, β] 上的有界变差函数, 它在 [α, β] 中的全变 差记为
β
(f ) = sup v (f ; π).
α
π
有界变差函数
为了确定曲线可求长的充分必要条件, 我们引入有界变差函数的概念.
设 f 为定义在 [α, β] 中的函数. 任给分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 记
若 σ 的弧长参数存在, 第一型曲线积分可化为 Riemann 积分:
L(σ)
f ds =
f (σ(s)) ds.
σ
0
例子
例1
设曲线 σ
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1
在第一象限内的部分,
计算积分 I
=
σ xy ds.
例子
例1
设曲线 σ
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1
在第一象限内的部分,
计算积分 I
0
π
ab 2
a2 + b2 b2 − a2
=
sin 2t
+
cos 2t dt
20
2
2
ab 1 a2 + b2 b2 − a2
= 4 −1
+
u du
2
2
ab a2 + ab + b2
=
.
3 a+b
s (t) = σ (t) 或 ds = σ (t) dt.
第一型曲线积分
问题: 已知某线状物体的密度函数为 ρ, 如何求其质量?
第一型曲线积分
问题: 已知某线状物体的密度函数为 ρ, 如何求其质量?
我们可以推导如下: 设 f 是定义在曲线 σ 上的函数, 任给 [α, β] 的分割 π, 取
ξi ∈ [ti−1, ti ] (1 ≤ i ≤ m), 考虑和
π i=1
如果 σ(t) 的每一个分量均为连续可微函数, 则与平面曲线长度公式的推导类似, 可知 σ 是可求长的, 且长度可以表示为积分
β
L(σ) = σ (t) dt.
α
注意: 如果曲线不连续, 则我们这里给出的曲线长度定义和直观上的长度观念不 是一回事. 例如, 考虑这样的曲线: 当 t = 0 时 (x(0), y(0)) = (0, 0); 当 0 < t ≤ 1 时, (x(t), y (t)) = (t, 1). 想一想, 其长度等于多少?
弧长参数
以下总是假设曲线 σ 是可求长的. 对 t ∈ [α, β], 定义 s(t) = L(σ|[α,t]), 则 s(t) 关 于 t 单调递增, 称为 σ(t) 的弧长函数, 并且
s(t2) − s(t1) = L(σ|[t1,t2]), t1 ≤ t2.
弧长参数
以下总是假设曲线 σ 是可求长的. 对 t ∈ [α, β], 定义 s(t) = L(σ|[α,t]), 则 s(t) 关 于 t 单调递增, 称为 σ(t) 的弧长函数, 并且
m
v (f ; π) = |f (ti ) − f (ti−1)|,
i =1
如果 supπ v (f ; π) 有限, 则称 f 为 [α, β] 上的有界变差函数, 它在 [α, β] 中的全变 差记为
β
(f ) = sup v (f ; π).
α
π
根据定义不难验证, 单调函数, Lipschitz 函数, C1 函数都是有界变差函数.
(Jordan 定理) 曲线 σ(t) 可求长当且仅当其分量均为有界变差函数.
证明. 设 σ(t) = (x1(t), · · · , xn(t)) 可求长, 则任给 [α, β] 的分割 π, 有
m
m
v (xi ; π) = |xi (tj ) − xi (tj−1)| ≤
σ(tj ) − σ(tj−1) ≤ L(σ),
=
σ xy ds.
解. σ 的参数表示可取为 σ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ 0, π/2 .
此时 ds = σ (t) dt = a2 sin2 t + b2 cos2 t dt. 所求积分为
π
I=
2
a cos t · b sin t ·
a2 sin2 t + b2 cos2 t dt
m i =1
f (σ(ξi ))∆si ,
其中
∆si
=
s(ti )
−
s(ti−1).
第一型曲线积分
问题: 已知某线状物体的密度函数为 ρ, 如何求其质量?
我们可以推导如下: 设 f 是定义在曲线 σ 上的函数, 任给 [α, β] 的分割 π, 取
ξi ∈ [ti−1, ti ] (1 ≤ i ≤ m), 考虑和
π i=1
如果 σ(t) 的每一个分量均为连续可微函数, 则与平面曲线长度公式的推导类似, 可知 σ 是可求长的, 且长度可以表示为积分
β
L(σ) = σ (t) dt.
α
曲线长度
如果这些折线的长度有上界, 则称 σ 是可求长曲线, 其长度定义为
m
L(σ) = sup σ(ti ) − σ(ti−1) .
有界变差函数
为了确定曲线可求长的充分必要条件, 我们引入有界变差函数的概念.
有界变差函数
为了确定曲线可求长的充分必要条件, 我们引入有界变差函数的概念.
设 f 为定义在 [α, β] 中的函数. 任给分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 记
m
v (f ; π) = |f (ti ) − f (ti−1)|,
s(t2) − s(t1) = L(σ|[t1,t2]), t1 ≤ t2. 如果 s(t) 关于 t 可逆, 其反函数记为 t = t(s), 此时 σ(t) = σ(t(s)) 又可以看成 关于 s 的参数曲线. s 称为弧长参数. 特别地, 若 σ(t) 为连续可微曲线, 且 σ (t) 在任何区间中不恒为零(例如, 处处 非零)时, 弧长参数存在. 此时
度为
m
L(σ; π) =
σ(ti ) − σ(ti−1) .
i =1
曲线长度
如果这些折线的长度有上界, 则称 σ 是可求长曲线, 其长度定义为
m
L(σ) = sup σ(ti ) − σ(ti−1) .
π i=1
曲线长度
如果这些折线的长度有上界, 则称 σ 是可求长曲线, 其长度定义为
m
L(σ) = sup σ(ti ) − σ(ti−1) .
α
现在考虑一般的情形. 设 σ : [α, β] → Rn 为参数曲线, 我们仍然用折线逼近曲线 的办法定义 σ 的长度.
曲线长度
在一元微积分中, 对于平面曲线 σ(t) = (x(t), y(t)), 如果 x(t), y(t) 是关于 t 的 连续可微函数, 则利用折线逼近曲线的办法, 我们定义了 σ 的长度为
m i =1
f (σ(ξi ))∆si ,
其中
∆si
=
→0
m i =1
f (σ(ξi ))∆si
存在且与
{ξi }
的选取无关,
则称此极限为
f
在 σ 上的第一型曲线积分, 记为
m
f ds = lim f (σ(ξi ))∆si .
σ
π →0 i =1
s(t2) − s(t1) = L(σ|[t1,t2]), t1 ≤ t2. 如果 s(t) 关于 t 可逆, 其反函数记为 t = t(s), 此时 σ(t) = σ(t(s)) 又可以看成 关于 s 的参数曲线. s 称为弧长参数.
弧长参数
以下总是假设曲线 σ 是可求长的. 对 t ∈ [α, β], 定义 s(t) = L(σ|[α,t]), 则 s(t) 关 于 t 单调递增, 称为 σ(t) 的弧长函数, 并且
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
4.1 第一型曲线积分
4.1 第一型曲线积分
内容提要: 曲线的长度;
4.1 第一型曲线积分
内容提要: 曲线的长度; 有界变差函数;
4.1 第一型曲线积分
内容提要: 曲线的长度; 有界变差函数; 第一型曲线积分.
曲线长度
在一元微积分中, 对于平面曲线 σ(t) = (x(t), y(t)), 如果 x(t), y(t) 是关于 t 的 连续可微函数, 则利用折线逼近曲线的办法, 我们定义了 σ 的长度为
j =1
j =1
这说明 xi (t) 为有界变差函数. 反之, 如果每一个 xi (t) 都是有界变差函数, 则由
σ(tj ) − σ(tj−1) ≤
n i =1
|xi (tj )
−
xi (tj−1)|
可知
n
nβ
L(σ; π) ≤ v (xi ; π) ≤
(xi ).
i =1
i=1 α
因此 σ(t) 是可求长的.
β
L(σ) =
[x (t)]2 + [y (t)]2 dt.
α
现在考虑一般的情形. 设 σ : [α, β] → Rn 为参数曲线, 我们仍然用折线逼近曲线 的办法定义 σ 的长度.
为此, 任取 [α, β] 的分割
π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β,
相继用直线段连接曲线上的分点 σ(ti−1) 与 σ(ti ) (1 ≤ t ≤ m), 得到的折线的长
有界变差函数
为了确定曲线可求长的充分必要条件, 我们引入有界变差函数的概念.
设 f 为定义在 [α, β] 中的函数. 任给分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 记
m
v (f ; π) = |f (ti ) − f (ti−1)|,
i =1
如果 supπ v (f ; π) 有限, 则称 f 为 [α, β] 上的有界变差函数, 它在 [α, β] 中的全变 差记为
β
L(σ) =
[x (t)]2 + [y (t)]2 dt.
α
曲线长度
在一元微积分中, 对于平面曲线 σ(t) = (x(t), y(t)), 如果 x(t), y(t) 是关于 t 的 连续可微函数, 则利用折线逼近曲线的办法, 我们定义了 σ 的长度为
β
L(σ) =
[x (t)]2 + [y (t)]2 dt.
当 f = 1 时, 第一型曲线积分也就是曲线的长度.
第一型曲线积分
问题: 已知某线状物体的密度函数为 ρ, 如何求其质量?
我们可以推导如下: 设 f 是定义在曲线 σ 上的函数, 任给 [α, β] 的分割 π, 取
ξi ∈ [ti−1, ti ] (1 ≤ i ≤ m), 考虑和
m i =1
f (σ(ξi ))∆si ,