经济数学――微积分复习提纲

经济数学――微积分复习提纲

第一章函数

1、函数的定义域及分段函数的求值。

2、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

3、常用的经济函数(需求函数、供给函数、总成本函数、总收益函数、总利润函数、库存函数)

第二章 极限与连续

1、无穷小的定义与性质。

1）极限为零的变量称为无穷小量。

注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.

（2）零是常数中唯一的无穷小量。

2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。

3）函数极限与无穷小的关系： A x f =)(lim 的充要条件是α+=A x f )( ，其中A 为常数，0lim =α。

2、无穷大的定义。

在某一变化过程中，若f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)为此变化过程中的无穷大量。 注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。

3、无穷大与无穷小互为倒数。

4、极限的运算法则。

见教材P48 定理1、2、3、4及推论1、2

5、两个重要极限。

1sin lim 0=→x x x ()e z e x z z x

x =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→∞→101lim 11lim 或 会用重要极限求函数极限。

6、会用等价无穷小代替求极限

7、连续的定义。见教材P66

函数f(x) 在点x 0处连续，必须同时满足三个条件：

1) 在点x 0处有定义；

2）)(lim 0

x f x x →存在 ； 3）极限值等于函数值，即)()(lim 00

x f x f x x =→ 。 8、函数)(x f 在点0x 连续的充分必要条件是：既左连续又右连续。

9、函数在点0x 处连续与该点处极限的关系：

函数在点0x 处连续则在该点处必有极限，但函数在点0x 处有极限并不一定在该点连续。

10、如何求连续函数的极限

连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即)()(lim 00

x f x f x x =→

111、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。

12、如何求连续区间？

基本初等函数在其定义域内是连续的；

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

13、间断点的定义。

14、间断点的类型。

（一）第一类间断点

1、可去间断点

（1）在0x 处无定义，但)(lim 0

x f x x →存在。 （2）在0x 处有定义，在0x 处左右极限存在且相等，但是)()(lim 00

x f x f x x ≠→ 。 2、跳跃间断点： 在点0x 处左右极限都存在，但不相等 。

第一类间断点的特点:函数在该点处左右极限都存在.

（二）第二类间断点(若左右极限中至少有一个不存在，称为第二类间断点。)

1、无穷间断点。

2、振荡间断点。

有关习题如下：

P47 3 P53 2,3,4 P62 1,2 P65 1,2,3 P73 2,3,5,6

第三章 导数、微分、边际与弹性

1、函数)(x f 在点0x 处可导的充要条件是： 在点0x 处的左右导数都存在且相等，

2、判断分段点处是否可导：在分段点处应按定义求出左右导数，在分段点处左右导数都存在且相等，则分段点可导。

3、连续与可导的关系：若函数)(x f 在点0x 可导，则函数)(x f 在点0x 连续。反之不然

4、函数)(x f 在点0x 处的导数在几何上表示曲线)(x f y =在点0x 处的切线的斜率。

5、切线方程、法线方程

6、隐函数的求导法、参数方程所表示函数导数 。

7、对数求导法

8、可微的定义。

9、函数)(x f 在点0x 可微的充要条件是函数)(x f 在点0x 可导

有关习题如下：

P91 7,11,12,15 P100 2,3,5,6,7,10 P105 1,2 P112 1,4,6 P122 3, 4

第四章 中值定理及导数的应用

10、中值定理的内容。

11、洛必达法则。

12、函数单调性判别法：求极值步骤：

13、求最大（小）值的步骤：

14、函数的凹凸性及拐点的定义及判断方法

15、导数在经济中的应用(最大利润问题、最大收益问题、经济批量问题、最大税收问题等)

有关习题如下：

P142 2 P147 1 P162 1,2,4,5 P168 3

第五章 不定积分

1、原函数与不定积分的关系：全体原函数构成不定积分。即

C x F dx x f +=⎰)()(。 积分运算与微分运算有如下互逆关系： 1)

[])()(x f dx x f dx d =⎰或[]dx x f dx x f d )()(=⎰ . 2) c x F dx x F +=⎰)()('或c x F dx x dF +=⎰)()( .

2、不定积分的换元法和分部积分法。

第一类换元法（凑微分法） 。

第二类换元法

分部积分法

有关习题如下：

P183 1 P197 1 P203 1

第六章 定积分

1、定积分的性质。

2、定积分中值定理。

3、dt t f x x

a ⎰=Φ)()(为积分上限的函数（或变上限的定积分）。

它的导数是 )(x f

)(')]([)()(x x f dt t f dx d x a ϕϕϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ )(')]([)()(x x f dt t f dx

d b x ϕϕϕ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ )(')]([)(')]([)(2211)(1)(2

x x f x x f dt t f dx d x x ϕϕϕϕϕϕ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ 4、牛顿—莱布尼兹公式，又叫微积分基本公式。

5、定积分的换元法、分部积分法

6、定积分的经济应用(由边际函数求原函数、由变化率求总量)

有关习题如下：

P219 2 P225 1 2 3 P231 1 2 P233 1 P239 1 P252 1 2 3 4 5

第十章 微分方程

41微分方程的基本概念(微分方程、微分方程的角、特解、通解、微分方程的阶、初值条件、初值问题等)

42、可分离变量的微分方程的解法

43、一阶线性微分方程的解法

44、可降阶的二阶微分方程的解法

45、二阶常系数微分方程的解法

有关习题如下：

P384 1 3 4 P396 1 2 P405 4 6 7