角平分线的性质定理
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O
2
题设
E
பைடு நூலகம்
B
写出命题的证明过程
A D
已知：如图，OC平分∠AOB， C P 1 点P在OC上，PD⊥OA于点D， 2 PE⊥OB于点E O E B 求证: PD=PE 在△PDO和△PEO中 证明： ∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 ∵OC平分∠ AOB OP=OP ∴ ∠1= ∠2 ∴ △PDO ≌ △PEO ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴PD=PE ∴ ∠PDO= ∠PEO
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
A
数学语言：
∵点P是∠AOB平分线上的一点 PD⊥OA，PE⊥OB O ∴ PD=PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）
D
P
E B
记忆办法：垂直、垂直、平分 一定相等 定理的前提：点在角的平分线上，有垂直距离 定理的作用：以后可独立作为证明两条线段相等 的依据，不需要用全等三角形；
A C B
3、已知：∠AOB． ①求作：∠AOB的平分线．
A
②在角平分线作法的第二步中，
1 去掉大于“ 2 MN”的长
N
C
E
这个条件行吗？
O
B M
答：不行，否则所画的两条圆弧可能不会相交。 ③能保证你所作的射线是所求作的角平分线的依 据是 SSS
探究实验：
在你刚才所画的∠AOB的平分线中, 作PE ⊥ OA，PF ⊥ OB，测量一下PE,PF的长，你猜想一下PE、PF有什么数 量关系？多取几个点试试，与小组内其他同伴交流，取得 共识 后写出你的结论。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 ) 个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
B
（×）
A C
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
B
√
A
D
不必再证全等
C
定理的应用一：工程设计
例5：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路 距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建 在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
例6、如图，在直线MN上求作一点P，使P点到射 线OA与OB的距离相等。
B M O A N
探究二：
1、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如 图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD 相交于点O．请你猜想一下，筝形会有什么性质，用 语言描述你的发现，并挑其中一个予以证明。
本节课你学到了什么？
B
例8：三角形的三条角平分线交于一点， 求证它到三角形三边的距离相等。
A D N P B E C
F
M
例9 如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ 与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ． 求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线 的距离相等．
Ｃ 更上一层楼！ F H
Ｄ Ｐ Ｅ
Ａ
Ｂ
G
应用三：求线段的长（周长）
例10.如图,在△ABC中，AC⊥BC， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB， AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
A
E
C
B
D
拓展：先独立思考，再小组探究，交流
探究一：直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等, 则可供选择的地址有( ) A.一处 C.三处 B.两处 D.四处
应用二：证明两条线段相等
例7：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF=EB。 A 证明： ∵ AD平分∠CAB DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴ CD＝DE (角平分线的性质) E F 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, C D CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
A
C
1 2
B
A
③能保证你所作的射线是所求作的角平 分线的依据是
B
微课学习检测答案
1、点到直线的距离是指 过这个点向直线所作的垂线段的长
2、角的平分线推理格式
①∵ OC是∠AOB的平分线 1 ∴∠AOC＝∠COB＝ ∠AOB 2 O 1 ②∵ ∠AOC＝∠COB＝ ∠AOB 2 ∴ OC是∠AOB的平分线
你的猜想：
与其他组员的想法是否一致：
猜想：角平分线上一点到角两边的距离相等
折纸实验 几何画板的实验
命题：角平分线上一点到角两边的距离相等
证明命题为 真命题的步 结论： 骤： 1、明确题 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上， 设与结论 PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 2、用数学 求证: PD=PE A 语言表示为 已知求证 D 3、写出证 C 明过程 P 1
表达形式二：
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE
推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。
A D
P
O 1 2 E B
(角的平分线上的点到角的两边 的距离相等)
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
角平分线的性质
第一课时
微课学习检测（共100分。每空10分，画图10分）
1、点到直线的距离是指 2、角平分线的推理格式： ① ∵ ----------， ∴---------② ∵ ----------， ∴---------O 3、已知：∠AOB． ①求作：∠AOB的平分线．
②在角平分线作法的第二步中，去掉” 大于的 1 MN长”这个条件行吗？ O 2
2
题设
E
பைடு நூலகம்
B
写出命题的证明过程
A D
已知：如图，OC平分∠AOB， C P 1 点P在OC上，PD⊥OA于点D， 2 PE⊥OB于点E O E B 求证: PD=PE 在△PDO和△PEO中 证明： ∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 ∵OC平分∠ AOB OP=OP ∴ ∠1= ∠2 ∴ △PDO ≌ △PEO ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴PD=PE ∴ ∠PDO= ∠PEO
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
A
数学语言：
∵点P是∠AOB平分线上的一点 PD⊥OA，PE⊥OB O ∴ PD=PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）
D
P
E B
记忆办法：垂直、垂直、平分 一定相等 定理的前提：点在角的平分线上，有垂直距离 定理的作用：以后可独立作为证明两条线段相等 的依据，不需要用全等三角形；
A C B
3、已知：∠AOB． ①求作：∠AOB的平分线．
A
②在角平分线作法的第二步中，
1 去掉大于“ 2 MN”的长
N
C
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这个条件行吗？
O
B M
答：不行，否则所画的两条圆弧可能不会相交。 ③能保证你所作的射线是所求作的角平分线的依 据是 SSS
探究实验：
在你刚才所画的∠AOB的平分线中, 作PE ⊥ OA，PF ⊥ OB，测量一下PE,PF的长，你猜想一下PE、PF有什么数 量关系？多取几个点试试，与小组内其他同伴交流，取得 共识 后写出你的结论。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 ) 个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
B
（×）
A C
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
B
√
A
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不必再证全等
C
定理的应用一：工程设计
例5：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路 距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建 在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
例6、如图，在直线MN上求作一点P，使P点到射 线OA与OB的距离相等。
B M O A N
探究二：
1、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如 图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD 相交于点O．请你猜想一下，筝形会有什么性质，用 语言描述你的发现，并挑其中一个予以证明。
本节课你学到了什么？
B
例8：三角形的三条角平分线交于一点， 求证它到三角形三边的距离相等。
A D N P B E C
F
M
例9 如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ 与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ． 求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线 的距离相等．
Ｃ 更上一层楼！ F H
Ｄ Ｐ Ｅ
Ａ
Ｂ
G
应用三：求线段的长（周长）
例10.如图,在△ABC中，AC⊥BC， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB， AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
A
E
C
B
D
拓展：先独立思考，再小组探究，交流
探究一：直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等, 则可供选择的地址有( ) A.一处 C.三处 B.两处 D.四处
应用二：证明两条线段相等
例7：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF=EB。 A 证明： ∵ AD平分∠CAB DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴ CD＝DE (角平分线的性质) E F 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, C D CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
A
C
1 2
B
A
③能保证你所作的射线是所求作的角平 分线的依据是
B
微课学习检测答案
1、点到直线的距离是指 过这个点向直线所作的垂线段的长
2、角的平分线推理格式
①∵ OC是∠AOB的平分线 1 ∴∠AOC＝∠COB＝ ∠AOB 2 O 1 ②∵ ∠AOC＝∠COB＝ ∠AOB 2 ∴ OC是∠AOB的平分线
你的猜想：
与其他组员的想法是否一致：
猜想：角平分线上一点到角两边的距离相等
折纸实验 几何画板的实验
命题：角平分线上一点到角两边的距离相等
证明命题为 真命题的步 结论： 骤： 1、明确题 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上， 设与结论 PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 2、用数学 求证: PD=PE A 语言表示为 已知求证 D 3、写出证 C 明过程 P 1
表达形式二：
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE
推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。
A D
P
O 1 2 E B
(角的平分线上的点到角的两边 的距离相等)
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
角平分线的性质
第一课时
微课学习检测（共100分。每空10分，画图10分）
1、点到直线的距离是指 2、角平分线的推理格式： ① ∵ ----------， ∴---------② ∵ ----------， ∴---------O 3、已知：∠AOB． ①求作：∠AOB的平分线．
②在角平分线作法的第二步中，去掉” 大于的 1 MN长”这个条件行吗？ O 2