2016年第七届启智杯参考答案与评分标准(A1组)
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3 2 2 如 1 4 8 10......
请按例子的形式写出得到 26 的所有可能的计算过程，说明你的思考方法。 【参考答案】 此题解题途径多，逆向思考，交替地做减法或除法，可以倒推到 1，顺向写出即可得到正确 结果。如下答案供参考。
3 2 2 2 2 2
2016 999 888 77 44 5 3; 2016 999 888 77 44 6 2; 2016 999 888 66 55 7 1.
【考察方向】观察、估算、分类、分拆。 【评分标准】写出一种给 4 分；写出两种给 7 分；写出三种给 10 分. 9、 （10 分）有一种算法程序：从 1 开始交替地做加法和乘法，第一次可以做加法也可以做 乘法，每次做加法都将上次结果加上 2 或者 3；每次做乘法都将上次结果乘以 2 或者 3；例
12. （10 分）小明手中拿着一些不同点数的扑克牌（不含大王、小王，A=1，J=11，Q=12， K=13） 。他先从这些扑克牌中抽若干张，把抽到的扑克牌点数相加，所得和记为 A；再从剩 余的扑克牌中抽若干张， 把抽到的扑克牌点数相加， 所得和记为 B。 他发现， 无论怎样抽取， A 和 B 都不相等。请问： （1） 如果小明手中只有 4 张牌， 那么这 4 张牌的点数之和最小是多少？分别写出它们的点 数。 （2） 要使小明手中的扑克牌的点数之和达到最大值， 应该是哪些点来自百度文库的牌？分别列出它们 的点数并指出和的最大值。 【参考答案】 ： （1）要使小明手中的 4 张扑克牌的点数之和最小，那么，尽量从小牌取起，从 1 开始， 依次往大牌取，确保条件满足，它们是 1、2、4、8，其和最小 1+2+4+8=15. （2）要使小明手中的扑克牌的点数之和最大，那么，尽量从大牌取起，从 K（=13）开始， 依次往小牌取，确保条件满足，它们是 13、12、11、9、6，其和最大 13+12+11+9+6=51 【评分标准】 （1）能写出满足条件的 4 个数，但不是最小值的给 2 分（如：1、3、5、10） ；写出正确答 案给 4 分。 （2）能写出满足条件的较大的 5 个数，但不是最大值的给 2 分；写出正确答案给 6 分。 【考察方向】极端思想，实验、归纳方法。
【参考答案】2016 由第一步：好×好，个位数还是“好” ，说明“好”=1 或 5 或 6； 由第二步：杯×好，个位数还是好，而且“杯”和“好”不是同一个数字，说明“杯” = 1，从而“好”只能等于 5 或 6； 由第三步： “智×启智杯好”= 0，说明“智”= 0； “启×启智杯好”为四位数，说明启 ×启< 10, “启”≤3， 但“启” 与不相等，故 “启”= 2 或 3； “启×好”的个位数为“启”， 当“启”=2 时， “好 ”= 6，当“启”=3 时，无解。 所以： “启智杯好”=2016. 【考察方向】观察、实验、数字运算规律、估算。 【评分标准】 只写出一种正确结论给 2 分；写出两种正确结论合计给 4 分。 未给出正确结论的步骤分如下： （1） 判断出好=1 或 5 或 6 给 2 分； （2） 判断出杯= 1，好=5 或 6，给 2 分； （3） 判断出智=0，给 1 分； （4） 判断出启 = 2 或 3，给 2 分 （5） 分类讨论确定最后结果给 3 分。 已给出正确结论（已给结论分）的步骤分按照上述得分总分减 4（不倒扣，最低步骤分 为 0） 11. （10 分） 在由 10 个 1 组成的加减法算式 1 1 1 1 1 1 1 1 1+1 2 中，同时改 变其中的 4 个运算符号（加号变为减号，减号变为加号）算一次操作。问：能否经过若干次 操作，使算式结果为 0？若能，请写出你的操作过程；若不能，请说明理由。 【参考答案】不能。
【评分标准】 不需要分析过程，全部正确满分；局部正确时，按每一个人的楼层与物品正确得 2 分计 算。 【考察方向】穷举法与排除法解决问题。 8. （10 分）请将 2016 写成 aaa bbb cc dd e f 的形式，其中 a, b, c, d , e, f 是 6 个 不同的数字，比如当 a 6 时， aaa 666, aa 66 。请给出所有不同的写法。 【参考答案】
方法 1： 1 3 5 10 12 24 26 方法 2： 1 2 5 10 13 26 方法 2： 1 2 5 10 12 24 26 方法 2： 1 2 5 10 13 26
6.（10 分）在矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四 边的中点，已知 AF、BG、CH、DE 围成的平行四边形 面积为 1，则矩形 ABCD 的面积为多少？说明你的推 理方法。
A E B L I
H K J F
D G C
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 2 / 6
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 4 / 6
2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2
2 3 3 2 2 方法 2： 1 3 9 12 24 26 2 2 2 3 2 方法 2： 1 3 6 8 24 26
【评分标准】 写全 6 个所有正确的计算过程，并说明用逆向思考方法解决问题的得 10 分； 写全 6 个所有正确的计算过程得，没有说明用逆向思考方法解决问题的得 9 分； 写出部分正确的计算过程的，每一个得 1.5 分，说明用逆向思考方法解决问题的加 1 分。 【考察方向】观察、实验方法，分类、逆推思想。 10. （10 分）在下面乘法算式中，汉字“启、智、杯、好”分别代表 一个不同的数字，每个空格代表一个数字．求“启智杯好”连在一起 代表什么数？说明你的关键步骤。
【参考答案】矩形 ABCD 的面积为 5 方法 1：作 AN 平行 ED 交 CH 延长线于 N，再作 DM 平行 KC 交 BG 延长线于 M，显然
SANH =SHKD , SJCG =SMDG SDAL =S
同理
ALKN
=S
IJKL ,
IJKL ，
SCDK =S
IJKL
JMDK
=S
【参考答案】 学生 楼层 物品 甲 一 裤子 乙 三 鞋 丙 二 书包 丁 四 水杯
推理过程 （1）甲去了 1 层、水杯在 4 层出售、乙购买了一双鞋、甲没有购买书包，说明水杯、鞋、
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 3 / 6
书包不在一层，所以甲在一层买了裤子。 （2）丙在 2 层购物，而裤子、水杯、鞋不在二层，所以丙在 2 层买了书包。 （3）水杯在 4 层，乙购买了一双鞋，所以乙在三楼购买了一双鞋。 （4）所以丁在 4 层买了水杯。 水杯 一 二 三 四 鞋 裤子 书包 甲 丙 乙 丁
ALD
=S
BJC
S
,
ABI
+S
CDK
2S =5S
IJKL
所以， S
ABCD
IJKL
【评分标准】写对答案得 6 分；正确作出辅助线，推理正确得 4 分。 【考察方向】对称、平移、等积变形。
7（10 分）甲乙丙丁 4 个同学一起去商场，他们每个人买了一样东西，分别是:一个水杯、 一双鞋、 一条裤子、 一个书包， 而这 4 件商品正好是在商场的 4 个不同的楼层中。 现在知道： 甲去了 1 层、水杯在 4 层出售、乙购买了一双鞋、丙在 2 层购物、甲没有购买书包。请你判 断他们各自在哪个楼层买了什么东西，把你的判断结果填写在下表中。 学生 楼层 物品 甲 乙 丙 丁
IJKL
SBJC =S
ABCD
SABI =S
IJKL
所以 S
=5S
方法 2：作 AN 平行 ED 交 CH 延长线与 N，再作 CM 平行 ED，DM 平行 AF 交与 M，显然
SANH =SHKD , SABI =SDCM
,
S
S S
ALKN
=S
IJKL
1 , S 2
IJKL
KCMD
所以，
【参考答案】
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 1 / 6
第三层 8, 第四层 11,其规律是上面方框中的数是下面方框相邻两个数之和。 【评分标准】填对数字得 8 分，说出规律得 2 分。 【注】其它填法，能够自圆其说地说明规律者，可以得分，直至满分。 【考察方向】归纳与演绎 4． （10 分）甲乙两家公司同时打出了招聘启事，启事中的内容基本一致，唯独有如下不同： 甲公司：年薪 10 万元，每经过一年提薪 1 次，每次 2 万元。 乙公司：半年薪 5 万元，每经过半年提薪一次，每次 0.5 万元。 如果不考虑其他的待遇和要求， 单纯从薪酬的角度考虑， 哪一家公司的待遇更好一些？或者 没有区别？ 【参考答案】 乙公司的待遇更好一些。因为： 第一年，某人在 A 公司可以得到 10 万元，而在 B 公司则是 5 万元+5.5 万元=10.5 万元。 第二年，某人在 A 公司可以得到 12 万元，而在 B 公司则是 6 万元+6.5 万元=12.5 万元。 第三年，某人在 A 公司可以得到 14 万元，而在 B 公司则是 7 万元+7.5 万元=14.5 万元。 …… 显然，在 B 公司每年都会比在 A 公司多收入 0.5 万元。 【评分标准】 回答正确得 5 分，分析过程正确得 5 分。 【考察方向】加减法在实际问题中的基本应用。 5.（10 分）如图：平面上有一个 4×5 的长正方形网格模型，共有 20 个结点(纵横线的交点)， 连接任意两个结点都可以得 到一条线段，那么从这 20 个结点中任意连接两个 结点，可以得到多少条长度等于 AB 的线段（包括 AB）？ 简要说明你的寻找方法。 【参考答案】 因为每一个“日”字型的六个节点中可以连两条长度等于 AB 的线段，考虑竖方向分有 8 个不同位置的“日”字型，横方向有 9 个不同位置的“日”字型所以，可以连成 2（8+9） =34 条长度为 AB 的线段 【评分标准】求出准确答案得 8 分，能说明合理的分类连接方法得 2 分； 【考察方向】几何图形中的观察、分类、归纳、演绎。
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组) 参考答案与评分标准 1. （10 分）
请在（ ）与□内分别填上所有可能的两位和一位数字使等式成立，列出你填写的等式。 【参考答案】
（ 19） 5 =3 （22） 6 =3 （25） 7 =3 （28） 8 =3 （31） 9 =3
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 5 / 6
原因是：每一次操作，对结果的影响有三种可能： （1） 增加或减少 8（四个减号变加号；或四个加号变减号） （2） 增加或减少 4（三个减变加，一个加变减；或三个加变减，一个减变加） （3） 结果不变（两加两减）。 总之，每一次操作结果的改变量为 4 的倍数，起始为 2，最后结果不会到 0. 【考察方向】实验、分类、归纳。 【评分标准】写出正确判断给 2 分；判断出三种不同影响各给 2 分，共 6 分；归结出最 终结果给 2 分。
【评分标准】共 10 分，每填对一个式子得 2 分。 【考察方向】逆向思维与分类方法
4 4 4 4 4
2. （10 分）在 1、2、3、…、19、20 这 20 个数中，选取 18 个数，使它们的和等于 198. （1） 总共有多少种不同的取法？ （2） 写出两种不同的取法。 （3） 所有这样的取法中，写出使这 18 个数乘积最小的取法。 写出你的答案，不必写出过程。 【参考答案】 （1）5 种。 （2）答案不唯一，使得剩下的两个数之和等于 12 即可；比如去掉 8、4 剩下的 18 个数；去 掉 10、2 剩下的 18 个数。 （3）去掉 5、7 剩下的 18 个数。 【评分标准】 第一问答对给 3 分；第二问每写出一组给 2 分，合计给 4 分；第三问写对给 3 分。 【考察方向】 （1）等差数列求和（拼补、化归） ； （2）逆向思维; （3）穷举法； （4）数的拆分； （5）极 值问题； （6）整体观念。 3. （A1 组，代数，10 分）请填入下图中缺少的数字,并说明你发现的规律.
请按例子的形式写出得到 26 的所有可能的计算过程，说明你的思考方法。 【参考答案】 此题解题途径多，逆向思考，交替地做减法或除法，可以倒推到 1，顺向写出即可得到正确 结果。如下答案供参考。
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2016 999 888 77 44 5 3; 2016 999 888 77 44 6 2; 2016 999 888 66 55 7 1.
【考察方向】观察、估算、分类、分拆。 【评分标准】写出一种给 4 分；写出两种给 7 分；写出三种给 10 分. 9、 （10 分）有一种算法程序：从 1 开始交替地做加法和乘法，第一次可以做加法也可以做 乘法，每次做加法都将上次结果加上 2 或者 3；每次做乘法都将上次结果乘以 2 或者 3；例
12. （10 分）小明手中拿着一些不同点数的扑克牌（不含大王、小王，A=1，J=11，Q=12， K=13） 。他先从这些扑克牌中抽若干张，把抽到的扑克牌点数相加，所得和记为 A；再从剩 余的扑克牌中抽若干张， 把抽到的扑克牌点数相加， 所得和记为 B。 他发现， 无论怎样抽取， A 和 B 都不相等。请问： （1） 如果小明手中只有 4 张牌， 那么这 4 张牌的点数之和最小是多少？分别写出它们的点 数。 （2） 要使小明手中的扑克牌的点数之和达到最大值， 应该是哪些点来自百度文库的牌？分别列出它们 的点数并指出和的最大值。 【参考答案】 ： （1）要使小明手中的 4 张扑克牌的点数之和最小，那么，尽量从小牌取起，从 1 开始， 依次往大牌取，确保条件满足，它们是 1、2、4、8，其和最小 1+2+4+8=15. （2）要使小明手中的扑克牌的点数之和最大，那么，尽量从大牌取起，从 K（=13）开始， 依次往小牌取，确保条件满足，它们是 13、12、11、9、6，其和最大 13+12+11+9+6=51 【评分标准】 （1）能写出满足条件的 4 个数，但不是最小值的给 2 分（如：1、3、5、10） ；写出正确答 案给 4 分。 （2）能写出满足条件的较大的 5 个数，但不是最大值的给 2 分；写出正确答案给 6 分。 【考察方向】极端思想，实验、归纳方法。
【参考答案】2016 由第一步：好×好，个位数还是“好” ，说明“好”=1 或 5 或 6； 由第二步：杯×好，个位数还是好，而且“杯”和“好”不是同一个数字，说明“杯” = 1，从而“好”只能等于 5 或 6； 由第三步： “智×启智杯好”= 0，说明“智”= 0； “启×启智杯好”为四位数，说明启 ×启< 10, “启”≤3， 但“启” 与不相等，故 “启”= 2 或 3； “启×好”的个位数为“启”， 当“启”=2 时， “好 ”= 6，当“启”=3 时，无解。 所以： “启智杯好”=2016. 【考察方向】观察、实验、数字运算规律、估算。 【评分标准】 只写出一种正确结论给 2 分；写出两种正确结论合计给 4 分。 未给出正确结论的步骤分如下： （1） 判断出好=1 或 5 或 6 给 2 分； （2） 判断出杯= 1，好=5 或 6，给 2 分； （3） 判断出智=0，给 1 分； （4） 判断出启 = 2 或 3，给 2 分 （5） 分类讨论确定最后结果给 3 分。 已给出正确结论（已给结论分）的步骤分按照上述得分总分减 4（不倒扣，最低步骤分 为 0） 11. （10 分） 在由 10 个 1 组成的加减法算式 1 1 1 1 1 1 1 1 1+1 2 中，同时改 变其中的 4 个运算符号（加号变为减号，减号变为加号）算一次操作。问：能否经过若干次 操作，使算式结果为 0？若能，请写出你的操作过程；若不能，请说明理由。 【参考答案】不能。
【评分标准】 不需要分析过程，全部正确满分；局部正确时，按每一个人的楼层与物品正确得 2 分计 算。 【考察方向】穷举法与排除法解决问题。 8. （10 分）请将 2016 写成 aaa bbb cc dd e f 的形式，其中 a, b, c, d , e, f 是 6 个 不同的数字，比如当 a 6 时， aaa 666, aa 66 。请给出所有不同的写法。 【参考答案】
方法 1： 1 3 5 10 12 24 26 方法 2： 1 2 5 10 13 26 方法 2： 1 2 5 10 12 24 26 方法 2： 1 2 5 10 13 26
6.（10 分）在矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四 边的中点，已知 AF、BG、CH、DE 围成的平行四边形 面积为 1，则矩形 ABCD 的面积为多少？说明你的推 理方法。
A E B L I
H K J F
D G C
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 2 / 6
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 4 / 6
2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2
2 3 3 2 2 方法 2： 1 3 9 12 24 26 2 2 2 3 2 方法 2： 1 3 6 8 24 26
【评分标准】 写全 6 个所有正确的计算过程，并说明用逆向思考方法解决问题的得 10 分； 写全 6 个所有正确的计算过程得，没有说明用逆向思考方法解决问题的得 9 分； 写出部分正确的计算过程的，每一个得 1.5 分，说明用逆向思考方法解决问题的加 1 分。 【考察方向】观察、实验方法，分类、逆推思想。 10. （10 分）在下面乘法算式中，汉字“启、智、杯、好”分别代表 一个不同的数字，每个空格代表一个数字．求“启智杯好”连在一起 代表什么数？说明你的关键步骤。
【参考答案】矩形 ABCD 的面积为 5 方法 1：作 AN 平行 ED 交 CH 延长线于 N，再作 DM 平行 KC 交 BG 延长线于 M，显然
SANH =SHKD , SJCG =SMDG SDAL =S
同理
ALKN
=S
IJKL ,
IJKL ，
SCDK =S
IJKL
JMDK
=S
【参考答案】 学生 楼层 物品 甲 一 裤子 乙 三 鞋 丙 二 书包 丁 四 水杯
推理过程 （1）甲去了 1 层、水杯在 4 层出售、乙购买了一双鞋、甲没有购买书包，说明水杯、鞋、
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 3 / 6
书包不在一层，所以甲在一层买了裤子。 （2）丙在 2 层购物，而裤子、水杯、鞋不在二层，所以丙在 2 层买了书包。 （3）水杯在 4 层，乙购买了一双鞋，所以乙在三楼购买了一双鞋。 （4）所以丁在 4 层买了水杯。 水杯 一 二 三 四 鞋 裤子 书包 甲 丙 乙 丁
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2S =5S
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所以， S
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【评分标准】写对答案得 6 分；正确作出辅助线，推理正确得 4 分。 【考察方向】对称、平移、等积变形。
7（10 分）甲乙丙丁 4 个同学一起去商场，他们每个人买了一样东西，分别是:一个水杯、 一双鞋、 一条裤子、 一个书包， 而这 4 件商品正好是在商场的 4 个不同的楼层中。 现在知道： 甲去了 1 层、水杯在 4 层出售、乙购买了一双鞋、丙在 2 层购物、甲没有购买书包。请你判 断他们各自在哪个楼层买了什么东西，把你的判断结果填写在下表中。 学生 楼层 物品 甲 乙 丙 丁
IJKL
SBJC =S
ABCD
SABI =S
IJKL
所以 S
=5S
方法 2：作 AN 平行 ED 交 CH 延长线与 N，再作 CM 平行 ED，DM 平行 AF 交与 M，显然
SANH =SHKD , SABI =SDCM
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S
S S
ALKN
=S
IJKL
1 , S 2
IJKL
KCMD
所以，
【参考答案】
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 1 / 6
第三层 8, 第四层 11,其规律是上面方框中的数是下面方框相邻两个数之和。 【评分标准】填对数字得 8 分，说出规律得 2 分。 【注】其它填法，能够自圆其说地说明规律者，可以得分，直至满分。 【考察方向】归纳与演绎 4． （10 分）甲乙两家公司同时打出了招聘启事，启事中的内容基本一致，唯独有如下不同： 甲公司：年薪 10 万元，每经过一年提薪 1 次，每次 2 万元。 乙公司：半年薪 5 万元，每经过半年提薪一次，每次 0.5 万元。 如果不考虑其他的待遇和要求， 单纯从薪酬的角度考虑， 哪一家公司的待遇更好一些？或者 没有区别？ 【参考答案】 乙公司的待遇更好一些。因为： 第一年，某人在 A 公司可以得到 10 万元，而在 B 公司则是 5 万元+5.5 万元=10.5 万元。 第二年，某人在 A 公司可以得到 12 万元，而在 B 公司则是 6 万元+6.5 万元=12.5 万元。 第三年，某人在 A 公司可以得到 14 万元，而在 B 公司则是 7 万元+7.5 万元=14.5 万元。 …… 显然，在 B 公司每年都会比在 A 公司多收入 0.5 万元。 【评分标准】 回答正确得 5 分，分析过程正确得 5 分。 【考察方向】加减法在实际问题中的基本应用。 5.（10 分）如图：平面上有一个 4×5 的长正方形网格模型，共有 20 个结点(纵横线的交点)， 连接任意两个结点都可以得 到一条线段，那么从这 20 个结点中任意连接两个 结点，可以得到多少条长度等于 AB 的线段（包括 AB）？ 简要说明你的寻找方法。 【参考答案】 因为每一个“日”字型的六个节点中可以连两条长度等于 AB 的线段，考虑竖方向分有 8 个不同位置的“日”字型，横方向有 9 个不同位置的“日”字型所以，可以连成 2（8+9） =34 条长度为 AB 的线段 【评分标准】求出准确答案得 8 分，能说明合理的分类连接方法得 2 分； 【考察方向】几何图形中的观察、分类、归纳、演绎。
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组) 参考答案与评分标准 1. （10 分）
请在（ ）与□内分别填上所有可能的两位和一位数字使等式成立，列出你填写的等式。 【参考答案】
（ 19） 5 =3 （22） 6 =3 （25） 7 =3 （28） 8 =3 （31） 9 =3
第 7 届启智杯数学思维及应用能力竞赛(A1 组)参考答案与评分标准 5 / 6
原因是：每一次操作，对结果的影响有三种可能： （1） 增加或减少 8（四个减号变加号；或四个加号变减号） （2） 增加或减少 4（三个减变加，一个加变减；或三个加变减，一个减变加） （3） 结果不变（两加两减）。 总之，每一次操作结果的改变量为 4 的倍数，起始为 2，最后结果不会到 0. 【考察方向】实验、分类、归纳。 【评分标准】写出正确判断给 2 分；判断出三种不同影响各给 2 分，共 6 分；归结出最 终结果给 2 分。
【评分标准】共 10 分，每填对一个式子得 2 分。 【考察方向】逆向思维与分类方法
4 4 4 4 4
2. （10 分）在 1、2、3、…、19、20 这 20 个数中，选取 18 个数，使它们的和等于 198. （1） 总共有多少种不同的取法？ （2） 写出两种不同的取法。 （3） 所有这样的取法中，写出使这 18 个数乘积最小的取法。 写出你的答案，不必写出过程。 【参考答案】 （1）5 种。 （2）答案不唯一，使得剩下的两个数之和等于 12 即可；比如去掉 8、4 剩下的 18 个数；去 掉 10、2 剩下的 18 个数。 （3）去掉 5、7 剩下的 18 个数。 【评分标准】 第一问答对给 3 分；第二问每写出一组给 2 分，合计给 4 分；第三问写对给 3 分。 【考察方向】 （1）等差数列求和（拼补、化归） ； （2）逆向思维; （3）穷举法； （4）数的拆分； （5）极 值问题； （6）整体观念。 3. （A1 组，代数，10 分）请填入下图中缺少的数字,并说明你发现的规律.