应用数值分析第一章

§3 误差的传播 一、误差估计
当 f 为多元函数时，若A f ( x1 , x 2 , x n )，而x1 , x 2 , x n
* * * * * * 的近似值为x1 , x2 , xn ，则A的近似值为A* f ( x1 , x2 , xn )，
于是函数值A*的误差e( A* )为
§1 数值分析简介
一、研究对象 数值分析（Numerical Analysis），也称数值方法、计算方法 或计算机数学，是计算数学的一个主要部分，计算数学是数 学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数 值计算方法及其理论与软件实现，是用公式表示数学问题以 便可以利用算术和逻辑运算解决这些问题的技术。 二、学科特点
注：函数值的绝对误差等于函数的全微分，自变量的微分即为 自变量的误差；函数值的相对误差等于函数的对数的全微分。
cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. 例 设f ( x , y ) x ~ f (1.30， ~ 能有 如果用u 0.871)作为f ( x，y )的近似值，则u 几位有效数值？
10 n 1 则 | x x* | εr * | x* | 0 .a1a 2 10m 2(a1 1)
1 10 n1 2(a1 1)
10 n 1 (a1 1) 10m 1 0 .5 10m n 2(a1 1)
可见 x* 至少有 n 位有效数字。
* e * * e r 注：从 r 的定义可见， 实际上被偷换成了 x * ，而后才考
察其上限。那么这样的偷换是否合法？
e* e* 严格的说法是， x 与 x * 是否反映了同一数量级的误差？
*) 2 关于此问题的详细讨论可见教材 p5 。 e* e* e* ( x x* ) (e (e* / x* )2 x x* xx* x* ( x* e* ) 1 (e* / x* )

具有较强的自学能力和一定的应用实践能力
考核——平时 (30%)和期末笔试(70%)
平时：点名和作业，少一次扣3分，上限30分

提问：数值分析是做什么用的？
输入复杂问题或运算
实际问题

a b
x,
a ,
x
l n x,
Ax b ,
f ( x )dx,
d f ( x ), dx
数学 建模 ......
三、有效数字 若近似值 x*的误差限是某一位的半个单位,该
位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位,就说 x*有 n 位有效数字.
897932 ; * 3.1415 例: 3.1415926535
* 有几位有效数字？请证明你的结论。 问： *
4
3
* m a1 0 x 0 .a a a 10 用科学计数法，记 1 2 n mn | x x* | 0.5 10 （其中 ）。若 an x* 10m n（即 的截取按四舍五入 规则），则 注： 0.2300 有4位有效数字，而0.0023只有 有 n 位有效数字，精确到 。 2位有效数字。 12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
应用 数 值 分 析
Applied Numerical Analysis
青岛科技大学数学系
教材
《应用数值分析》 王明辉等
编，化学工业出版社
参考书目
Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
2
0.0005 2 0.001 | 舍入误差 | 1 计算 0 e -x dx 的总体误差 0 .005 0 .001 0 .006
二、误差的定义
绝对误差
e x x 其中x为精确值，x*为x的近似值。
* *
由于通常准确值 x 是不知道的，所以误差e* 的准确 值也不可能求出，但根据具体情况，可事先估计出误差 * * 的范围——误差绝对值不能超过某个正数 ，我们把 叫做误差绝对值的“上界”，或称“误差限”。 * * * * * * x x x │x x│ ≤ ≤ ≤ 一般地，| e* | 的上限记为 ε * ，称为绝对误差限，工程 1 * * x e 上常记为 x x ε ，例如： 0 dx 0.743 0.006
2
注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 e*>0 时，x*称为强近似值，e*<0 时，x*称为弱近似值 e* > 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。
e* 相对误差 e x
* r
e* e * 实际计算中，相对误差通常取为： x
* r
* ε * ε x 的相对误差限 常定义为 r | x * |
* x1* x2 * * * * e ( x x ) e ( x ) e ( x r 1 2 x* x* r 1 x* x* r 2 ), 1 2 1 2 * * * * e ( x x ) e ( x ) e ( x r 1 2 r 1 r 2 ), * * * * e ( x / x ) e ( x ) e ( x r 1 r 2 ). r 1 2
面向计算机，提供切实可行的有效算法；
有可靠理论，对算法进行误差分析，并能达到精度要求； 算法能在计算机上实现，并有好的计算复杂性； 通过数值实验 证明算法行之有效；
三、学习理由
1 数值方法能够极大地覆盖所能解决的问题类型； 2 学习数值分析可以让用户更加智慧地使用“封装过的”软件； 3 很多问题不能直接用封装的程序解决，如果熟悉数值方法并擅 长计算机编程的话，就可以自己设计程序解决问题； 4 数值分析是学习使用计算机的有效载体，对于展示计算机的强 大和不足是非常理想的； 5 数值分析提供了一个增强对数学理解的平台.
数值 构造 算法 分析
近似解 上机计算求出结果 计算机
程序 设计
第一章 科学计算简介
There are three great branches of science: theory, experiment and computation. The fundamental law of computer science: As machines become more powerful, the efficiency of algorithms grows more important, not less. —L.N. Trefethen
*
特别地，由上式可得和、差、积、商之误差及相对误差公式
* * * * e ( x x ) e ( x ) e ( x 2 1 2) 1 * * * * * * e( x1 x2 ) x2 e( x1 ) x1 e( x2 ) * * * * x e ( x ) x e ( x * * 1 2) e( x1 / x2 ) 2 1 * 2 ( x 2)
§2 误差 一. 来源与分类 简化…
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求(数学表达的)近似解 —— 方法误差 (截断误差) 模型的准确解与用数值方法求得的准确解之差称为 （理论计算误差） “截断误差”。 实际算法: 有限、 机器字长有限 —— 舍入误差 四则运算化…
２．在教学活动中，讲授的重点在思路、方法与培养能 力上。 ３．希望学员能以积极、主动的姿态参与到教学活动中, 将教学过程变成研究、创造与培养能力的过程。 ４．不要迷信书本与教师，要敢于怀疑，敢于研究，敢 于创造。
来自百度文库程特点及学习要求
理论性强、实践性与理论并重、内容广、系统 化和综合性、涉及到多方面知识 教学方式：课堂讲授 与 上机实习; 学习方法：预习、听课、练习、思考、总结。
有关新课程的说明
一．有关课程本身的几个问题； 二．有关教学过程的一些想法。
一．有关课程本身的几个问题：
１．开设本课程的目的：
使学员学习与掌握数值分析基本理论与方法, 建立起 科学计算的良好数学基础为后续课程作准备，
培养和增强学员用数学知识解决问题的习惯和本领， 使学员具备一定的分析问题和解决问题的能力。
２．本课程在数学中的位置：它在数学众多分支 中，属于计算数学。 ３．本课程与已学课程的联系：与高等数学、线 性代数最紧密。
二． 教师有关教学过程的一些想法：
教学过程是师生间的一种双边活动，它是一种特殊的认 识过程（所讨论的知识对教师而言是已知的,而对学员来说是 未知的）。在这过程中，我的想法是：
１．在讨论数值分析基本理论与方法的过程中, 学员要 向会学习、会思考、会研究、会创造、会应用的目标靠拢。

取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
则 R4
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 4! 9 5! 11 引起 1 1 这里 R4 0 .005 由截去部分 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 引起 0 .743 3 10 42
有效数字 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 an 10 2 0 .a1 1 10 n1 2a1
相对误差限 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
n
* ek
*
于 是 误 差 限
(A )
*

n
k 1
f x k
* ( x k )；
*
*
而 A *的 相 对 误 差 限 为
(A ) * * r r(A ) * A

n
k 1
f x k
* ( xk ) A*
例：为使 π *
的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？
解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n1 2a1
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
1 εr * 10 n1 0.001% 2a1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。
* e ( A * ) A * A f ( x 1* , , x n ) f ( x1 , , x n )
f ( x , , x ) * xk xk xk k 1
n * 1 * n


f x k 1 k
cos 0 .871 ~ 0 .49543 解： u f (1 .30， 0 .871 ) 1 .30 f f cos y sin y 由于 ， x y x2 x ~) 而 (u cos 0 .871 sin 0 .871 ´ ´ 0 .0005 0 .005 2 1 .30 1 .30 0 .0022 0 .005
例 :近似计算 e
0
1
x2
dx = 0.747… …
解：

1
0
e x dx
将e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 4 6 8 1
2
x2
x x x ) dx 0 4! 12 ! 2 3! x 1 1 1 1dx1 1 1 1 e 1 /e 1 0 3 2! 5 3! 7 4! 9 (1 x 2
注：关于有效数字有以下几点说明： 1、用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值，则x*必 有n位有效数字； 2、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一 定相同； 3、将任何数乘以10m(m为整数)，等于移动该数的小数 点，并不影响它的有效数字的位数； 4、准确值被认为具有无穷位有效数字.
有效数字与相对误差的关系