高等数学第八章无穷级数习题解析

难题解析

8－1

4.(3)1

sin

6

n

n

m m S π

==∑ 112(21)(21)2sin 2sin sin cos cos 1212121212n n

n

m m m m m S ππ

πππ==-+⎡

⎤⋅==-⎢⎥⎣

⎦∑∑ (21)cos

cos

12

12

m π

π

+=-

11n S =5.(5)2lim 0n n u e

→∞=≠ 5.(6) 1lim 08n n u →∞

=≠ 6.(1) 12n p

n

n n n p S S u u u ++++-=+++

1111()12311111

()()1231p n n n n p p n n n n p n p ⎧----⎪++++⎪

≤⎨

⎪-----⎪++++-+⎩

为偶数为偶数

即对任何自然数p ，有1

1

n p

n

S S n +-<

+ 6.(2) 12n p

n

n n n p S S u u u ++++-=+++

1211112222n n n p n

+++≤

+++< 对任何自然数p 成立. 6.(3) 111111

cos cos cos

1122n p

n

S S n n n n n p n p +-=

+--++++++ 11111

cos cos 2122

p n n n p n p >⋅

+-->++++ 不妨取p n =，即2011

cos 24

n

n

n S S n n ε->

>=+ 6.(4) 1111

31323331

n u n n n n =+->++++ 12n p n n n n p S S u u u ++++-=+++

1113437331331

p

n n n p n p >

+++>

++++++ 不妨取p n =，即01

617

n

n p n S S n ε+->

>=+ 8－2(A)

1.(3)lim 1n n n

→∞→∞== 4.(5) 22332321()1lim lim()111n n n n n n n n →∞→∞+++==+ 4.(6)2cos 3022

n n n n n n a π<≤=,

112n n →∞==<

4.(8) 21

lim

11n n n n a a +→∞

→∞

==< 8－2(B)

1.(1) 13

lim

12

n n n a a +→∞

=>

1.(2) 1

19

n =<

1.(3) lim n n n b b

a a

→∞

==, 当b a >时，级数发散； b a <时，级数收敛； b a =时，不能确定.

1.(5)当1a >时，11()1n

n

n u a a =

<+，级数收敛； 1a =时，1

lim 02

n n u →∞=≠，级数发散； 01a <<时，lim 10n n u →∞

=≠，级数发散.

1.(6) lim 1

n n na

a n →∞

==+ 当1a >时，级数发散

01a <<时，级数收敛；

1a =时，11

lim 011n

n n u e n →∞⎛⎫ ⎪==≠ ⎪ ⎪

+⎝

⎭，级数发散. 1.(7) 1lim

lim 1(1)n n n n n u a a

u e

n

+→∞

→∞==+ 当a e >时，级数发散

0a e <<时，级数收敛；

a e =

时，因为数列1(1)n n ⎧⎫

+⎨⎬⎩⎭单调上升，所以1(1)n e n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪

+⎩

⎭单调下降， 即1n n u u +>，级数发散. 1.(8)

2211

0()(23)q q

n n n

=++ 当1

2

q >时，级数收敛，12

q ≤时，级数发散。 1.(9)2

1cos 2sin 2n

n

ππ

-=

1.(10) 11ln 11lim

lim lim 111x x

x

n n n x x u x e n n x x

→∞

→∞→∞→∞--====∞ 2.(1)级数1

!

n n n n ∞

=∑

收敛，所以!lim lim 0n n n n n u n →∞→∞== 2.(2) 级数03!2

n

n n n ∞

=∑收敛，

2.(3) 级数0!

n

n a n ∞

=∑收敛

3. 1211

1111

()n n n n n n n u a b a b a a b b a b nb

----=

=<--+++-