最优化方法部分课后习题解答(1-7)

最优化方法部分课后习题解答
习题一
1.一直优化问题的数学模型为：
22121
122123142min ()(3)(4)5()02
()50..()0()0
f x x x
g x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧
=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：
（1）无约束最优点，并求出最优值。

（2）约束最优点，并求出其最优值。

（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？
12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *
x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0
()f x *
x *
()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。

*
155
(
,)44
x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02
()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩12
154
54
x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*
155(
,)44x =*()f x 65
8
（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。

2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：
该优化问题属于三维的优化问题。

123
122313123max ()220..00
f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨
>⎪⎪>⎩
3
2
1
23
s
x y z v⎛⎞
=====⎜⎟
⎝⎠
习题二
3.计算一般二次函数的梯度。

1
()
2
T T
f x X AX b X c
=++
解：设：则：
1212
(),(,,...),(,,...)
T T
ij n n n n
A a b b b b X x x x
×
===
，将它对变量球偏导数得：
111
1
()
2
n n n
ij i j i i
i j i
f x a x x b x c
===
=++
∑∑∑(1,2,...)
i
x i n
=
==
1
2
3
()
()
()
()
f x
x
f x
f x
x
f x
x
⎡⎤
∂
⎢⎥
∂
⎢⎥
⎢⎥
∂
∇=⎢⎥
∂
⎢⎥
⎢⎥
∂
⎢⎥
∂
⎣⎦
111
11
222
11
11
11
22
11
22
11
22
n n
j j i i
j i
n n
j j i i
j i
n n
nj j in i n
j i
a x a x b
a x a x b
a x a x b
==
==
==
⎡⎤
++
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
++
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
++
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
∑∑
∑∑
⋮
11
11
1
22
112
3
1
1
11
22
n n
j j i i
j i
n n
j j i i
j i
n
n
in i
nj j
i
j
a x a x
b
a x a x
b
b
a x
a x
==
==
=
=
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
++
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
∑∑
∑∑
∑
∑
⋮
⋮
=
1
()
2
T
AX A X b
++
5.求下列函数的梯度和Hesse矩阵
（1）解：
222
12313
()234
f x x x x x x
=++−2
2 0 -4
()0 4 0
4 0 6
f x
⎛⎞
⎜⎟
∇=⎜⎟
⎜⎟
−⎝⎠
（2）解：
12
2
12
()3x x
f x x x e
=+
121212
121212
2
2212
2
2
21211
6+
()
6+ 6+
x x x x x x
x x x x x x
x e x e x x e
f x
x e x x e x x e
⎛⎞
+
∇=⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
6.判断下列函数是凸函数，凹函数，还是既不凸也不凹函数：
（1）22
121212
(,)23
f x x x x x x
=−++
解：不是半正定，即非凸，然后判断-，经验证：不是半2()
f x
∇()
f x()
f x2(())
f x
∇−
正定，由此可知：非凸非凹。

()
f x
（2）22
1211221
(,)24356
f x x x x x x x
=−+−−
解：半正定，故为凸函数。

2()
f x
∇()
f x
（3）22212312312
(,,)234f x x x x x x x x =+−−解：不是半正定，即非凸，然后判断-，经验证：不是半2()f x ∇()f x ()f x 2(())f x ∇−正定，由此可知：非凸非凹。

()f x 7.设约束优化问题的数学模型为：
22112211222
21212min ()4410()20..()220
f x x x x x
g x x x s t g x x x x x =++−+=−+≥⎧⎨=−−−+≥⎩试用K-T 条件判别点是否为最优点。

[]1,1T
x =−解：对于点，=0，，点满足约束条件，故点是可行解。

[]1,1T
x =−1()g x 2()0g x ≥X 且是起作用约束，,,，由条件下的1()g x {}1I =2()2f x ⎛⎞∇=⎜
⎟−⎝⎠11()1g x ⎛⎞
∇=⎜⎟−⎝⎠
()0i g x ∇≥K-T 条件得：，得到，点满足K-T 条
()()0,0i i i i I
f x
g x λλ∈∇−
∇=≥∑12λ=[]1,1T
x =−件。

又因正定，故为严格凸函数，该最优化问题是凸规划问题，由
2()f x ∇()f x 是K-T 点，所以也是该问题的全局最优点。

[]*1,1T x =−[]*1,1T
x =−8.设约束优化问题：
221211222
312min ()(2)()0
..()0()10
f x x x
g x x s t g x x g x x x =−+⎧=−≤⎪=−≤⎨⎪=−++≤⎩它的当前迭代点为，试用K-T 条件判定它是不是约束最优解。

[]1,0T
k x =解：对于点，点是可行点，[]1,0T
k x =123()10,()0,()0k k k g x g x g x =−≤==[]1,0T
k x =且起作用的约束条件是，，,，23(),()g x g x {}2,3I =k 2()0f x −⎛⎞∇=⎜
⎟⎝⎠2k 0g ()1x ⎛⎞
∇=⎜⎟−⎝⎠
，由约束条件为时的K-T 条件得，应有：
3k 2g ()1x ⎛⎞
∇=⎜⎟⎝⎠
()0i g x ≤解得：，所以为K-T 点。

()()0,0i i i i I f x g x λλ∈∇+∇=≥∑2311
λλ=⎧⎨=⎩[]1,0T
k x =
现判断该问题是否为凸规划问题，因正定，故为凸函数，为2()f x ∇()f x 12(),()g x g x 线性函数，亦为凸函数，半正定，所以为凸函数，所以该优化问题为凸23g ()x ∇3g ()x 规划问题，即点是该问题的约束最优解。

[]1,0T
k x =习题三
1.对于下列线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定出最优解。

（1）123
1234123516max ()321236984210
..30
0,(1,2...6)j f x x x x x x x x x x x x s t x x x j =+++++=⎧⎪
+−+=⎪⎨
−=⎪⎪≥=⎩
解：令12345612 3 6 3 0 0 8 1 -4 0 2 0 (,,,,,)
3 0 0 0 0 -1A P P P P P P ⎛⎞⎜⎟
==⎜⎟⎜⎟⎝⎠
（1）基解不是基可行解，1167
(0,
,,0,0,0)36
x =−（2）基解不是基可行解，
2(0,10,0,7,0,0)x =（3）基解是基可行解，且，3(0,3,0,0,3.5,0)x =()3f x =（4）基解不是基可行解，4721
(,4,0,0,0,
44
x =−（5）基解不是基可行解，
55(0,0,,8,0,0)2
x =−（6）基解是基可行解，且，63(0,0,,0,16,0)2
x =()3f x =（7）基解不是基可行解，
71(1,0,,0,0,3)2
x =−（8）基解是基可行解，且，
8(0,0,0,3,5,0)x =()0f x =（9）基解不是基可行解。

9515
(,0,0,2,0,
)44x =−（10）基解是基可行解，且。

1039(,0,0,0,4,)44x =9
()4f x =（11）基解不是基可行解。

11167
(0,,,0,0,0)36
x =−（12）基解不是基可行解。

12(0,10,0,7,0,0)x =−（13）基解是基可行解，且。

137(0,3,0,0,,0)2
x =()3f x =
（14）基解不是基可行解。

145(0,0,,8,0,0)2
x =−（15）基解是基可行解，且。

153(0,0,,0,8,0)2
x =()3f x =（16）基解是基可行解，且。

16(0,0,0,3,5,0)x =()3f x =2.用单纯形法求解下列线性规划问题：
（1）12
121212
max ()105349
..528,0f x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩解：将现行规划问题化为标准形式如下：
12341231241234
min(())10500349..528,,,0f x x x x x x x x s t x x x x x x x −=−−++++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩作初始单纯形表，并按单纯形表步骤进行迭代，如下：
此时，均为正，目标函数已不能再减小，于是得到最优解为：j σ*3(1,,0,0)2
x =目标函数值为：*()17.5
f x =3.分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题：
B C B
X b
-10
1
x -5
2
x 0
3
x 0
4
x i
θ03x 93410304
x 8[5]201 1.60-10-50003x 4.20[2.8]1-0.6 1.5-101
x 1.610.400.24
160-10
2
-52x 1.501514314−
-10
1
x 11017−2717.5
514
2514
（1）
1234
123412341234
min ()52362347..223,,,0f x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =−+−+++=⎧⎪+++=⎨⎪≥⎩解：（1）大M 法：把原问题化为标准形式，并加入人工变量如下：
1234561234512346123456
min ()52362347..223,,,,,0f x x x x x Mx Mx x x x x x s t x x x x x x x x x x x =−+−++++++=⎧⎪++++=⎨⎪≥⎩作初始单纯形表，并按单纯形表步骤进行迭代，如下：
因为M 是一个很大的正数，此时均为正，
j σ所以，得到最优解：，最优值为*(0,0,1,1,)T x =*()3
f x =−（2）两阶段法
B C B
X b
5
1
x -2
2
x 3
3
x -6
4
x -6
4
x -6
4
x i
θM 5x 7123410 1.75M
6
x 321
1
[2]
01 1.5
-10M
5-3M -2-3M 3-4M -6-6M 00M 5x 1-30[1]01-21-6
4
x 1.5
1
0.50.5100.53
9-M 11+3M
16-M 003M+333x 1-30101-2-6
4
x 1 2.50.501-0.5
1.5
3
29
1
M-6M+15
首先，构造一个仅含人工变量的新的线性规划如下：
1234561234512346123456
min ()00002347..223,,,,,0g x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x =+++++++++=⎧⎪++++=⎨⎪≥⎩按单纯形法迭代如下：
最优解为：，最优值：*
(0,0,1,1,0,0)x =()0
g x =因人工变量，则原问题的基可行解为:,进入第二阶段计算560x x ==*(0,0,1,1,)T x =如下表所示：
由上表可知，检验数均大于等于0，所以得到最优解：*(0,0,1,1,)T
x =最优值为。

*()3f x =−4.某糖果厂用原料A ，B ，C 加工成三中不同牌号的糖果，甲，乙，丙，已知各种牌号糖果中A,B,C 含量，原料成本，各种原料的每月限用量，三中牌号糖果的单位加工费及售
B C B X b
1
x 0
2
x 0
3
x 0
4
x 1
4
x 1
4
x i
θ15x 7123410 1.7516x 3211[2]01 1.5-10-3-3-4-60015x 1-30[1]01-2104x 1.510.50.5100.53
-140-100303x 1-30101-204
x 1 2.50.501-0.5 1.5
B C B
X b
5
1
x -2
2
x 3
3
x -6
4
x 33x 1-3010-6
4
x 1 2.50.501329100
价如下表所示，问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划数学模型。

解：设表示甲、乙、丙中分别含A 、B 、C 的含量，构造此问题的,,0,1,2,3i i i x y z i ≥=数学规划模型如下：
123123123111222333123123123
12312max ()0.9 1.4 1.90.450.95 1.450.50.450.952000250012000.40.60.60..0.850.150.1500.20.20.80
0.60.60.400.50.5f x x x x y y y z z z x y z x y z x y z x x x s t y y y x x x y y y z z =+++++−++++≤++≤++≤−−≤−−≥+−≥−+≥+−30.50,,0,1,2,3
i i i z x y z i ⎧⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎪
≥⎪⎪≥=⎩5.求解下列线性规划问题的对偶问题
（1）123
123123123123min ()2242352
373..465,,0
f x x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩（2）123
123123123123max ()56322553
..4738,0,0
f x x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++=⎧⎪
−+−≥⎪⎨
++≤⎪⎪≥≤⎩无约束甲
乙丙
原料成本（元/千克）
每月限用量
（千克）A 60
≥%
15
≥%
2.002000B 1.50
2500C 20
≤%60
≤%50
≤% 1.00
1200
加工费0.500.400.30售价
3.40
2.85
2.25
解：（1）由表3.7可得该问题的对偶问题为：
12312312
3123123max ()235232342..57640,,0
g y y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≤⎩（2）该问题的对偶问题为：
123123123123123min ()5383452576..233,0,0
g y y y y y y y y y y s t y y y y y y =++−+=⎧⎪++≥⎪⎨
−+≤⎪⎪≤≥⎩无约束6．用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：
（1）123
1323123
min ()4121833..225,,0f x x x x x x s t x x x x x =+++≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩解：（1）首先，将“”约束条件两边反号，再加入松弛变量，得：
≥1234513423512345
min ()41218033..225,,,,0f x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++++−−+=−⎧⎪−−+=−⎨⎪≥⎩建立初始单纯形表如下图所示，所有。

0j σ≥则对应对偶问题解是可行的，则继续迭代：
计算，所以为换出变量，，确定为换入变量。

{}min 3,55−−=−5x {}min 6,96θ==2x 继续迭代，得到如下单纯形表：
B C B X b
4
1
x 12
2
x 18
3
x 0
4
x 0
5
x 04x -3-10-31005
x -5
0[-2]-2014121800。

{}{}43min 33,min 422x x −=−=换出，，，换入此时，所有，故原问题的最优解为,最优值为：0j σ≥*3[0,,1]2
T x =*()36f x =其对偶问题得到最优解为：，最优值为：。

*[2,6]T x =*()36f x =7.已知线性规划问题
12312312123
min ()26..24,,0f x x x x x x x s t x x x x x =−+++≤⎧⎪−+≤⎨⎪≥⎩先用单纯形法求出最优解，再分别就下列情况进行分析：
（1）目标函数中变量的系数分别在什么范围内变化，问题的最优解不变；123,,x x x （2）两个约束条件的右端分别在什么范围内变化，问题的最优解不变。

解：将该规划问题化为标准型，引入松弛变量45
,x x 12345123412512345
min ()200,6..24,,,,0f x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =−++++++=⎧⎪−++=⎨⎪≥⎩B C B X b
4
1
x 12
2
x 18
3
x 0
4
x 0
5
x 04x -3-10[-3]1002
x -2.5
0110-0.540600
B C B X b
4
1
x 12
2
x 18
3
x 0
4x 0
5
x 03x 1130113
−002
x 1.5
13
−1013
-0.52
2
6
用单纯形法求解，如下表：
由上表可知，所有的检验数均大于等于零，得最优解:,所以原问题的*(0,2,0,4,0)T x =最优解为：，最优值*(0,2,0,)T x =*()2
f x =−（1）。

123132x x x x x x 变量，，中，，为非基变量，为基变量3311
[,),2222
110[0,),c c c c c c c c c c σσ−−
=∆≥−=+∆≥∈+∞=∆≥−=+∆≥∈+∞111111333333由，所以，当此时最优解不变。

由，当时，，所以，当此时最优解不变。

，最优解不变。

()23,1c ∆∈−综上，1
[,)[4,0][0,),2
c c c ∈+∞∈−∈+∞123当，，此时最优解不变。

（2）的变化范围
1b ∆111
1
1410.5410200.520000b b B b B b −−∆∆−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+=+=+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到：，最优解保持不变。

11114042b b b b +∆≥⇒∆≥−≥，则的变化范围是1122200410.540.50200.520.50B b B b b b −−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到：，最优解保持不变。

2248b b −≤∆≤，则的变化范围是[0,12]习题四
B C B X b
2
1
x -1
2
x 1
3
x 0
4
x 0
5
x i
θ04x 111110605x 1.5-1[2]0012
2-110004x 4 1.5011-0.5-1
2
x 2
-0.51000.51.50100.5
3.用Newton 法求解
3()21
t t t ϕ=−+用第1题求得的区间，按精度计算。

0.01ε=解：010*******()(0)1,1,()0,0,()()2
t t t h t t t h h ϕϕϕϕϕϕ===+===≤==因为，则21122121()22,22,()()K=20,=0b=3
t t h t t t ϕϕϕϕα=+===≤≠，，反向，因为所以，则搜索区间为取：
t [0,3]∈2()32,()6,(0)20,(3)250t t t ϕϕϕϕ′′′′′=−==−<=>，0001551,()1,()6,t 110.01666t t t ϕϕ′′′====−
=−≥所以，，继续迭代05=t 6
t =，
00000()491149
,0.01,0.8165()606060t t t t t t t t ϕϕ′=−=−=>=≈′′则令，则。

*00.00050.01,0.817,()0.088t t ϕϕ−=<==≈−**所以t t 4.用黄金分割法求解
min ()(2)
t t t ϕ=+已知初始单谷区间[a ，b]=[-3，5]，按精度计算。

0.001ε=解：，
1230.38280.056,350.056 1.944t t =−+×==−+−=，因为，则新的搜索区间为[-3，1.944]：12()0.115136,()7.667136t t ϕϕ==12()()t t ϕϕ<，212110.056,()0.115136, 1.11392,()0.987592t t t t t ϕϕ====−=−，则新的搜索区间为[-3，0.056]：1212,()()t t t t εϕϕ−>>继续迭代，因为11221.832608,()0.306764, 1.111392,()0.987592t t t t ϕϕ=−=−=−=−，
，因为，所以新的搜索区间为[-1.832608，0.056]：12,t t ε−>继续迭代12()()t t ϕϕ>，11221.111292,()0.987592,0.665448,()0.888075t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.832608，-0.665448]：
12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>
，
11221.386753,()0.854402, 1.111392,()0.987592t t t t ϕϕ=−=−=−=−，因为，所以新的搜索区间为[-1.386753，-0.665448]12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>，
22110.940987,()0.996518, 1.111392,()0.987592t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.111392，-0.665448]：12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>因为，
11220.940987,()0.996518,0.835799,()0.973038t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.111392，-0.835799]：12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>因为，
22110.940987,()0.996518, 1.006115,()0.999962t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.111392，-0.940987]：12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>因为，
11221.046295,()0.997857, 1.006115,()0.999962t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.046295，-0.940987]：12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>因为，
22110.981215,()0.999647, 1.006115,()0.999962t t t t ϕϕ=−−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.046295，-0.981215]：12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>因为，
11221.021434,()0.999540, 1.006115,()0.999962t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.021434，-0.981215]：12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>因为，
22110.996579,()0.999987, 1.006115,()0.999962t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，所以新的搜索区间为[-1.006115，-0.981215]：12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>因为，
11220.996579,()0.999987,0.990727,()0.999914t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.006115，-0.990727]：12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ<因为，
22120.996579,()0.999987, 1.000237,() 1.00000016t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.006115，-0.996579]：12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ<因为，11221.000237,()0.99999364, 1.000237,() 1.00000016t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，所以新的搜索区间为[-1.002472，-0.996579]：
12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ>因为
22110.998830,()0.999998505, 1.000237,() 1.00000016t t t t ϕϕ=−=−=−=−，，，新的搜索区间为[-1.002472，-0.998830]12,t t ε−>继续12()()t t ϕϕ<因为11221.001081,()0.999999075, 1.000237,() 1.00000016t t t t ϕϕ=−=−=−=−，
因为，停止迭代。

所以：
12t t ε−<。

***12
1.000659,()0.99999995652
t t t t ϕϕ+=
=−==−5.用抛物线插值法求解
32min ()8273
f x x x x =−−+已知初始单谷区间[a ，b]=[b]=[0
0，2]，。

0.001ε=−解：1200000,2,10.5227,,()0.063()2t t t t t t t t t t εϕϕ===≈−><=−<=取，，新搜索区间为[0，1]，120000,1,0.52270.5704,,,
t t t t t t t t ε==≈≈−>>，，所以，新的搜索区间为[0.5227，1]，0()0.1588()0.063t t ϕϕ=−<=−120.5227,1,
t t ==00000.57040.6146,,,()0.2004()0.1588
t t t t t t t t εϕϕ≈≈−>>=−<=−，所以，新的搜索区间为：[0.5704，1]，1200.5704,1,0.614606232,
t t t t ==≈≈，，所以新的搜索区间为：[0.6146，1]，000,,()0.2029()0.2004t t t t t t εϕϕ−>>=−<=−120000.6146,1,0.62320.6260,,,
t t t t t t t t ε==≈≈−>>，，新的搜索区间为：[0.6232，1]，0()0.2032()0.2029t t ϕϕ=−<=−120.6232,1,
t t ==00000.62600.6284,,,()0.2034()0.2032
t t t t t t t t εϕϕ≈≈−>>=−<=−，新的搜索区间为[0.6260，1]，1200.6260,1,0.62840.6276,
t t t t ==≈≈，，，0t t ε−<∴*()0.6276t t t t ϕ==是在区间上的近似最优解，。

**()0.2034t ϕϕ==−
习题五
1.用最速下降法求解22120min ()25[22]0.01.T f x x x x ε=+==，，，[][][]120000010000111111
211111()2,5020050()4,100,100.07997
24 1.919880.020*******.003() 3.68655
() 3.839760.15,
1.91T
T
T
T T
T T f x x x Hesse A g f x g g g
x x g g Ag f x g f x g g g x x g g Ag ε
∇=⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
=∇==⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−=−⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦==∇=−>=−=、解：矩阵22988 3.89760.073480.480890.0030.150.06913()0.12487200()0
00T
f x
g x x f x ε
⎡⎤⎡⎤⎡⎤−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=>⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
同理继续迭代，最后至，此时最优解，2.用Newton 法求解
221212120min ()60104[0]0.01.
T f x x x x x x x x ε=−−++==-，初始点，0，解：
12211
110011**()()[102,42]212133()()12123
32101033()()[8,6]012433()[0,0],()00.01[8,6],
()8
T
T
T T g x f x x x x x G x G x x x G x g x f x f x x f x −−=∇=−+−−+−⎡⎤
⎢⎥−⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥−⎡⎤⎡⎤⇒=−=−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∇=∇=≤∴==最优解为3.用修正Newton 法求解
2212120min ()4121[0]0.01.
T f x x x x x x ε=++−++==（）（）+10，初始点，0，
解：12()()[89,43]T g x f x x x =∇=+−010000
98
34t x x t p t ⎡⎤−⎢⎥=+=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，1
1
0808()()0410
4G x G x −⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，[]
0()93T
g x =−，则，令1
00109938()()[,318404T
p G x g x −⎡⎤⎢⎥⎡⎤=−==−⎢
⎥⎢⎥−⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦010000
9834t x x t p t ⎡⎤−⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
219999
()161()168
f x t t t f x =
−+⇒=时，最小111**93
[,()[0,0],
()00.01
8493157
[,,()8416
T T T x f x f x x f x ∴=−∇=∇=≤∴=−=
，4.用共轭梯度法求解22120min 4[1]0.01.T x x x ε+==（），取初始点，1，解：令，[]221112()4,()2,8T
f x x x f x x x =+∇=[]
00()2,8T
p f x =−∇=−[]
10000001212,1818T
x x t p t t t −⎡⎤⎡⎤=+=+=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦
令，2200min[(12)4(18)]min ()t t t ϕ−+−=则
00[()]5206800.130969d
t t t dt
ϕ=−=⇒=11[0.738062,0.047752]()[1.476124,0.382016]T T
x f x =−∇=−，则2102
0() 2.324878
0.03418968
()
f x f x λ∇=
=
≈∇
1100
()p f x p λ∴=−∇+新搜索方向为 1.4761242 1.5445020.0341890.38201680.108504−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[]2111110.738062 1.544502,0.0477520.108504T
x x t p t t =+=−−+因此有1111()00.477127d
f x t p t dt
+=⇒≈由
21110.738062 1.5445020.477127[0.00,0.007]0.0477520.108504T
x x t p −⎡⎤⎡⎤
=+=+=⎢⎥⎢⎥
−⎣⎦⎣⎦
因而得下一迭代点，2()00.01f x ∇=≤停止迭代**[0,0],()0
T x f x ∴==5.用共轭梯度法求解221212min ()20.01.
f x x x x x ε=+=-，自定初始点，解：，取初始点，[]1221()4,2T
f x x x x x ∇=−−[]00,1T
x =00()[1,2]T
p f x =−∇=−−[]
100000001,1212T
x x t p t t t ⎡⎤⎡⎤=+=+=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦
令2
20000min[2(12)(12)]min ()
t t t t t ϕ+−−−=则
00[()]16500.125d
t t t dt
ϕ=−=⇒=11[0.3125,0.375]()[0.875,0.4375]T T
x f x ∴=−∇=，2102
0()0.95703125
0.1914065
()
f x f x λ∇=
=
≈∇1100
()p f x p λ∴=−∇+新搜索方向为0.87510.6835940.1914060.437520.82012−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=2111x x t p =+因而得下一迭代点[]110.31250.683594,0.3750.820312T
t t −−−，1111()00.456927d
f x t p t dt
+=⇒=由
则停止迭代
222[0.000,0.000]()[0,0],
()00.01T T x f x f x =∇=∇=≤，则=，综上所述，原问题的最优解，最优值为*x 2[0,0]T x =*[0,0]T x =*()0
f x =6.用DFP 法求解22
120min ()456[8]0.01.
T f x x x x ε=−+−==（）（），初始点，9，6、解：取[]
01280,
,()840,21202T
H I A g x x x ⎡⎤
===−−⎢⎥⎣⎦
[][]
008,19,24,6T
T
x g ==第一步迭代得：[][]114.86154,8.21538, 1.10768,4.43076T T
x g ==−用DFP 法第二次迭代：010[ 3.13846,0.78462]T
s x x =−=−−010[25.10768, 1.56924]T
y g g =−=−−则，
000000
1000000
T T T T s s H y y H H H s y y H y =+−因：0080.03071,
T s y =00000632.85811
T T y H y y y ==，009.84993 2.462502.462500.61563T s s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦009.84993 2.462502.462500.61563T
s s ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
1100.123080.030770.996110.062260.126970.03149010.030770.007700.062260.003900.03149 1.0038H −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
∴=+−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
则搜索方向111[0.28017,4.48248]T
p H g =−=−
从出发沿进行直线搜索，即：
1x 1p []
111 4.861540.28017,8.21538 4.48248T
x x tp t t =+=−+由
，得11()0d
f x tp dt
+=0.48674t =−所以，由于，所以是极小211[5.000,6.000]T x x tp =+≈2()[0,0]T g x =2[5,6]T x =点。

习题六
1.用外点罚函数法求解：
12
211221min ()()0..()0
f x x x
g x x x s t g x x =+⎧=−+≥⎨
=≥⎩解：利用外点罚函数法构造增广目标函数，如下：
2221212112
[()]()
(,)()x x x x x x D F x x x x D µµ⎧++−++∉=⎨
+∈⎩对于的情况：
x D ∉由
得：120,0F F x x ∂∂==∂∂2111(),2224(1)x µµµµ∗⎛⎞
=−−⎜⎟++⎝⎠
当时，µ→+∞()()0,0x µ∗→即：，且()0,0x ∗=()0
f x ∗=2.用外点罚函数法求解：
22
12
min ()f x x x =+..s t 1()10
g x x =−≤
解：构造增广目标函数：
22
2
1212
2
12
(1)()(,)()
x x x x D F x x x x D µµ⎧++−∉=⎨+∈⎩对于的情况：
x D ∉由得：120,0F F
x x ∂∂==∂∂11222(1)020
x x x µ−−=⎧⎨=⎩推出：(),01x µµµ∗⎛⎞
=⎜
⎟+⎝⎠
当时，。

µ→+∞()()1,0x µ∗→即：且。

()1,0x ∗=()1f x ∗=4.用内点罚函数法求解：
312
11221
min ()(1)3
()10..()0
f x x x
g x x s t g x x =++=−≥⎧⎨
=≥⎩解：利用内点罚函数法构造如下增广目标函数：
31212111
(,)(1)(31k k F x r x x r x x =++++−由得：12
00F
x F
x ∂⎧
=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂
⎩
*()k x x =当时，0k r +→*()(1,0)
k x x →=，∴*x (1,0)*8()3
f x =
5.用内点罚函数法求解：
312121min [(1)]3
10..0
x x x s t x ++−≥⎧⎨≥⎩解法同上。

习题七
1.用动态规划求解：
2123
123max 4..0(1,2,3)
i E x x x x x x s t x i =++≤⎧⎨≥=⎩解：将原问题表示为：2123
max E u u u =1234..0(1,2,3)
i u u u s t u i ++≤⎧⎨≥=⎩由此，确定状态变量为：，决策变量为：123,,x x x 123
,,u u u 状态转移方程：。

11;x u =221;x u x =+3324x u x =+≤用动态规划的思想顺推，如下：
第一步，1:
k =。

11
*111111(){},max u x f x u x u x ====且第二步，2:k =
22
22
22
222110212202220(){()}
{()}
{()}.
max max max u x u x u x f x u f x u f x u u x u ≤≤≤≤≤≤=⋅=⋅−=⋅−222222222*2222221()2
111()max{0,0}442
u u x u u u x f x x x u x ϕϕ⋅−=∴===‘令：()=，由()=0，得：，，且第三步，3:
k =33
33
33
2333220232330223330(){()}
{()}
1{()}.4max max max u x u x u x f x u f x u f x u u x u ≤≤≤≤≤≤=⋅=⋅−=⋅−22333333344*333333433311()42
111()max{0,0}64642
14()4464
u u x u u u x f x x x u x x f x ϕϕ⋅−=∴===≤∴=×=∵‘同理，令：()=，由()=0，得：，，且将代入上述表达式，逆序递推求出：
33()4f x =*33*22*11****42211 1.
(1,1,2)()4
(1,1,2)() 4.
x u x u x u u f u x f x ======∴====,，
,，
,新问题的最优解为：，且原问题的最优解为：，且2.设有5个城市，编号从1到5，记第个城市与第个城市的距离为，记：
i j ij d
，5506522600.557()50.50152
510327530ij D d ×⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
试分别用函数迭代法和策略迭代法求出各城市到第5个城市的最短距离。

解：法一，函数迭代法：
151********
212121()(1,2,3,4,5)
(1)2,(2)7,(3)5,(4)3,(5)0.
2(){()}(1)min{02,67,55,23,20}(1),
(2)min{62,07,0.55,53,70}(2),
(3)min{52,0.57,min i ij j k f i d i f f f f f k f i d f j f f f f f ≤≤==========+=+++++=+++++≠=++时，时，，
=2==5.512121213205
32305,13,50}(3),
(4)min{22,57,15,03,30}(4),
(5)0(5).
()()3(){()}(1)min{02,6 5.5,54,23,20}(1),
(2)min{62,0 5.5,0.54min ij j f f f f f i f i f i k f i d f j f f f ≤≤+++≠=+++++======+=+++++=+++=4=3对于所有,并不满足，故须继续迭代。

时，，
=2=2323232324305
4,53,70}(2),
(3)min{52,0.5 5.5,04,13,50}(3),
(4)min{22,5 5.5,14,03,30}(4),
(5)0(5).
()()4,(){()}(1)min{02,6 4.5,54min ij j f f f f f f f i f i f i k f i d f j f ≤≤++≠=+++++==+++++===∀===+=+++=4.5=4=3对于,并不满足，故须继续迭代。

时，
343434343433,23,20}(1),
(2)min{62,0 4.5,0.54,53,70}(2),
(3)min{52,0.5 4.5,04,13,50}(3),
(4)min{22,5 4.5,14,03,30}(4),
(5)0(5).
()()()()5f f f f f f f f f i f i f i f i f i ++=+++++==+++++==+++++===∀===2==4.5=4=3对于,满足，
故，
故各城市到第个(1)2,(2) 4.5,(3)4,(4)3,(5)0.
f f f f f =====城市的最短距离分别为：
法二，策略迭代法：
设初始策略为：11{()}{2,3,4,5,5},
u u i ==则在策略下，由点到点5的路程分别为：1u i 1()f i 1451134112311121(4)(5)303,(5)0.(3)(4)134,
(2)(3)0.54 4.5,
(1)(2)6 4.510.5.
k f c f k f f c f f c f f c f =+=+=∀≡=+=+==+=+==+=+=其中，对，有计算，并确定新策略：
2()f i 2u 21121221212312(1)min{()}
min{010.5,6 4.5,54,23,20}2,(1)5(1).(2)min{()}
min{610.5,0 4.5,0.54,53,70} 4.5,(2)3(2).(3)min{()}
min{510.5,0.5 4.5,04,13,50}4,(3)4j j j f c f j u u f c f j u u f c f j u =+=+++++==≠=+=+++++====+=+++++==124121(3).(4)min{()}
min{210.5,5 4.5,14,03,30}3,(4)5(4).j u f c f j u u ==+=+++++===计算，并确定新策略：
3()f i 3u 3123232232332323(1)min{()}
min{02,6 4.5,54,23,20}2,(1)5(1).(2)min{()}
min{62,0 4.5,0.54,53,70} 4.5,(2)3(2).(3)min{()}
min{52,0.5 4.5,04,13,50}4,(3)4(3).j j j f c f j u u f c f j u u f c f j u u f =+=+++++====+=+++++====+=+++++===4232(4)min{()}
min{22,5 4.5,14,03,30}3,(4)5(4).j c f j u u =+=+++++===此时，对于，有，故为最优策略。

i ∀32()()u i u i =2()u i 即：最优策略为。

2(5,3,4,5,5)u =
从各城市到城市5的最短距离分别为：2，4.5，4，3，0，
且最短路线分别为：1→5，2→3→4→5，3→4→5，4→5，5→5。