[数学]蒙特卡罗积分方法

蒙特卡罗积分
Monte Carlo Integration
投点法(频率法)
一个具体的例子
投点法（频率法）所需采样量的估计
平均值法（期望法）
我们还是利用上面所说的那个具体例子， b 此时， I f ( x)dx 的平均值估计就是：

a
ˆ ˆ (b a) I
蒙特卡罗方法的提出

蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世 界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的 成员S.M.乌拉姆和J.冯· 诺伊曼首先提出。数 学家冯· 诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的 Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了 一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已 经存在。1777年，法国数学家浦丰提出用投针 实验的方法求圆周率∏。这被认为是蒙特卡罗 方法的起源。
蒙特卡罗方法的基本思想

当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或 者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实 验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一 随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某 些数字特征，并将其作为问题的解
蒙特卡罗方法的应用


蒙特卡罗方法在，金融工程学，宏观经济学， 生物医学，计算物理学等领域应用广泛 。 通常蒙特· 卡罗方法通过构造符合一定规则的 随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由 于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没 有解析解的问题，蒙特· 卡罗方法是一种有效 的求出数值解的方法。一般蒙特· 卡罗方法在 数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分。
Monte Carlo Method
1.蒙特卡罗方法 2.蒙特卡罗方法的提出 3.蒙特卡罗方法的基本思想 4.蒙特卡罗方法的应用 5.蒙特卡罗积分
蒙特卡罗方法

蒙特· 卡罗方法（Monte Carlo method），也 称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由 于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被 提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常 重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更 常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法， 与它对应的是确定性算Байду номын сангаас。
f ( )
i N
N
一个简单的例子
设有一个函数如下：
h( x) [cos(50x) sin(20x)]
2
对该函数在[0,1]上积分，下面利用蒙 特卡罗积分法估计其积分值。

根据上面所介绍的方法，我们可以令 f ( x ) 为 [0,1]上的均匀分布，则h ( x) h( x) ，故：
1 h ( ) i 0 h(x)dx
下面利用R软件来模拟计算积分值， 程序如下：




h=function(x){(cos(50*x)+sin(20*x))^2} par(mar=c(2,2,2,1),mfrow=c(2,1)) curve(h,xlab="Function",ylab="",lwd=2) integrate(h,0,1) x=h(runif(10^4)) estint=cumsum(x)/(1:10^4) esterr=sqrt(cumsum((x-estint)^2))/(1:10^4) plot(estint, xlab="Mean and error range",type="l",lwd= + 2,ylim=mean(x)+20*c(esterr[10^4],esterr[10^4]),ylab="") lines(estint+2*esterr,col="gold",lwd=2) lines(estint-2*esterr,col="gold",lwd=2)
减小方差的技术

以上就是对蒙特卡罗积分的介绍