高中数学知识点--坐标系平移

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§8-4 坐标系平移
★★在直角坐标系中平移坐标轴,把原点O(0,0)移到O '(2,-5),点A 在新坐标系中的坐标为(-3,7),则点A 在原坐标系中的坐标是______.
(A)(-1,2) (B)(1,-2) (C)(-5,12) (D)(5,-12)
解析:由已知得⎩⎨⎧-'=+'=5y y 2x x ,点A 有⎩
⎨⎧='-='7y 3x ,所以,点A 在原坐标系中的坐标是(-1,2),答案为A.
★★平移坐标系,使原坐标系的原点在新坐标系中的坐标是(3,-2),则原坐标系中坐标为(-2,3)的点在新坐标系中的坐标是______.
(A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(-5,5) (D)(5,-5)
解析:在坐标系平移公式⎩⎨⎧+'=+'=k y y h x x 中,当⎩⎨⎧==0
y 0x 时,⎩⎨⎧-='='2y 3x ,解得⎩⎨⎧=-=2k 3h ,于是,原坐标系中坐标为(-2,3)的点在新坐标系中的坐标是(1,1),答案为A.
★★如果坐标平面内的点M(0,m)(m ≠0)经坐标系平移后的坐标是(m,0),则新坐标系的原点O '在原坐标系中的坐标是______.
(A)(m,m) (B)(m,-m) (C)(-m,m) (D)(-m,-m)
解析:在坐标系平移公式⎩⎨⎧+'=+'=k y y h x x 中,当⎩⎨⎧==m y 0x 时,⎩⎨⎧='='0y m x ,解得⎩
⎨⎧=-=m k m h , 所以,新坐标系的原点O '在原坐标系中的坐标是(-m,m),答案为C.
★★平移坐标系,将原点移到O '(-3,1),则曲线(y-3)2=2(x+5)在新坐标系中的方程是______.
(A)(y '-2)2=2(x '+2)
(B)(y '-6)2=2(x '+6) (C)(y '-6)2=2(x '+8) (D)y '2=2x '
解析:由已知得⎩⎨⎧+'=-'=1
y y 3x x ,所以,曲线在新坐标系中的方程是(y '-2)2=2(x '+2),答案为A.
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★★经过坐标系平移,点P 的坐标由(1,2)变为(2,1),则原坐标系的原点在新坐标系中的坐标是______.
解析:在坐标系平移公式⎩⎨⎧+'=+'=k y y h x x 中,当⎩⎨⎧==2y 1x 时,⎩⎨⎧='='1
y 2x ,解得⎩⎨⎧=-=1k 1h ,于是,原坐标系的原点在新坐标系中的坐标是(1,-1).
★★平移坐标系,将抛物线方程4x 2-8x+y+5=0化为标准方程2x '=a y '(a ≠0),则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是______.
解析:抛物线方程4x 2-8x+y+5=0可化为
4(x-1)2=-(y+1),令⎩⎨⎧+='-='1y y 1x x 可将其化为标准方程2x '=-y ',所以,新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是(1,-1).
★★★在直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程是y=cosx,现平移坐标系,把原点移
到点O '(
2π,-2
π),则在y O x '''中,曲线C 的方程是______. (A)y '=sin x '+2π (B)y '=-sin x '+2π (C)y '=sin x '-2π (D)y '=-sin x '-2
π 解析:由已知得⎪⎩
⎪⎨⎧π-'=π+'=2y y 2x x ,所以,曲线C 在新坐标系中的方程是y '-2π =cos(x '+2π),即y '=-sin x '+2π,答案为B. ★★★★双曲线9y 2-x 2-2x-10=0的渐近线方程是______.
(A)y=±3(x+1) (B)y=±3(x-1) (C)y=±31(x+1) (D)y=±3
1(x-1) 解析:曲线方程9y 2-x 2-2x-10=0即为y 2-9)1x (2+=1,令⎩⎨⎧='+='y
y 1x x ,则在新坐标系y O x '''中,双曲线方程是2
y '-9x 2'=1,渐近线方程是y '=±31x ',所以,双曲线渐近
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线方程是y=±31(x+1),答案为C. 8.4.9★★★★与抛物线(x-1)2=4(y+1)关于原点中心对称的曲线是______. (A) (B) (C) (D)
解析:设P(x,y)是与已知抛物线关于原点中心对称的抛物线上的任意一点,它关于原点的对称点(x 1,y 1)有⎩⎨⎧=+=+0
y y 0x x 11,于是,所求抛物线方程是(x+1)2=-4(y-1),这是一条顶点为(-1,1),开口向下的抛物线,答案为B.
8.4.10★★★★将椭圆19
y 25x 2
2=+绕其左焦点按逆时针方向旋转90︒后所得椭圆方程是______.
(A)19
)4y (25)4x (2
2=-++ (B)19)4y (25)4x (22=+++ (C)125)4y (9)4x (2
2=-++
(D)125)4y (9)4x (22=+++ 解析:椭圆19
y 25x 2
2=+的左,右焦点是(-4,0)和(4,0),将其绕左焦点按逆时针方向旋转90︒后,所得新椭圆的焦点是(-4,0),(-4,8),中心坐标是(-4,4),令⎩⎨⎧+'=-'=4
y y 4x x ,则在新坐标系y O x '''中,椭圆方程是19
x 25y 2
2='+',所以,旋转后所得椭圆的方程是
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125)4y (9)4x (22=-++,答案为C. 8.4.11★★★★当0<k<
31时,关于x 的方程|x 2|-=kx 的实根的个数是______. (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:方程y=|x 2|-的曲线如图所示.当x ≥2
时,其方程是y 2=x-2(y ≥0),若它与直线y=kx 仅
有一个公共点,则由⎩⎨⎧=-=kx
y 2x y 2得
k 2x 2-x+2=0,∆=1-8k 2=0,解得k=221
>3
1,所以,当0<k<3
1时,直线y=kx 与曲线y=|x 2|-有三个公共点,即方程有三个实数根,答案为D.
8.4.12★★★★已知曲线C 1的方程是y=f(x),平移曲线C 1,使曲线上的点P 1(1,1)移到P 2(2,3),则平移所得新曲线C 2的方程是______.
(A)y=f(x+1)+2 (B)y=f(x-1)+2 (C)y=f(x-1)-2 (D)y=f(x+1)-2 解析:设P(x,y)是新曲线C 2上的任意一点,它是由曲线C 1上的点(x ',y ')平移得到的,
由已知可知是将曲线C 1向右平移1个单位,再向上平移2个单位,于是⎩⎨⎧+'=+'=2
y y 1x x ,所以,曲线C 2的方程是y=f(x-1)+2,答案为B.
8.4.13★★★★在坐标系平移变换中,(1)点的坐标;(2)曲线的方程;(3)两点间的距离;(4)曲线的形状;(5)封闭图形的面积,其中一定不发生变化的是______.
(A)(3)和(5) (B)(3),(4),(5) (C)(1)和(2) (D)全部
解析:在坐标系平移变换中,原坐标系中的图形不发生变化,所以,两点间距离,曲线的形状,封闭图形的面积不变化,而点的坐标和曲线的方程发生变化,答案为B.
8.4.14★★★★中心在(2,3),一个顶点为(3,3),一个焦点为(2,5)的椭圆方程是______. 题8.4.11
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解析:平移坐标系,将原点移到O '(2,3)建立新坐标系y O x ''',则⎩⎨⎧+'=+'=3y y 2x x ,椭圆的c=2,b=1,a 2=5,在y O x '''坐标系中,椭圆方程是5y 2'+2x '=1,所以,所求椭圆方程是5
)3y (2
-+(x-2)2=1. 8.4.15★★★★顶点在(1,2),对称轴与坐标轴平行,过点(4,5)的抛物线方程是______.
解析:平移坐标系,将原点移到O '(1,2)建立新坐标系y O x ''',则⎩⎨⎧+'=+'=2y y 1x x ,在y O x '''坐标系中,点(4,5)的坐标是(3,3),于是,在y O x '''坐标系中,抛物线方程是2x '=3y '或2y '=3x ',所以,所求抛物线方程是(x-1)2=3(y-2)或(y-2)2=3(x-1).
8.4.16★★★★焦点坐标是F(-2,3),准线方程是y=6的抛物线方程是______. 解析:由抛物线的概念得
22)3y ()2x (-++=|y-6|,所以,抛物线方程是(x+2)2 =-6y+27.
8.4.17★★★★在坐标系中画出方程y 2-4x+2y+9=0的曲线并写出它的焦点坐标和准线方程.
解析:方程y 2-4x+2y+9=0即为(y+1)2=4(x-2),令⎩
⎨⎧+='-='1y y 2x x ,即平移坐标系xOy,将原点移到O '(2,-1)建立新坐标系y O x ''',
则在坐标系y O x '''中,抛物线方程是2
y '=4x ',焦点坐标是
(1,0),准线方程是x '=-1,所以,在坐标系xOy 中,抛物线如图所
示,焦点坐标是(3,-1),准线方程是x=1.
8.4.18★★★★求椭圆8x 2+7y 2-16x+28y-20=0的焦点坐标和准线方程. 题8.4.17
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解析:椭圆方程8x 2+7y 2-16x+28y-20=0即为8(x-1)2+7(y-2)2=56,令⎩⎨⎧-='-='2
y y 1x x ,即平移坐标系xOy,将原点移到O '(1,2)建立新坐标系y O x ''',则在坐标系y O x '''中,椭圆方程是8
y 7x 2
2'+'=1,a 2=8,b 2=7,c 2=1,焦点坐标是(0,1)和(0,-1),准线方程是y '=±8,所以,在坐标系xOy 中,椭圆的焦点坐标是(1,3)和(1,1),准线方程是y=10和y=-6.
★★★★已知双曲线的渐近线方程是x-2y-3=0和x+2y+1=0,两顶点间的连线平行于x 轴且它们之间的距离是6,求此双曲线的方程及焦点坐标,准线方程. 解析:双曲线的中心是直线x-2y-3=0和x+2y+1=0的交点(1,-1),平移坐标系xOy,将原点移到O '(1,-1)建立新坐标系y O x ''',则⎩⎨⎧-'=+'=1
y y 1x x ,于是,在坐标系y O x '''中,双曲线a=3,渐近线方程是y '=±21x ',a b =21,b=23,方程是19y 49x 22='-',c 2=4
45,焦点坐标是(253,0)和(-253,0),准线方程是x '=±5
6,所以,在坐标系xOy 中,双曲线方程是19
)1y (49)1x (22=+--,焦点坐标是(253+1,-1)和(-253+1,-1),准线方程是x=±56+1.
★★★★求以曲线y 2-4x+4y+8=0的焦点为顶点,顶点为焦点的抛物线方程. 解析:曲线y 2-4x+4y+8=0的方程即为(y+2)2=4(x-1),令⎩⎨⎧+='-='2
y y 1x x ,即平移坐标系xOy,将原点移到O '(1,-2)建立新坐标系y O x ''',则在坐标系y O x '''中,抛物线方程是2
y '=4x ',顶点坐标是(0,0),焦点坐标是(1,0),则在xOy 坐标系中,顶点坐标是(1,-2),
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焦点坐标是(2,-2),于是,所求抛物线的焦点坐标是(1,-2),准线方程是x=3,据抛物线的概念可得方程是22)2y ()1x (++-=|x-3|,即(y+2)2=-4(x-2).
8.4.21★★★★将抛物线y 2=2x-1向右平移一个单位,再向上平移2个单位,求所得新抛物线的顶点及焦点坐标,准线方程.
解析:设P(x,y)是平移所得抛物线上的任意一点,它是由原抛物线上的点(x 1,y 1)经平
移得到的,则⎩⎨⎧+=+=2y y 1x x 11,所以,平移后的抛物线方程是(y-2)2=2x-3.令⎪⎩⎪⎨⎧-='-='2
y y 23x x ,即平移坐标系xOy,将原点移到O '(
2
3,2)建立新坐标系y O x ''',则在坐标系y O x '''中,抛物线方程是2y '=2x ',焦点坐标是(21,0),准线方程是x '=-21,则在xOy 坐标系中,焦点坐标是(2,2),准线方程是x=1.
8.4.22★★★★设P 是曲线y 2=4(x-1)上的一个动点,求点P 到点(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值.
解析:令⎩⎨⎧='-='y
y 1x x ,即平移坐标系xOy,将原点移到O '(1,0)建立新坐标系y O x ''',则在坐标系y O x '''中,抛物线方程是2y '=4x ',焦点坐标是(1,0),顶点坐标是(0,0),准
线方程是x '=-1,在xOy 坐标系中,抛物线焦点坐标是(2,0),顶点坐标是(1,0),准线方程是x=0,即准线是y 轴,于是,点P 到y 轴的距离等于P 到点(2,0)的距离,而抛物线开口向右,点(2,0)和(0,1)分布在抛物线的两侧,于是,所求最小值等于点(2,0)与点(0,1)间的距离5.
8.4.23★★★★★已知常数a>0,在矩形ABCD
中,AB=4,BC=4a,O 为AB 的中点,点E,F,G 分别在
BC,CD,DA 上移动,且BC BE =CD CF =DA
DG ,P 为GE 与OF 的交点(如图),问是否存在两个定点,使P 到这两定点的距离之和为定值?若存在,求出这两点的坐
标及定值;若不存在,请说明理由.
题8.4.23
515 分析:由问题可知即要考察点P 的轨迹是否为一个椭圆,利用定比分点公式写出点E,F,G 的坐标,从而写出直线EG ,OF 的方程,再用交轨法求点P 的轨迹方程.
解:设
BC BE =CD CF =DA
DG =λ,则有E(2,4a λ),G(-2,4a-4a λ),直线EG 的方程为 y-4a λ=(2a λ-a)(x-2),F(2-4λ,4a),直线OF 的方程为y=λ-21a 2x,于是直线EG 与OF 的交点满足⎪⎩⎪⎨⎧λ-=+-λ=x 21a 2y a 2x )a a 2(y ,⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-λ-=-λy ax 212ax a 2y 12,则ax a 2y -=-y ax 2, 即2a 2x 2+y 2-2ay=0,1a )a y (2
1x 2
22=-+, 若0<a<2
2,轨迹是椭圆,所求定点是(±2a 21-,a),定值是2 若a=2
2,轨迹是圆,所求定点不存在, 若a>2
2,轨迹也是椭圆,所求定点是(0,a ±21a 2-),定值是2a.。