《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第9章 应力状态分析
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1． MPa
MPa
MPa
2．
MPa
MPa
9－13图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。
1．只承受轴向载荷FP = 250kN；
2．只承受内压p=5.0MPa（两端封闭）
3．同时承受轴向载荷FP = 250kN和内压p=5.0MPa（两端封闭）
难度：一般
解答：
（1）当 = 40℃
mm＜
mm＜
所以铝板内无温度应力，
（2）当 = 80℃
mm＞
mm＞
∴ （1）
（2）
所以解得qx = qy=70MPa（压）
， MPa
MPa
9－18对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E、 ，且由实验测得 和 。试证明：
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
难度：一般
解答：
正确答案是C。
（A）不满足切应力互等定律；
（B）不满足平衡；
（C）既可满足切应力互等，又能达到双向的平衡；
（D）不满足两个方向的平衡。
9－27微元受力如图所示，图中应力单位为MPa。试根据不为零主应力的数目，它是：
（A）二向应力状态；
（B）单向应力状态；
（C）三向应力状态；
（D）纯切应力状态。
MPa
9－7受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。
知识点：应力圆的应用
难度：难
解答：
应力圆半径
9－8从构件中取出的微元，受力如图所示。试：
1．求主应力和最大切应力；
2．确定主平面和最大切应力作用面位置。
知识点：空间应力状态的特例分析、简化为平面应力状态处理
由（a）图
由（b）图
两式相等 ∴
9－24试证明主应力为 、 、 的三向应力状态，其体积应变为
知识点：广义胡克定律、体积应变
难度：难
解答：
由广义胡克定律：
体积应变
9－25关于用微元表示一点处的应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
（A）微元形状可以是任意的；
（B）微元形状不是任意的，只能是六面体微元；
（A）平行于 的面，其法线与 夹45°角；
（B）平行于 的面，其法线与 夹45°角；
（C）垂直于 和 作用线组成平面的面，其法线与 夹45°角；
（D）垂直于 和 作用线组成平面的面，其法线与 夹30°角。
知识点：应力状态的基本概念、主应力与最大切应力、最大切应力作用面
难度：一般
解答：
正确答案是A。
9－32关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
MPa
MPa
9－16结构中某一点处的应力状态如图所示。试：
1．当 ， MPa， MPa时，测得由 、 引起的x、y方向的正应变分别为 ， 。求结构材料的弹性模量E和泊松比 的数值。
2．在上述所示的E、v值条件下，当切应力 MPa， MPa， MPa时，求 。
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
知识点：平面应力状态分析的综合问题
难度：1、易；2、一般；3、难
解答：
（1）图a： MPa（压）
MPa
MPa
（2）图b： MPa
MPa
MPa
MPa
（3）图a、图b叠加： MPa
MPa
MPa
MPa
所以也可（1）与（2）结果叠加得到。
9－14图示的薄壁圆筒，由厚度为8mm的钢板制成，平均直径1m。已知钢板表面上点A沿图示方向正应力为60MPa。试求圆筒承受的内压p。
工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答
第9章 应力状态分析
9－1木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求：
1．面内平行于木纹方向的切应力；
2．垂直于木纹方向的正应力。
知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析
难度：易
解答：
（a）平行于木纹方向切应力
MPa
垂直于木纹方向正应力
解答：
正确答案是D。
（a）图： ， ，
（b）图：
（c）图：
（d）图： ， ，
9－29关于习题9－28图示的四个应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
（A）其主应力和主方向都相同；
（B）其主方向都相同，主应力不同；
（C）其主应力、主方向都不相同；
（D）其应变比能都相同。
知识点：应力状态的基本概念、主应力与主方向
（D）任意材料，应力大小无限制。
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：易
解答：
正确答案是A。
（A）E和 ；
（B）E和G；
（C）G和 ；
（D）E、G和 。
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
解答：
正确答案是D。
， ， 。
9－34试确定材料的三个弹性常数之间的关系 成立的条件是：
（A）各向同性材料，应力不大于比例极限；
（B）各向同性材料，应力大小无限制；
（C）任意材料，应力不大于比例极限；
MPa
（b）切应力
MPa
正应力
MPa
9－2层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。若已知胶层切应力不得超过1MPa。试分析是否满足这一要求。
知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析
难度：易
解答：
MPa
MPa，不满足。
9－3结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。
（A）有应力一定有应变，有应变不一定有应力；
（B）有应力不一定有应变，有应变不一定有应力；
（C）有应力不一定有应变，有应变不一定有应力；
（D）有应力一定有应变，有应变一定有应力。
知识点：广义胡克定律
难度：一般
解答：
正确答案是B。
9－33对于图示的应力状态，若测出x、y方向的正应变 、 ，试确定材料的弹性常数有：
解答：
（1） 两式相除
解得
MPa
（2） MPa
9－17图示结构中，铝板的左边和下边被固定，上方与右方与刚性物体之间的间隙分别为 =0.75mm， = 1.0mm。已知E = 70GPa， = 0.33。 ℃。试求温升 = 40℃和 = 80℃时板中的最大切应力（假定板在自身平面内受力不发生弯曲）。
知识点：广义胡克定律
知识点：应变比能
难度：难
解答：
应变比能 （1）
广义胡克定律 （2）
（2）代入（1）得：
9－23试求图a中所示的纯切应力状态旋转45°后各面上的应力分量，并将其标于图b中。然后，应用习题9－22中的结果，分别计算图a和b两种情形下的应变比能，并令二者相等，从而证明：
知识点：应变比能
难度：一般
解答：
解： ， ，
知识点：平面应力状态分析
难度：难
解答：
左微元
叠加
面内最大切应力：
该点最大切应力：
左微元 ， ，
右微元 ， ，
叠加 ， ，
， ，
面内
该点
叠加
主应力
面内及该点： MPa
9－4已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB相垂直的面上，其值为 。试求应力分量 、 和 。
知识点：微元的截取与微元平衡
（C）最大主应力为500MPa，最大切应力为100MPa；
（D）最小主应力为100MPa，最大切应力为250MPa。
知识点：应力状态的基本概念、主应力与最大切应力
难度：一般
解答：
正确答案是B。
= 500MPa， = 100MPa， = 0， MPa。
9－31对于图示的应力状态（ ＞ ＞0），最大切应力作用面有以下四种，试选择哪一种是正确的。
（C）不一定是六面体微元，五面体微元也可以，其它形状则不行；
（D）微元形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的应力。
知识点：应力状态的基本概念
难度：一般
解答：
正确答案是D。
9－26对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的点A，试用平衡概念分析下列四种应力状态中哪一种是正确的。
知识点：平衡的概念与平衡方法
知识点：应力状态的基本概念
难度：一般
解答：
正确答案是B。
MPa
MPa
，为单向应力状态。
9－28试分析图示的四个应力状态是否等价，有下列四种答案。
（A）四者均等价；
（B）仅（a）和（b）等价；
（C）仅（b）、（c）等价；
（D）仅（a）和（c）等价。
知识点：应力状态的基本概念、主应力与主方向、应变比能
难度：一般
难度：一般
解答：
9－5从构件中取出的微元受力如图所示，其中AC为自由表面（无外力作用）。试求 和 。
知识点：微元平衡方法的应用
难度：一般
解答：
∴ MPa
MPa
Mpa
9－6构件微元表面AC上作用有数值为14MPa的压应力，其余受力如图所示。试求 和 。
知识点：微元平衡方法的应用
难度：一般
解答：
解得 MPa
难度：一般
解答：
正确答案是D。
四个应力状态的主应力， 、 、 ；其主力方向虽不全相同，但应变比能与主应力值有关，因此它们的应变比能相同。
9－30关于图示应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
（A）最大主应力为500MPa，最小主应力为100MPa；
（B）最大主应力为500MPa，最大切应力为250MPa；
难度：一般
解答：
1．主应力
MPa
2．主平面， 作用面位置。
主平面，
9－9一点处的应力状态在两种坐标中的表示方法分别如图a和b所示。试：
1．确定未知的应力分量 、 、 的大小；
2．用主应力表示这一点处的应力状态。
知识点：平面应力状态分析、主应力
难度：一般
解答：
1．a
2．
9－10试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为MPa。
知识点：广义胡克定律、压力容器应力分析
难度：一般
解答：
MPa
MPa
MPa
9－21液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa， = 0.30。试求当内压p=10MPa时，液压缸内径的改变量。
知识点：广义胡克定律、压力容器应力分析
难度：难
解答：
缸体上
MPa
MPa
9－22试证明对于一般应力状态，若应力应变关系保持线性，则应变比能
解答：
（1）
（2）
（1）＋（2），
（1）－（2），
∴ ，
9－19图示构件在z方向上的正应变被限制为零，即 = 0。这时垂直这一方向上的截面保持平面，而且两相邻截面间的距离保持不变，此即所谓平面应变问题的一种。已知 、 和E、 。试证明：
知识点：广义胡克定律
难度：一般
解答：
= 0， ，所以
9－20承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器如图所示。已知内压p=3.5MPa，材料的E = 75GPa， = 0.33。试求圆筒的半径改变量。
解得 <152MPa（2）
由（1）、（2）知，显然不存在。
2．当r＜OC
即 ＜183.3MPa时
解得 ＜120MPa
所以，取 ＜120MPa。
9－12对于图示的应力状态，若要求垂直于xy平面的面内最大切应力 150MPa，试求 的取值范围。
知识点：平面应力状态分析、应力圆的应用
难度：一般
解答：
应力圆半径 150MPa
知识点：平面应力状态分析的综合问题
难度：难
解答：
p
p
MPa
9－15图示外径D = 760mm、壁厚 =11mm的钢管，上端与蓄水池A连接，下端与泵房B连接。已知水的密度 = 1000kg/m3。试求钢管在静态下的最大正应力与最大切应力。
知识点：平面应力状态分析的综合问题
难度：难
解答：
管内内压 MPa
习题9-10图
知识点：空间应力状态的特例分析、简化为平面应力状态处理、主应力与最大切应力
难度：一般
解答：
图（a）：
MPa
图（b）：
MPa
9－11对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力 ＜160MPa，试求 取何值。
知识点：平面应力状态分析、最大切应力
难度：一般
解答：
1．当半径r＞OC
即 183.3MPa时（1）
MPa
MPa
2．
MPa
MPa
9－13图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。
1．只承受轴向载荷FP = 250kN；
2．只承受内压p=5.0MPa（两端封闭）
3．同时承受轴向载荷FP = 250kN和内压p=5.0MPa（两端封闭）
难度：一般
解答：
（1）当 = 40℃
mm＜
mm＜
所以铝板内无温度应力，
（2）当 = 80℃
mm＞
mm＞
∴ （1）
（2）
所以解得qx = qy=70MPa（压）
， MPa
MPa
9－18对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E、 ，且由实验测得 和 。试证明：
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
难度：一般
解答：
正确答案是C。
（A）不满足切应力互等定律；
（B）不满足平衡；
（C）既可满足切应力互等，又能达到双向的平衡；
（D）不满足两个方向的平衡。
9－27微元受力如图所示，图中应力单位为MPa。试根据不为零主应力的数目，它是：
（A）二向应力状态；
（B）单向应力状态；
（C）三向应力状态；
（D）纯切应力状态。
MPa
9－7受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。
知识点：应力圆的应用
难度：难
解答：
应力圆半径
9－8从构件中取出的微元，受力如图所示。试：
1．求主应力和最大切应力；
2．确定主平面和最大切应力作用面位置。
知识点：空间应力状态的特例分析、简化为平面应力状态处理
由（a）图
由（b）图
两式相等 ∴
9－24试证明主应力为 、 、 的三向应力状态，其体积应变为
知识点：广义胡克定律、体积应变
难度：难
解答：
由广义胡克定律：
体积应变
9－25关于用微元表示一点处的应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
（A）微元形状可以是任意的；
（B）微元形状不是任意的，只能是六面体微元；
（A）平行于 的面，其法线与 夹45°角；
（B）平行于 的面，其法线与 夹45°角；
（C）垂直于 和 作用线组成平面的面，其法线与 夹45°角；
（D）垂直于 和 作用线组成平面的面，其法线与 夹30°角。
知识点：应力状态的基本概念、主应力与最大切应力、最大切应力作用面
难度：一般
解答：
正确答案是A。
9－32关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
MPa
MPa
9－16结构中某一点处的应力状态如图所示。试：
1．当 ， MPa， MPa时，测得由 、 引起的x、y方向的正应变分别为 ， 。求结构材料的弹性模量E和泊松比 的数值。
2．在上述所示的E、v值条件下，当切应力 MPa， MPa， MPa时，求 。
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
知识点：平面应力状态分析的综合问题
难度：1、易；2、一般；3、难
解答：
（1）图a： MPa（压）
MPa
MPa
（2）图b： MPa
MPa
MPa
MPa
（3）图a、图b叠加： MPa
MPa
MPa
MPa
所以也可（1）与（2）结果叠加得到。
9－14图示的薄壁圆筒，由厚度为8mm的钢板制成，平均直径1m。已知钢板表面上点A沿图示方向正应力为60MPa。试求圆筒承受的内压p。
工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答
第9章 应力状态分析
9－1木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求：
1．面内平行于木纹方向的切应力；
2．垂直于木纹方向的正应力。
知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析
难度：易
解答：
（a）平行于木纹方向切应力
MPa
垂直于木纹方向正应力
解答：
正确答案是D。
（a）图： ， ，
（b）图：
（c）图：
（d）图： ， ，
9－29关于习题9－28图示的四个应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
（A）其主应力和主方向都相同；
（B）其主方向都相同，主应力不同；
（C）其主应力、主方向都不相同；
（D）其应变比能都相同。
知识点：应力状态的基本概念、主应力与主方向
（D）任意材料，应力大小无限制。
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：易
解答：
正确答案是A。
（A）E和 ；
（B）E和G；
（C）G和 ；
（D）E、G和 。
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
解答：
正确答案是D。
， ， 。
9－34试确定材料的三个弹性常数之间的关系 成立的条件是：
（A）各向同性材料，应力不大于比例极限；
（B）各向同性材料，应力大小无限制；
（C）任意材料，应力不大于比例极限；
MPa
（b）切应力
MPa
正应力
MPa
9－2层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。若已知胶层切应力不得超过1MPa。试分析是否满足这一要求。
知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析
难度：易
解答：
MPa
MPa，不满足。
9－3结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。
（A）有应力一定有应变，有应变不一定有应力；
（B）有应力不一定有应变，有应变不一定有应力；
（C）有应力不一定有应变，有应变不一定有应力；
（D）有应力一定有应变，有应变一定有应力。
知识点：广义胡克定律
难度：一般
解答：
正确答案是B。
9－33对于图示的应力状态，若测出x、y方向的正应变 、 ，试确定材料的弹性常数有：
解答：
（1） 两式相除
解得
MPa
（2） MPa
9－17图示结构中，铝板的左边和下边被固定，上方与右方与刚性物体之间的间隙分别为 =0.75mm， = 1.0mm。已知E = 70GPa， = 0.33。 ℃。试求温升 = 40℃和 = 80℃时板中的最大切应力（假定板在自身平面内受力不发生弯曲）。
知识点：广义胡克定律
知识点：应变比能
难度：难
解答：
应变比能 （1）
广义胡克定律 （2）
（2）代入（1）得：
9－23试求图a中所示的纯切应力状态旋转45°后各面上的应力分量，并将其标于图b中。然后，应用习题9－22中的结果，分别计算图a和b两种情形下的应变比能，并令二者相等，从而证明：
知识点：应变比能
难度：一般
解答：
解： ， ，
知识点：平面应力状态分析
难度：难
解答：
左微元
叠加
面内最大切应力：
该点最大切应力：
左微元 ， ，
右微元 ， ，
叠加 ， ，
， ，
面内
该点
叠加
主应力
面内及该点： MPa
9－4已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB相垂直的面上，其值为 。试求应力分量 、 和 。
知识点：微元的截取与微元平衡
（C）最大主应力为500MPa，最大切应力为100MPa；
（D）最小主应力为100MPa，最大切应力为250MPa。
知识点：应力状态的基本概念、主应力与最大切应力
难度：一般
解答：
正确答案是B。
= 500MPa， = 100MPa， = 0， MPa。
9－31对于图示的应力状态（ ＞ ＞0），最大切应力作用面有以下四种，试选择哪一种是正确的。
（C）不一定是六面体微元，五面体微元也可以，其它形状则不行；
（D）微元形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的应力。
知识点：应力状态的基本概念
难度：一般
解答：
正确答案是D。
9－26对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的点A，试用平衡概念分析下列四种应力状态中哪一种是正确的。
知识点：平衡的概念与平衡方法
知识点：应力状态的基本概念
难度：一般
解答：
正确答案是B。
MPa
MPa
，为单向应力状态。
9－28试分析图示的四个应力状态是否等价，有下列四种答案。
（A）四者均等价；
（B）仅（a）和（b）等价；
（C）仅（b）、（c）等价；
（D）仅（a）和（c）等价。
知识点：应力状态的基本概念、主应力与主方向、应变比能
难度：一般
难度：一般
解答：
9－5从构件中取出的微元受力如图所示，其中AC为自由表面（无外力作用）。试求 和 。
知识点：微元平衡方法的应用
难度：一般
解答：
∴ MPa
MPa
Mpa
9－6构件微元表面AC上作用有数值为14MPa的压应力，其余受力如图所示。试求 和 。
知识点：微元平衡方法的应用
难度：一般
解答：
解得 MPa
难度：一般
解答：
正确答案是D。
四个应力状态的主应力， 、 、 ；其主力方向虽不全相同，但应变比能与主应力值有关，因此它们的应变比能相同。
9－30关于图示应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
（A）最大主应力为500MPa，最小主应力为100MPa；
（B）最大主应力为500MPa，最大切应力为250MPa；
难度：一般
解答：
1．主应力
MPa
2．主平面， 作用面位置。
主平面，
9－9一点处的应力状态在两种坐标中的表示方法分别如图a和b所示。试：
1．确定未知的应力分量 、 、 的大小；
2．用主应力表示这一点处的应力状态。
知识点：平面应力状态分析、主应力
难度：一般
解答：
1．a
2．
9－10试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为MPa。
知识点：广义胡克定律、压力容器应力分析
难度：一般
解答：
MPa
MPa
MPa
9－21液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa， = 0.30。试求当内压p=10MPa时，液压缸内径的改变量。
知识点：广义胡克定律、压力容器应力分析
难度：难
解答：
缸体上
MPa
MPa
9－22试证明对于一般应力状态，若应力应变关系保持线性，则应变比能
解答：
（1）
（2）
（1）＋（2），
（1）－（2），
∴ ，
9－19图示构件在z方向上的正应变被限制为零，即 = 0。这时垂直这一方向上的截面保持平面，而且两相邻截面间的距离保持不变，此即所谓平面应变问题的一种。已知 、 和E、 。试证明：
知识点：广义胡克定律
难度：一般
解答：
= 0， ，所以
9－20承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器如图所示。已知内压p=3.5MPa，材料的E = 75GPa， = 0.33。试求圆筒的半径改变量。
解得 <152MPa（2）
由（1）、（2）知，显然不存在。
2．当r＜OC
即 ＜183.3MPa时
解得 ＜120MPa
所以，取 ＜120MPa。
9－12对于图示的应力状态，若要求垂直于xy平面的面内最大切应力 150MPa，试求 的取值范围。
知识点：平面应力状态分析、应力圆的应用
难度：一般
解答：
应力圆半径 150MPa
知识点：平面应力状态分析的综合问题
难度：难
解答：
p
p
MPa
9－15图示外径D = 760mm、壁厚 =11mm的钢管，上端与蓄水池A连接，下端与泵房B连接。已知水的密度 = 1000kg/m3。试求钢管在静态下的最大正应力与最大切应力。
知识点：平面应力状态分析的综合问题
难度：难
解答：
管内内压 MPa
习题9-10图
知识点：空间应力状态的特例分析、简化为平面应力状态处理、主应力与最大切应力
难度：一般
解答：
图（a）：
MPa
图（b）：
MPa
9－11对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力 ＜160MPa，试求 取何值。
知识点：平面应力状态分析、最大切应力
难度：一般
解答：
1．当半径r＞OC
即 183.3MPa时（1）