浅谈地震频谱分析
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则（2）式表示为
x(t ) c0 cn e jn0t c n e jn0t
n 1 n 1
cn e
（3）
jn0t
注：在实际中，频率只能取正，上式中n取负值， n0 为“负频率”是由复数引起的，从实 数的傅里叶级数过渡到复数形式的傅里叶级数，是由用复数表示正、余弦引起的。 5、上式中， cn 为傅里叶级数的系数，对（3）式两边乘以 e
称为函数 f ( x) 的傅里叶级数，表示为
f ( x) ~
1 n n a0 (an cos x bn sin x) 2 l l n 1
二 狄里赫利条件
并非所有复杂信号都可以进行傅里叶变换，能够进行傅里叶变换的信号必须满足狄里 赫利条件。狄里赫利条件内容为： 设函数 f ( x) 在 [ , ] 区间满足条件： （1） 除有限个第一类间断点外都是连续的。 （2） 只有有限个极值点。 则 f ( x) 的傅里叶级数在 [ , ] 上收敛，且有
2、以 f ( x) 的傅里叶系数为系数的三角级数表示式
1 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
称为函数 f ( x) 的傅里叶级数，表示为
1 f ( x) ~ a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
3、设 f ( x) 是以 2l 为周期的函数，且在 [ l , l ] 上可积，则以
得
1 jnt jnt sin(nt ) (e e ) 2j cos(nt ) 1 (e jnt e jnt ) 2
x(t ) a0 [an cos(n0t ) bn sin(n0t )]
n 1
a0 [an
周 期 函 数 傅 里 叶 级 数
偶 函 数
f ( x) ~
1 a0 an cos nx 2 n 1
f ( x) ~
1 n a0 an cos x 2 l n 1
2 an 0 f ( x) cos nxdx bn 0
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
f ( x) ~
1 n n a0 (an cos x bn sin x) 2 l l n 1
1 an f ( x) cos nxdx (n 0,1, 2 ) b 1 f ( x) sin nxdx (n 1, 2 ) n
f ( x), x是的连续点 f ( x) 1 1 f ( x) ~ a0 (an cos nx bn sin nx) [ f ( x0 0) f ( x0 0)], x0是的第一类间断点 f ( x) 2 n 1 2 1 [ f ( 0) f ( 0)], x 2
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
f ( x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令
f ( x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，令
f ( x) F ( x) f ( x)
0 x x 0
f ( x) F ( x) f ( x)
n 1
f ( x) ~ bn sin
n 1
n x l
an 0 2 b f ( x) sin nxdx n 0
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
an 0 2 l n b f ( x) sin xdx n 0 l l
其中 f ( x0 0) lim f ( x) ， f ( x0 0) lim f ( x)
x x0 x x0
周期与非周期函数傅里叶级数 以 2 为周期的函数 f ( x) 以 2l 为周期的函数 f ( x)
一 般 函 数
f ( x) ~
1 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
式中 0
2 ：基波频率 T
n0 ：n次谐波频率 a0 ：信号的直流分量 an ：余弦分量的振幅 bn ：正弦分量的分量
注：这种类型与前表中一般函数以 2l 为周期的函数情况一致，不同之处在于此式为等式， 将l
T 带入原式得到（1）式 2
3、复数形式的傅里叶级数 由公式
1 jt jt sin(t ) (e e ) 2j cos(t ) 1 (e jt e jt ) 2
1 T cm cn 2T x(t )e jm0t dt T 2
（5）
（5）式是计算复数形式的傅里叶级数系数公式。 6、上述傅里叶展开是一个周期信号 x(t ) 在 [
T T , ] 区间内的展开，实际任意一个周期 2 2
[t0 , t0 T ] 上可以把 x(t ) 展开成傅里叶级数形式
(n 0, 1, 2 ) 展为三角形式傅里
a0 [an cos(n0t ) bn sin(n0t )]
n 1
（1）
1 2 a0 x(t )dt T 2 2 an 2 x(t ) cos(n0t )dt T 2 2 bn 2 x(t ) sin(n0t )dt T 2
f ( x) F ( x) f ( x)
0 xl l x 0
则 F ( x) 除 x 0 外在 [ , ] 上为偶函数
则 F ( x) 除 x 0 外在 [ l , l ] 上为偶函数
f ( x) ~
1 a0 an cos nx 2 n 1
jn0t
，并从
T
T T 到 积分 2 2
（4）
正交函数系 e
jn0t
T 2 T 2
x(t )e jm0t dt 2T cn e jn0t e jm0t dt cn 2T e j ( n m )0t dt
2 2
T
n 1
1 jn0t 1 jn0t jn0t (e e jn0t ) bn (e e )] 2 2j
（2）
a0 [(
n 1
an bn jn0t an bn jn0t )e ( )e ] 2 2j 2 2j an bn j jn0t an bn j jn0t )e ( )e ] 2 2 j 2 2 2 j 2
浅谈地震频谱分析
在地震勘探中经常要对单道地震数据进行频谱分析，目的是为了将复杂地震波曲线时 域显示转换为频域显示的一种过程。比较简单的一种理解是：复杂地震波可以分解成为许 多许多不同振幅、频率和初相位角的正弦波之和，将其中的两项作为自变量和因变量画在 一个直角坐标系中，由振幅和频率组成的为振幅谱，由初相位和频率组成的为相位谱。下 面详细介绍频谱分析公式推导过程。 频谱分析是建立在傅里叶变换的基础上进行的，先简单介绍傅里叶级数，对傅里叶级 数的由来可以由高等数学知识获得。
三 傅里叶分析与信号频谱
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
an 0 2 l n bn f ( x) sin xdx l 0 l
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
1、很多情况下，频域比时域有更强的物理意义：如光线的颜色由频率决定，声音音调的高 低由频率决定。 2、在地震系统中，周期为T的信号 x(t ) x( x nT ) 叶级数为：
1 l n an f ( x) cos xdx (n 0,1, 2 ) l l l b 1 l f ( x) sin n xdx (n 1, 2 ) n l l l
为系数的三角级数
1 n n a0 (an cos x bn sin x) 2 l l n 1
以 2 为周期，且 f ( x) f ( x)
1 l n an f ( x) cos xdx (n 0,1, 2 ) l l l b 1 l f ( x) sin n xdx (n 1, 2 ) n l l l
以 2l 为周期，且 f ( x) f ( x)
0 xl l x 0
则 F ( x) 除 x 0 外在 [ , ] 上为奇函数
则 F ( x) 除 x 0 外在 [ l , l ] 上为奇函数
f ( x) ~ bn sin nx
n 1
f ( x) ~ bn sin
n 1
n x l
an 0 2 bn f ( x) sin nxdx 0
一 傅里叶级数
1、设 f ( x) 是以 2 为周期的函数，且在 [ , ] 或 [0, 2 ] 上可积，则 f ( x) 的傅里叶系数 为：
1 1 2 a f ( x ) cos nxdx f ( x) cos nxdx (n 0,1, 2 ) n 0 b 1 f ( x) sin nxdx 1 2 f ( x) sin nxdx (n 1, 2 ) n 0
a0 [(
n 1
a0 [
n 1
an bn j jn0t an bn j jn0t e e ] 2 2
用新系数表示
c0 a0 1 cn (an jbn ) 2 1 c n (an jbn ) 2
f ( x) ~
1 n a0 an cos x 2 l n 1
2 an 0 f ( x) cos nxdx bn 0
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
2 l n xdx an 0 f ( x) cos l l bn 0
x(t )
n
ce
n
jn0t
t [t0 , t0 T ]
式中： 0
2 1 t0 T x(t )e jn0t dt ， cn t 0 T T
四 离散频谱
1、三角形式傅里叶级数展开式（1）中，因为
sin(n0t ) cos(n0t ) 2 cos(n0t ) sin(n0t ) 2
(n 0, 1, 2 ) 对不同的n和m有
所以，只有当n=m时，
T 2 T 2
e jn0t (e jm0t ) dt 0
T 2 T 2
e j ( n m )0t dt T ，则（4）式变为
T 2 T 2
所以
x(t )e jm0t dt cn T
(n 0,1, 2 ) (n Hale Waihona Puke Baidu 1, 2 )
f ( x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令
f ( x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，令
f ( x) F ( x) f ( x)
偶 延 拓 非 周 期 函 数 傅 里 叶 级 数 奇 延 拓
0 x x 0
2 l n xdx an 0 f ( x) cos l l bn 0
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
以 2 为周期，且 f ( x) f ( x)
以 2l 为周期，且 f ( x) f ( x)
奇 函 数
f ( x) ~ bn sin nx
x(t ) c0 cn e jn0t c n e jn0t
n 1 n 1
cn e
（3）
jn0t
注：在实际中，频率只能取正，上式中n取负值， n0 为“负频率”是由复数引起的，从实 数的傅里叶级数过渡到复数形式的傅里叶级数，是由用复数表示正、余弦引起的。 5、上式中， cn 为傅里叶级数的系数，对（3）式两边乘以 e
称为函数 f ( x) 的傅里叶级数，表示为
f ( x) ~
1 n n a0 (an cos x bn sin x) 2 l l n 1
二 狄里赫利条件
并非所有复杂信号都可以进行傅里叶变换，能够进行傅里叶变换的信号必须满足狄里 赫利条件。狄里赫利条件内容为： 设函数 f ( x) 在 [ , ] 区间满足条件： （1） 除有限个第一类间断点外都是连续的。 （2） 只有有限个极值点。 则 f ( x) 的傅里叶级数在 [ , ] 上收敛，且有
2、以 f ( x) 的傅里叶系数为系数的三角级数表示式
1 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
称为函数 f ( x) 的傅里叶级数，表示为
1 f ( x) ~ a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
3、设 f ( x) 是以 2l 为周期的函数，且在 [ l , l ] 上可积，则以
得
1 jnt jnt sin(nt ) (e e ) 2j cos(nt ) 1 (e jnt e jnt ) 2
x(t ) a0 [an cos(n0t ) bn sin(n0t )]
n 1
a0 [an
周 期 函 数 傅 里 叶 级 数
偶 函 数
f ( x) ~
1 a0 an cos nx 2 n 1
f ( x) ~
1 n a0 an cos x 2 l n 1
2 an 0 f ( x) cos nxdx bn 0
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
f ( x) ~
1 n n a0 (an cos x bn sin x) 2 l l n 1
1 an f ( x) cos nxdx (n 0,1, 2 ) b 1 f ( x) sin nxdx (n 1, 2 ) n
f ( x), x是的连续点 f ( x) 1 1 f ( x) ~ a0 (an cos nx bn sin nx) [ f ( x0 0) f ( x0 0)], x0是的第一类间断点 f ( x) 2 n 1 2 1 [ f ( 0) f ( 0)], x 2
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
f ( x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令
f ( x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，令
f ( x) F ( x) f ( x)
0 x x 0
f ( x) F ( x) f ( x)
n 1
f ( x) ~ bn sin
n 1
n x l
an 0 2 b f ( x) sin nxdx n 0
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
an 0 2 l n b f ( x) sin xdx n 0 l l
其中 f ( x0 0) lim f ( x) ， f ( x0 0) lim f ( x)
x x0 x x0
周期与非周期函数傅里叶级数 以 2 为周期的函数 f ( x) 以 2l 为周期的函数 f ( x)
一 般 函 数
f ( x) ~
1 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
式中 0
2 ：基波频率 T
n0 ：n次谐波频率 a0 ：信号的直流分量 an ：余弦分量的振幅 bn ：正弦分量的分量
注：这种类型与前表中一般函数以 2l 为周期的函数情况一致，不同之处在于此式为等式， 将l
T 带入原式得到（1）式 2
3、复数形式的傅里叶级数 由公式
1 jt jt sin(t ) (e e ) 2j cos(t ) 1 (e jt e jt ) 2
1 T cm cn 2T x(t )e jm0t dt T 2
（5）
（5）式是计算复数形式的傅里叶级数系数公式。 6、上述傅里叶展开是一个周期信号 x(t ) 在 [
T T , ] 区间内的展开，实际任意一个周期 2 2
[t0 , t0 T ] 上可以把 x(t ) 展开成傅里叶级数形式
(n 0, 1, 2 ) 展为三角形式傅里
a0 [an cos(n0t ) bn sin(n0t )]
n 1
（1）
1 2 a0 x(t )dt T 2 2 an 2 x(t ) cos(n0t )dt T 2 2 bn 2 x(t ) sin(n0t )dt T 2
f ( x) F ( x) f ( x)
0 xl l x 0
则 F ( x) 除 x 0 外在 [ , ] 上为偶函数
则 F ( x) 除 x 0 外在 [ l , l ] 上为偶函数
f ( x) ~
1 a0 an cos nx 2 n 1
jn0t
，并从
T
T T 到 积分 2 2
（4）
正交函数系 e
jn0t
T 2 T 2
x(t )e jm0t dt 2T cn e jn0t e jm0t dt cn 2T e j ( n m )0t dt
2 2
T
n 1
1 jn0t 1 jn0t jn0t (e e jn0t ) bn (e e )] 2 2j
（2）
a0 [(
n 1
an bn jn0t an bn jn0t )e ( )e ] 2 2j 2 2j an bn j jn0t an bn j jn0t )e ( )e ] 2 2 j 2 2 2 j 2
浅谈地震频谱分析
在地震勘探中经常要对单道地震数据进行频谱分析，目的是为了将复杂地震波曲线时 域显示转换为频域显示的一种过程。比较简单的一种理解是：复杂地震波可以分解成为许 多许多不同振幅、频率和初相位角的正弦波之和，将其中的两项作为自变量和因变量画在 一个直角坐标系中，由振幅和频率组成的为振幅谱，由初相位和频率组成的为相位谱。下 面详细介绍频谱分析公式推导过程。 频谱分析是建立在傅里叶变换的基础上进行的，先简单介绍傅里叶级数，对傅里叶级 数的由来可以由高等数学知识获得。
三 傅里叶分析与信号频谱
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
an 0 2 l n bn f ( x) sin xdx l 0 l
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
1、很多情况下，频域比时域有更强的物理意义：如光线的颜色由频率决定，声音音调的高 低由频率决定。 2、在地震系统中，周期为T的信号 x(t ) x( x nT ) 叶级数为：
1 l n an f ( x) cos xdx (n 0,1, 2 ) l l l b 1 l f ( x) sin n xdx (n 1, 2 ) n l l l
为系数的三角级数
1 n n a0 (an cos x bn sin x) 2 l l n 1
以 2 为周期，且 f ( x) f ( x)
1 l n an f ( x) cos xdx (n 0,1, 2 ) l l l b 1 l f ( x) sin n xdx (n 1, 2 ) n l l l
以 2l 为周期，且 f ( x) f ( x)
0 xl l x 0
则 F ( x) 除 x 0 外在 [ , ] 上为奇函数
则 F ( x) 除 x 0 外在 [ l , l ] 上为奇函数
f ( x) ~ bn sin nx
n 1
f ( x) ~ bn sin
n 1
n x l
an 0 2 bn f ( x) sin nxdx 0
一 傅里叶级数
1、设 f ( x) 是以 2 为周期的函数，且在 [ , ] 或 [0, 2 ] 上可积，则 f ( x) 的傅里叶系数 为：
1 1 2 a f ( x ) cos nxdx f ( x) cos nxdx (n 0,1, 2 ) n 0 b 1 f ( x) sin nxdx 1 2 f ( x) sin nxdx (n 1, 2 ) n 0
a0 [(
n 1
a0 [
n 1
an bn j jn0t an bn j jn0t e e ] 2 2
用新系数表示
c0 a0 1 cn (an jbn ) 2 1 c n (an jbn ) 2
f ( x) ~
1 n a0 an cos x 2 l n 1
2 an 0 f ( x) cos nxdx bn 0
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
2 l n xdx an 0 f ( x) cos l l bn 0
x(t )
n
ce
n
jn0t
t [t0 , t0 T ]
式中： 0
2 1 t0 T x(t )e jn0t dt ， cn t 0 T T
四 离散频谱
1、三角形式傅里叶级数展开式（1）中，因为
sin(n0t ) cos(n0t ) 2 cos(n0t ) sin(n0t ) 2
(n 0, 1, 2 ) 对不同的n和m有
所以，只有当n=m时，
T 2 T 2
e jn0t (e jm0t ) dt 0
T 2 T 2
e j ( n m )0t dt T ，则（4）式变为
T 2 T 2
所以
x(t )e jm0t dt cn T
(n 0,1, 2 ) (n Hale Waihona Puke Baidu 1, 2 )
f ( x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令
f ( x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，令
f ( x) F ( x) f ( x)
偶 延 拓 非 周 期 函 数 傅 里 叶 级 数 奇 延 拓
0 x x 0
2 l n xdx an 0 f ( x) cos l l bn 0
(n 0,1, 2 ) (n 1, 2 )
以 2 为周期，且 f ( x) f ( x)
以 2l 为周期，且 f ( x) f ( x)
奇 函 数
f ( x) ~ bn sin nx