3 单相液体渗流数学模型
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第三章 单相液体渗流数学模型
1
单相流：只有一种流体的流动。
“油气层渗流数学模型”就是用数学语言综合描
述油气层渗流过程中全部力学现象和物理化学现象
的内在联系和运动规律的方程式（或方程组）。
一个完整的油气层渗流数学模型包括两部分： 一部分是描述油气渗流的综合微分方程，另一部分
是其相应的定解条件（包括初始条件和边界条件）。
( v x ) dx x 2
dx
• dt时间经M点（ a b ）流入的质量流量：
( v x
( v x ) dx x 2
)dydzdt
32
(v x
( v x ) dx x 2
) dydzdt
(v x
( v x ) dx x 2
) dydzdt
拉普拉斯方程
p0
2
单相不可压缩液体在均质地层 中稳定渗流的数学模型
42
p
2
p
2
x
2
p
2
y
2
p
2
z
2
0
( p ) 0
div ( v ) 0 等价于 v 0
2
Laplace算子
43
p
2
x
2
p
2
y
2
C 1 d
p
dp
p0
C dp
0
0
d
ln
C ( p p0 )
C ( p p0 )
0e
19
将
e
C ( p p0 )
展开成麦可劳林级数，只取前两项：
0e
C ( p p0 )
0 [1 C ( p p0 )]
26
连续性方程的表现形式：
描述运动要素（速度、密度、饱和度、
浓度）随时间和坐标的变化关系，在稳定渗
流时则是描述这些要素和坐标之间的变化。
27
渗流过程常见的连续性方程
单相流体渗流的连续性方程
多相流体渗流的连续性方程
带传质扩散过程的连续性方程
建立连续性方程的方法
微分法 积分法
28
7、给出初始条件，边界条件
13
第二节 渗流数学模型的微分方程
14
一、运动方程
服从达西定律： v
K
p
K p
K
gradp
vx vy vz
x
K p
y
K p
z
15
服从非达西定律：
dp dL
dp dL
(
K
n
v v )
2
vC
1 2
n 1
16
二、 状态方程
描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式
称为状态方程。 1、液体的状态方程
定义
C
1 dV V L dp
L
17
设：液体的质量为M
M V L
dV
L
V
p
C 1 dVL VL dp
M
2
d
C
1 d
dp
18
分离变量，C取为常数，积分：
47
当遇到这类边界条件时，流动域无论何时都是相
邻连续液体的一部分。特殊情况：界面上的压力
为常数，即：p=常数（定压边界）。
在偏微分方程理论中，这类边界 条件问题称为“第一类边值问 题”，又称狄里赫利（Derichlet） 问题。
48
2、给出流动速度的边界条件
（给出流量或流速的边界条件）
给出边界上的流速
2
第一节 渗流数学模型的建立原则
第二节 渗流数学模型的微分方程 第三节 渗流数学模型的定解条件
3
第一节 渗流数学模型的建立原则
4
一、建立数学模型的基础
油气渗流力学的研究方法：是把一定地质条件下油气 渗流的力学问题转换为数学问题，对数学问题利用合适的 方法求解后，运用到油气田开发的实际生产中。
将渗流过程中的各种力学、物理、化学现象和规律，
8
三、建立渗流数学模型的步骤
1、确定建立模型的目的和要求 明确数学模型解决什么问题。 数学模型解决的问题有四类： （1）压力分布，p=f(x,y,z,t)
（2）渗流速度分布，v=f(x,y,z,t)
（3）饱和度分布，S=f(x,y,z,t)
（4）界面移动规律，分界面~t
9
2、研究各物理量的条件和情况 （1）过程状况：等温？非等温？ （2）系统状况：油藏？气藏？单组分？多组分？
1. 用微分法建立连续性方程
z
y x
M
在地层中取微小六面体单元
29
在 dt 时间内，小单元体中
z
y x
M
流体质量的变化M等于在同一
时间内流入小单元体中的流体
质量M1与流出小单元体的流体
质量M2之差。
M M1 M 2
30
• M点的流速：vx 质量流速：vx • M点的质量流速：
b
运动方程
K v gradp
40
连续性方程
div ( v ) 0
由上述两个方程得：
di (
K
gradp ) 0
41
因K/μ=常数，则：
x x ( p )
2
y y
2
(
p
)
z z
(
p
)0
p
2
x
2
p y
2
p z
2
0
导压系数：单位距离内压力波传播的地层面积 。
24
三、质量守恒(连续性)方程
质量守恒定律（连续性原理）：在
地层中任取一个微小的单元体，在 单元体内若没有源和汇存在，那么 包含在单元体封闭表面内的流体质 量变化应等于同一时间间隔内流体
z
x
y
M M1 M 2
流入和流出质量之差。
25
在渗流数学模型中，用它来描述渗流过 程各种力学规律和物理化学规律之间的内在 联系，通过把运动方程、状态方程和其它方 程在质量守恒定律上联系起来，成为一个描 述渗流过程全部力学过程的微分方程组。
去，而成为驱动流体的弹性能量。
23
0 [1 C ( p p0 )]
式中：p0—大气压力；
φ0—大气压力下岩石的孔隙度； φ—任一压力p时岩石的孔隙度。
c o ~ c w ~ c n 10
4
MPa
1
c o c w c
3、气体的状态方程：
PV z nRT
式中： p0—大气压力；
ρ0—大气压力p0下流体的密度；
ρ—任一压力p时流体的密度。
20
2、岩石的状态方程
pi
p
压力变化会引起孔隙大小发生变化 孔隙大小变化引起渗透率的变化
21
定义
C
1 dV V dp
∵
dV V
d (V / V b ) (V / V b )
35
经过六面体流入与流出的质量不同，是因在六面体岩石和液体 弹性能量的作用下，释放或储存一部分质量的结果（岩石的弹 性表现为孔隙度的变化，液体的弹性表现为液体密度的变化）。 六面体内的质量变化应为： 六面体内的孔隙体积：
dxdydz
Baidu Nhomakorabea
六面体内的流体质量： dxdydz 单位时间内流体质量变化率：
( ) t
t
dxdydz
dt时间流体质量的总变化率： ( ) dxdydzdt
36
dt时间内六面体总质量变化：等于在dt时间内流入与流出的质量差： 流入流出质 量差
(v x ) (v y ) (v z ) dxdydzdt y z x ( ) t
( ) t
散度
di ( v ) 0
vx v y vz div(v) x y z
38
( ) t
则连续性方程为：
di ( v ) 0
如果不可压缩流体（ρ=常数）在刚性介质中流动（ =常数），
di ( v ) 0
六面体内 质量变化
dxdydz dt
(v x ) (v y ) (v z ) ( ) y z t x
单相均质可压缩流体在弹性介质中渗流的质量守恒方程 （连续性方程）
37
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( ) y z t x
b M
M
a
x
dx
M a
M
M M dz
v x
( v x ) dx x 2
dy
dx
• dt时间经M点（ a b ）流入的质量流量：
(v x ( v x ) dx x 2
31
) dydzdt
• M点的质量流速：
b M a
b
M
x M a
v x
d
C
1 d
dp
22
分离变量积分：
C 1 d
p
p0
C dp
0
d
dp
0 e
C ( p p0 )
0 [1 C ( p p 0 )]
弹性介质的状态方程
描述了孔隙介质在符合弹性状态变化范围内，孔隙度的变化 规律。当压力降低时，孔隙缩小，将孔隙中部分流体排挤出
用数学语言进行描述，实际上就是用微分方程或微分方程
组对这些现象和规律加以表达。由于渗流的形态和类型不
同，它们遵循的力学规律有差异，伴随渗流过程出现的物 理化学现象也不同，因此油气渗流数学模型的类型很多。
5
一、建立数学模型的基础
1. 地质基础
孔隙结构：与数学模型相对应 边界条件：几何形状、边界性质、参数分布、
物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的质量
与流出的质量相等，它仍然是一个质量守恒方程式——稳定渗
流的连续性方程。
39
四、典型渗流数学模型的微分方程
1、单相不可压缩液体稳定渗流微分方程 （推导）
假设单相液体在均质介质中的渗流为满足线性渗流规律的 等温稳定渗流过程，不考虑多孔介质及流体的压缩性。
v
f ( x, y, z, t )
g ( x, y, z, t)
n
p n
49
流动：沿着这类边界上各点的法线方向。
稳定流动：用位置函数来描述边界上所有点的流动。
不稳定流动：用位置及时间函数来边界上所有点的流动。
给出流动速度边界条件可以通过压力p的导数来表示。
在偏微分方程理论中，这类边界条
六面体在dt时间内x方向流入流出的质量流量差：
( v x ) x
dxdydzdt
33
同理，在dt时间内y、z方向流入流出的质量流量差分别为：
(v y ) y
(v z ) z
dydxdzdt
dzdxdydt
34
在dt时间内六面体内流入与流出的总质量流量差为：
(v x ) (v y ) (v z ) dxdydzdt y z x
11
4、写出数学模型综合微分方程组
连续性方程作为综合方程，其它方程代入连续性方 程，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程。
5、量纲分析
量纲分析可以检验所建数学模型是否正确。检查
所建数学模型量纲是否一致，是否是齐次的。
12
6、确定数学模型的适定性
数学模型建立后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？
（3）相态状况：单相？多相？混相？
（4）流态状况：线性渗流？非线性渗流？非牛顿
渗流？物理化学渗流？
10
3、确定未知量和其它物理量之间关系
（1）渗流速度与压力梯度：写出运动方程
（2）物性参数与压力：写出状态方程
（3）渗流速度或饱和度与时间：写出连续性方程
（4）其它物理化学作用的函数关系：能量转换
方程、扩散方程
的规定条件。即初始条件是对时间而规定
的条件，这类问题称为“初始值问题”。 如开始状况的压力分布、饱和度分布等。
46
一、渗流数学模型的三种边界条件
1、给出压力的边界条件（给出势函数的边界条件）
所研究渗流问题在边界所有点的压力（直接给出边界上的
压力或势值 ）
p
f ( x, y, z, t )
初始条件：原始状况
2. 实验基础 利用渗流物理基础实验认识力学现象和规律，是建 立数学模型的关键。
6
3. 科学的数学方法 • 微分法
无穷小微元体上：分析力学现象，物理量之间内在 联系，建立微分方程（数学模型）。数学模型建立
后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？
7
二、渗流数学模型的结构
渗流数学模型要综合反映渗流过程中，各种现 象（力学、物理学、化学及相互作用）的内在联系。 运动方程（必须） 状态方程（弹性） 质量守恒方程（连续性方程）（必须） 能量守恒方程（非等温） 附加方程（如：扩散方程） 初始条件和边界条件（必须）
p
2
z
2
0
适用条件： 单相均质液体
线性运动规律
不考虑多孔介质及流体的压缩性
稳定渗流
渗流过程等温
44
第三节 渗流数学模型的定解条件
45
定解条件：边界条件和初始条件
边界条件：在研究区域上，对物理过程空间位置状况 的规定条件。这类问题称为“边值问题”。 初始条件：在研究区域上，对物理过程开始瞬间状况
1
单相流：只有一种流体的流动。
“油气层渗流数学模型”就是用数学语言综合描
述油气层渗流过程中全部力学现象和物理化学现象
的内在联系和运动规律的方程式（或方程组）。
一个完整的油气层渗流数学模型包括两部分： 一部分是描述油气渗流的综合微分方程，另一部分
是其相应的定解条件（包括初始条件和边界条件）。
( v x ) dx x 2
dx
• dt时间经M点（ a b ）流入的质量流量：
( v x
( v x ) dx x 2
)dydzdt
32
(v x
( v x ) dx x 2
) dydzdt
(v x
( v x ) dx x 2
) dydzdt
拉普拉斯方程
p0
2
单相不可压缩液体在均质地层 中稳定渗流的数学模型
42
p
2
p
2
x
2
p
2
y
2
p
2
z
2
0
( p ) 0
div ( v ) 0 等价于 v 0
2
Laplace算子
43
p
2
x
2
p
2
y
2
C 1 d
p
dp
p0
C dp
0
0
d
ln
C ( p p0 )
C ( p p0 )
0e
19
将
e
C ( p p0 )
展开成麦可劳林级数，只取前两项：
0e
C ( p p0 )
0 [1 C ( p p0 )]
26
连续性方程的表现形式：
描述运动要素（速度、密度、饱和度、
浓度）随时间和坐标的变化关系，在稳定渗
流时则是描述这些要素和坐标之间的变化。
27
渗流过程常见的连续性方程
单相流体渗流的连续性方程
多相流体渗流的连续性方程
带传质扩散过程的连续性方程
建立连续性方程的方法
微分法 积分法
28
7、给出初始条件，边界条件
13
第二节 渗流数学模型的微分方程
14
一、运动方程
服从达西定律： v
K
p
K p
K
gradp
vx vy vz
x
K p
y
K p
z
15
服从非达西定律：
dp dL
dp dL
(
K
n
v v )
2
vC
1 2
n 1
16
二、 状态方程
描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式
称为状态方程。 1、液体的状态方程
定义
C
1 dV V L dp
L
17
设：液体的质量为M
M V L
dV
L
V
p
C 1 dVL VL dp
M
2
d
C
1 d
dp
18
分离变量，C取为常数，积分：
47
当遇到这类边界条件时，流动域无论何时都是相
邻连续液体的一部分。特殊情况：界面上的压力
为常数，即：p=常数（定压边界）。
在偏微分方程理论中，这类边界 条件问题称为“第一类边值问 题”，又称狄里赫利（Derichlet） 问题。
48
2、给出流动速度的边界条件
（给出流量或流速的边界条件）
给出边界上的流速
2
第一节 渗流数学模型的建立原则
第二节 渗流数学模型的微分方程 第三节 渗流数学模型的定解条件
3
第一节 渗流数学模型的建立原则
4
一、建立数学模型的基础
油气渗流力学的研究方法：是把一定地质条件下油气 渗流的力学问题转换为数学问题，对数学问题利用合适的 方法求解后，运用到油气田开发的实际生产中。
将渗流过程中的各种力学、物理、化学现象和规律，
8
三、建立渗流数学模型的步骤
1、确定建立模型的目的和要求 明确数学模型解决什么问题。 数学模型解决的问题有四类： （1）压力分布，p=f(x,y,z,t)
（2）渗流速度分布，v=f(x,y,z,t)
（3）饱和度分布，S=f(x,y,z,t)
（4）界面移动规律，分界面~t
9
2、研究各物理量的条件和情况 （1）过程状况：等温？非等温？ （2）系统状况：油藏？气藏？单组分？多组分？
1. 用微分法建立连续性方程
z
y x
M
在地层中取微小六面体单元
29
在 dt 时间内，小单元体中
z
y x
M
流体质量的变化M等于在同一
时间内流入小单元体中的流体
质量M1与流出小单元体的流体
质量M2之差。
M M1 M 2
30
• M点的流速：vx 质量流速：vx • M点的质量流速：
b
运动方程
K v gradp
40
连续性方程
div ( v ) 0
由上述两个方程得：
di (
K
gradp ) 0
41
因K/μ=常数，则：
x x ( p )
2
y y
2
(
p
)
z z
(
p
)0
p
2
x
2
p y
2
p z
2
0
导压系数：单位距离内压力波传播的地层面积 。
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三、质量守恒(连续性)方程
质量守恒定律（连续性原理）：在
地层中任取一个微小的单元体，在 单元体内若没有源和汇存在，那么 包含在单元体封闭表面内的流体质 量变化应等于同一时间间隔内流体
z
x
y
M M1 M 2
流入和流出质量之差。
25
在渗流数学模型中，用它来描述渗流过 程各种力学规律和物理化学规律之间的内在 联系，通过把运动方程、状态方程和其它方 程在质量守恒定律上联系起来，成为一个描 述渗流过程全部力学过程的微分方程组。
去，而成为驱动流体的弹性能量。
23
0 [1 C ( p p0 )]
式中：p0—大气压力；
φ0—大气压力下岩石的孔隙度； φ—任一压力p时岩石的孔隙度。
c o ~ c w ~ c n 10
4
MPa
1
c o c w c
3、气体的状态方程：
PV z nRT
式中： p0—大气压力；
ρ0—大气压力p0下流体的密度；
ρ—任一压力p时流体的密度。
20
2、岩石的状态方程
pi
p
压力变化会引起孔隙大小发生变化 孔隙大小变化引起渗透率的变化
21
定义
C
1 dV V dp
∵
dV V
d (V / V b ) (V / V b )
35
经过六面体流入与流出的质量不同，是因在六面体岩石和液体 弹性能量的作用下，释放或储存一部分质量的结果（岩石的弹 性表现为孔隙度的变化，液体的弹性表现为液体密度的变化）。 六面体内的质量变化应为： 六面体内的孔隙体积：
dxdydz
Baidu Nhomakorabea
六面体内的流体质量： dxdydz 单位时间内流体质量变化率：
( ) t
t
dxdydz
dt时间流体质量的总变化率： ( ) dxdydzdt
36
dt时间内六面体总质量变化：等于在dt时间内流入与流出的质量差： 流入流出质 量差
(v x ) (v y ) (v z ) dxdydzdt y z x ( ) t
( ) t
散度
di ( v ) 0
vx v y vz div(v) x y z
38
( ) t
则连续性方程为：
di ( v ) 0
如果不可压缩流体（ρ=常数）在刚性介质中流动（ =常数），
di ( v ) 0
六面体内 质量变化
dxdydz dt
(v x ) (v y ) (v z ) ( ) y z t x
单相均质可压缩流体在弹性介质中渗流的质量守恒方程 （连续性方程）
37
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( ) y z t x
b M
M
a
x
dx
M a
M
M M dz
v x
( v x ) dx x 2
dy
dx
• dt时间经M点（ a b ）流入的质量流量：
(v x ( v x ) dx x 2
31
) dydzdt
• M点的质量流速：
b M a
b
M
x M a
v x
d
C
1 d
dp
22
分离变量积分：
C 1 d
p
p0
C dp
0
d
dp
0 e
C ( p p0 )
0 [1 C ( p p 0 )]
弹性介质的状态方程
描述了孔隙介质在符合弹性状态变化范围内，孔隙度的变化 规律。当压力降低时，孔隙缩小，将孔隙中部分流体排挤出
用数学语言进行描述，实际上就是用微分方程或微分方程
组对这些现象和规律加以表达。由于渗流的形态和类型不
同，它们遵循的力学规律有差异，伴随渗流过程出现的物 理化学现象也不同，因此油气渗流数学模型的类型很多。
5
一、建立数学模型的基础
1. 地质基础
孔隙结构：与数学模型相对应 边界条件：几何形状、边界性质、参数分布、
物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的质量
与流出的质量相等，它仍然是一个质量守恒方程式——稳定渗
流的连续性方程。
39
四、典型渗流数学模型的微分方程
1、单相不可压缩液体稳定渗流微分方程 （推导）
假设单相液体在均质介质中的渗流为满足线性渗流规律的 等温稳定渗流过程，不考虑多孔介质及流体的压缩性。
v
f ( x, y, z, t )
g ( x, y, z, t)
n
p n
49
流动：沿着这类边界上各点的法线方向。
稳定流动：用位置函数来描述边界上所有点的流动。
不稳定流动：用位置及时间函数来边界上所有点的流动。
给出流动速度边界条件可以通过压力p的导数来表示。
在偏微分方程理论中，这类边界条
六面体在dt时间内x方向流入流出的质量流量差：
( v x ) x
dxdydzdt
33
同理，在dt时间内y、z方向流入流出的质量流量差分别为：
(v y ) y
(v z ) z
dydxdzdt
dzdxdydt
34
在dt时间内六面体内流入与流出的总质量流量差为：
(v x ) (v y ) (v z ) dxdydzdt y z x
11
4、写出数学模型综合微分方程组
连续性方程作为综合方程，其它方程代入连续性方 程，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程。
5、量纲分析
量纲分析可以检验所建数学模型是否正确。检查
所建数学模型量纲是否一致，是否是齐次的。
12
6、确定数学模型的适定性
数学模型建立后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？
（3）相态状况：单相？多相？混相？
（4）流态状况：线性渗流？非线性渗流？非牛顿
渗流？物理化学渗流？
10
3、确定未知量和其它物理量之间关系
（1）渗流速度与压力梯度：写出运动方程
（2）物性参数与压力：写出状态方程
（3）渗流速度或饱和度与时间：写出连续性方程
（4）其它物理化学作用的函数关系：能量转换
方程、扩散方程
的规定条件。即初始条件是对时间而规定
的条件，这类问题称为“初始值问题”。 如开始状况的压力分布、饱和度分布等。
46
一、渗流数学模型的三种边界条件
1、给出压力的边界条件（给出势函数的边界条件）
所研究渗流问题在边界所有点的压力（直接给出边界上的
压力或势值 ）
p
f ( x, y, z, t )
初始条件：原始状况
2. 实验基础 利用渗流物理基础实验认识力学现象和规律，是建 立数学模型的关键。
6
3. 科学的数学方法 • 微分法
无穷小微元体上：分析力学现象，物理量之间内在 联系，建立微分方程（数学模型）。数学模型建立
后，用数学理论论证是否有解？连续？唯一？
7
二、渗流数学模型的结构
渗流数学模型要综合反映渗流过程中，各种现 象（力学、物理学、化学及相互作用）的内在联系。 运动方程（必须） 状态方程（弹性） 质量守恒方程（连续性方程）（必须） 能量守恒方程（非等温） 附加方程（如：扩散方程） 初始条件和边界条件（必须）
p
2
z
2
0
适用条件： 单相均质液体
线性运动规律
不考虑多孔介质及流体的压缩性
稳定渗流
渗流过程等温
44
第三节 渗流数学模型的定解条件
45
定解条件：边界条件和初始条件
边界条件：在研究区域上，对物理过程空间位置状况 的规定条件。这类问题称为“边值问题”。 初始条件：在研究区域上，对物理过程开始瞬间状况