小波分析方法及其电力应用

WFT and Wavelet - Difference
Wavelet transform´s window could vary. For example, it uses long time-window for lowfrequency signal and short time-window for high-frequency signal.
傅立叶变换的示例
傅立叶变换的缺点
缺乏时间分辨率
短时傅立叶变换
由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分 析的能力，而在时域里不存在局部分析的 能力，因此Dennis Gabor于1946年提出短 时 傅 立 叶 变 换 (Short-time Fourier Transform) 。 短 时 傅 立 叶 变 换 的 基 本 思 想 是：把信号划分成许多小的时间间隔，用 傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确 定该时间间隔存在的频率。
FFT and Wavelet - Similarity
Both have basic functions to represent signals. FFT has only sines and cosines. Wavelet transform contains infinite number of basis functions called wavelets. The basis functions are localized in frequency, making it possible to pick out frequency components from signal.
3.3 什么是小波(wavelet)？
在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函 数
具有有限的持续时间 在有限的时间范围内，它的平均值等于零
小波的数学定义
设有一个函数 (t) , 其傅立叶变换是Ψ(ω).
当 ˆ (w) 满足如下容许性条件：
C
R
|
ˆ (w) |w |
|2
dw
(t) 被称为一个 母小波。
STFT的时间-频率关系图
1980：Morlet
20世纪70年代，在法国石油公司 工 作 的 年 轻 地 球 物 理 学 家 Jean Morlet 提 出 小 波 变 换 (wavelet transform，WT)的概念。
20世纪80年代, 开发了连续小波 变 换 (continuous wavelet transform， CWT)
小波的应用
J.Morlet，地震信号分析。 S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch，噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux，语音信号处理 H.Kim，时频分析 Beykin，正交小波用于算子和微分算子的简化
WFT and Wavelet - Difference
Windowed Fourier transform uses the same square window for all frequencies, the resolution is the same at all locations in the time-frequency plane.
continuous wavelet coefficients:
1
f (t) C
R
RWf
(a, b)
a,b
(t)
1 a2
dadb
This is called Inverse Continuous Wavelet Transform.
MATLAB的小波工具箱
wavemenu
5. 离散小波变换（DWT）
Alfred Haar对在函数空间中寻找一个 与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909 年他发现并使用了小波，后来被命名 为哈尔小波(Haar wavelets)
1946: Gabor 开发了短时傅立叶变换
STFT (t ,w) s(t)g(t t )e jwtdt
where: s(t) signal g(t)= windowing function
信号处理、图像处理
模式识别、语音识别
量子物理、地震勘探、流体力学、电磁场 、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分 形、数值计算…
3.2 小波发展简史
1807: Joseph Fourier 傅立叶理论指出，一个信号可表示 成一系列正弦和余弦函数之和，叫 做傅立叶展开式
1909: Alfred Haar
a is called scale factor（尺度因子，与频率有 关）
b is called translation factor（平移因子，与 时间有关）
伸缩和平移
连续小波变换
For signal f (t) L2(R) , its continuous
wavelet transform (CWT) is:
小波分析方法及其 在电力系统中的应用
内容
1. 引言 2. 回顾傅立叶分析 3. 小波变换简介 4. 连续小波变换 5. 离散小波变换 6. 小波包变换简介 7. 电力系统应用
1. 引言
传统的时频信号分析是建立在傅里叶变换 的基础上。但是，傅里叶分析只有频率分 辨率而没有时间分辨率。它无法表述信号 的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是 非平稳信号最根本和最关键的性质。
Morlet wavelet (t) et2 / 2 cos(w0t)
1986：Y.Meyer
法国科学家Y.Meyer与其同事创造性 地构造出具有一定衰减性的光滑函数 ，用于分析函数
用缩放(dilations)与平移(translations)
均为2 j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)
傅里叶变换可将信号从时域变换到频域进 行分析。从物理意义上讲，傅里叶变换的 实质是把时域信号波形分解成许多不同频 率的正弦波的叠加和。这样我们就可将对 原信号的研究转化为对其权系数，即傅里 叶变换系数的研究。
从傅里叶变换中可以看出，其标准基是由 正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频 域内是局部化的。
3.1 小波概述
小波变换是一种信号的时间—尺度(时间—频率) 分析方法，它具有多分辨率分析(Multi-resolution Analysis)的特点，而且在时频两域都具有表征信 号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变， 但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的 时频局部化分析方法。
小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较 低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分 辨率和较低的频率分辨率，具有自适应特性，很 适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示 其成分，所以被誉为分析信号的“数学显微镜”。
短时傅立叶变换(STFT)虽然在一定程度上克服了标 准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也
存在着问题：即当窗函数g(t)确定Leabharlann Baidu，矩形窗口的 形状就确定了，t、w只能改变窗口在相平面上的
位置，而不能改变窗口的形状。可以说STFT实质 上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则
必须重新选择窗函数g(t)。
基，正交基
In a 2-Dimension space, there are 3 vectors :
e1 (0,1)
e2 (-
3 ,- 1) 22
e3
(
3 ,- 1) 22
The following is an orthogonal base:
e1 (0,1) e2 (1,0)
连续小波变换具有冗余性
W f (a, b) f , a,b | a |1/ 2
f (t) (t b)dt
R
a
Where a, b R; a 0
Wf(a,b) is continuous wavelet coefficient （连
续小波系数）
CWT示例
连续小波逆变换
Signal f (t) can be reconstructed（重构） by its
4. 连续小波变换（CWT）
Continuous Wavelet Function（连续小 波函数） Dilation, contraction and translation of wavelets （小波的伸缩和平移） Continuous Wavelet Transform（连续 小波变换） Inverse CWT （连续小波逆变换） 参考：MATLAB的小波工具箱
因此，STFT用来分析平稳信号尚可，但对非平稳 信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频， 要求有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的 时刻，主频是低频，则要求比较高的频率分辨率， 而STFT不能兼顾两者。
3. 小波变换简介
小波概述 小波发展简史 什么是小波？ 小波——大家族 小波变换与傅立叶变换的异同
连续小波函数
The dilation, contraction （ 伸 缩 ） and translation （平移）of mother wavelet results in a set of continuous wavelets:
a,b
(t)
a
1 /
2
(t
a
b
),
a, b R; a 0
Drawback of CWT （连续小波变换的缺点） Discrete Wavelet Transform （离散小波变换） ...... Example: EMI noise analysis （示例：EMI信号 分析）
5.1 连续小波变换的缺点
Continuous wavelet functions are correlated. Mathematically speaking, the wavelet functions are not an orthogonal base （不是正交基）.
为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里 叶分析加以改进，提出短时傅立叶变换（ 加窗傅立叶变换）等方法，但仍有许多问 题难以解决。
小波分析也是一种时频分析的方法，它克 服了傅立叶分析的局限性，同时具有频率 分辨率和时间分辨率。
2. 回顾傅立叶分析
傅立叶变换（ Fourier Transform ）
Fast Fourier Transform (FFT) Discrete Fourier Transform (DFT) Short Time Fourier Transform (STFT)
3.4 小波——大家族
Orthogonal and compactly supported wavelet: （正交且紧支集的小波） Daubechies, coiflets, symlets,… Orthogonal but not compactly supported wavelet （正交但非紧支集的小波）: Meyer Crude wavelet: Morlet, Mexican hat,…
空间的规范正交基，使小波分析得到 发展
1988：Mallat算法
法国科学家Stephane Mallat提出多分辨 率概念，从空间上形象说明小波的多分辨 率的特性，并提出了正交小波的构造方法 和快速算法，称为Mallat金字塔算法
该算法统一了在此之前构造正交小波基 的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变 换在经典傅立叶分析中的地位。
FFT and Wavelet - Difference
Fourier Transform´s sine and cosine functions couldn´t provide time information. Wavelet functions are localized in time domain.
Continuous wavelet transform coefficients are correlated. CWT brings too much redundant information, and requires too much computation.
一些著名的小波：
1、Daubechies小波（db小波）
2、Coiflets小波 3、Symlets小波
4、Meyer小波
5、Morlet小波
6、Mexican Hat小波
3.5 小波变换与傅立叶变换的异同
FFT and Wavelet – Similarity FFT and Wavelet – Difference WFT and Wavelet – Difference