一类最优ZCZ序列集的构造

⎜⎜⎝ hi,0aL−1,0 h a i,1 L−1,1 " hi,T a −1 L−1,T −1 ⎟⎟⎠
进一步，若 H 是正交矩阵，则称 : 为正交保持运算。
定义 3[1] 设序列 a = (a0 , a1,", aL−1 ) ， e = (e0 , e1,"eT −1) ， et ∈ZL ={0,1,"L−1},0≤t <T 。
设序列集 Ψ 含 M 个周期为 N 的序列，如果集合中任意两个序列间的相关函数值在|τ|< Zcz内都为零，其中τ 为时延，则称 Ψ 为(N,M, Zcz)- ZCZ序列集。为了容纳更多的用户和减小 对同步的要求，构造ZCZ序列集时，在周期 N 给定的情况下，总希望序列数目M和零相关区
长度都尽可能的大。但是，ZCZ序列集的参数必须满足[5]中的理论界，即MZcz≤N。基于最 佳自相关序列和正交矩阵，Matsufuji等[8]和Hayashi等[9]分别构造了达到理论界(最优)的ZCZ 序列集。然而，如果不选取合适的正交矩阵，所构造的ZCZ序列会循环移位等价[10]，如果系 统时延稍微超过零相关区这种移位等价序列就可能造成最大干扰。并且，他们没有给出具体 的方法用以选取构造不移位等价ZCZ序列的正交矩阵。
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定义 3 设 Ψ 为一 (N , M , ZCZ ) - ZCZ 序列集，若 N = MZcz ，则称 Ψ 为最优序列集。
定义 4 令 A = (ai, j )L×T 为一个 L ×T 的矩阵，H = (hi, j )T×T 为一个 T ×T 矩阵。令 hi 是 H 的
τ = Tτ1 +τ 2，τ1 ≥ 0，0 ≤ τ2 < T ，则
T −τ 2 −1
T −1
∑ ∑ Ru,v (τ ) =
Ra (τ1 + ft+τ2 − et ) +
Ra (τ1 + 1+ ft+τ2 −T − et )
(4)
t=0
t =T −τ 2
对于同一个基序列 a ，两个不同的移位序列 e 和 f 可能产生两个循环移位等价的交织序
u0 1 = {-00-0+-0+0++0++0+--+-+0-++++++0+++++++-++-++--+--0+-0-+0-++-+0-+00-00-00-+--+++++-0+}
u1 1 = {-00+0--0+0+-0-+0++----0++-+-+-0-+-+-+---+++--+++-0++0++0--+++0--00-00+00---++-+-++0-}
序列集
Ψ = {uij : 0 ≤ i < m, 0 ≤ j < T} 。
(10)
例 1 设 a = (-++-0+0+-+++++--0-+00) 为三元最佳自相关序列，其中 L = 21 。设 H 为
T = 4 阶正交矩阵：
-3-
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⎡1 1 1 1 ⎤
uiT + j = Ui, j
(3)
序列 a 和 e 分别成为 u 的基序列和移位序列。简单起见，记 u = (Le0 (a), Le1 (a),", LeT−1 (a)) 。
引理 1[1] 设 u = (Le0 (a), Le1 (a),", LeT−1 (a)) ， v = (Lf0 (a), Lf1 (a),", LfT−1 (a)) 。设
交矩阵。ZCZ 序列集的构造由以下几步构成：
步骤 1： 计算 s = T −1(mod 2k +1) ，构造一组移位序列 bi = (bi,0 , bi,1,"bi,T −1), 0 ≤ i < m ，
-2-
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其中 bi,t =st + i(2k +1)(mod L),0 ≤ t<T , 并以矩阵形式排列为
" "
h a ⎤⎥ j,T −1 0+ei,T−1 h a ⎥ j,T −1 1+ei,T −1
#
#
#
⎥ ⎥
(9)
⎢⎣h a h a " h a ⎥⎦ j,0 L−1+ei,0
j,1 L−1+ei,1
j ,T −1 L−1+ei ,T −1
步骤 4．将矩阵Uij , 0 ≤ i < m, 0 ≤ j < T 中的元素逐行读出，构造交织序列 uij ，得到 ZCZ
⎡0 1 2 3⎤
⎢ ⎢
3
4
5
6
⎥ ⎥
⎢6 7 8 9⎥
B
=
⎢ ⎢
9
10
11 12⎥⎥
⎢12 13 14 15⎥
⎢
⎥
⎢15 16 17 18⎥
⎢⎣18 19 20 0 ⎥⎦
对矩阵 B 的同一列中的元素作合适的置换，得到矩阵
⎡0 1 2 6⎤
⎢ ⎢
3
4
20
3
⎥ ⎥
⎢ 6 7 17 0 ⎥
B
'
=
⎢ ⎢
9
u2 1 = {-00+0++0+0--0+-0+-+--+0+++--++0-++--+++-+------+-0-+0--0-+-++0+-00+00-00-+++++--+-0-}
⎡ b0,0
b0,1 " b0,T −1 ⎤
B
=
⎢ ⎢ ⎢
b1,0 #
b1,1
"
b1,T −1
⎥ ⎥
# # #⎥
(6)
⎢⎣bm−1,0
bm−1,1
"
bm−1,T
−1
⎥ ⎦
不改变列的位置，对矩阵 B 中同一列的元素做合适的置换，使得置换后的行向量
ei , 0 ≤ i < m 都不满足 (5)，得到下面的矩阵
0 ≤ t < T −τ2 T −τ2 ≤ t < T
（5）
其中 0 ≤ τ1 < L 且 ((0 ≤ τ 2 < T , e ≠ f ) 或者 (0 < τ 2 < T , e = f )) ，则称 e, f 为等价的移位序
列。
3．ZCZ序列集的系统化构造
构造 A: ZCZ序列集的系统化构造
设最佳自相关序列 a 的周期为 L ，其中 L = m(2k +1), m ≥ 2, k ≥ 0 ， H 为 T ≥ 4 阶正
H = ⎢⎢1 −1 1 −1⎥⎥ ⎢1 1 −1 −1⎥
⎢⎣1 −1 −1
1
⎥ ⎦
设 m = 7, 2k +1 = 3 , 则 s = T −1(mod 2k +1) = 2 。 按 照 步 骤 1 得 到 一 组 移 位 序 列
bi = (bi,0 , bi,1,"bi,T −1), 0 ≤ i < m ，并以矩阵形式排列为：
ei ，构造矩阵
⎡⎢ a0+ei,0
Ui
=
⎢ ⎢ ⎢
a1+ ei ,0 #
a0 + ei ,1 a1+ ei ,1
" "
a ⎤⎥ 0+ei,T−1 a ⎥ 1+ei,T −1
##
#
⎥ ⎥
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(8)
⎢⎣ aL −1+ ei ,0
a " a ⎥⎦ L−1+ei,1
L−1+ei ,T −1
下标中加法运算都是模 L 运算。
u0 0 = {-++0++-++-0--0++0+0++0++0+-++-++-++-+++-+++0+++-++-++--0--00-0--0-++-+0++00-00-00-++}
u1 0
=
{--+0+---++0+-0+-0-0-+0+-0---+++---+++-+++-+0+-+++---++-0-+00-0-+0++---0-+00+00-00++-}
用该方法可以构造新的最优ZCZ序列集，使得序列集中所有的序列都循环移位不等价。
2．预备知识
定义 1[2]设 u ,v 为两个长度为 N 的复数序列，周期相关函数 Ru,v (τ ) 定义为
N −1
∑ Ru,v (τ ) =
ui
v
* i
+τ
,
0≤τ < N
(1)
i=0
其中，* 表示共轭复数；下标中加法运算为模 N 运算。
⎡ e0,0
e0,1 " e0,T −1 ⎤
B'=
⎢ ⎢ ⎢
e1,0 #
e1,1
"
e1,T −1
⎥ ⎥
# # #⎥
(7)
⎢⎣em−1,0
em−1,1
"
em
−1,T
−1
⎥ ⎦
取出 B ' 中的行向量构造移位序列集 E = {e0 , e1,"em−1} 。 步骤 2： 根据最佳自相关序列 a 和移位序列集 E = {e0 , e1,", eT −1} 中的每一个移位序列
第 i 个行向量。定义 H : A ={h0 : A, h1 : A,", hT −1 : A} ，其中
⎛
⎜
hi
:
A
=
⎜ ⎜
hi ,0 a0,0
hi ,0 a1,0 #
hi,1a0,1 hi,1a1,1
" "
h a i,T −1 0,T −1 h a i,T −1 1,T −1
⎞ ⎟ ⎟
##
#⎟
(2)
列 u 和 v 。因此，有必要介绍移位序列等价的概念。
定义 5 如果存在一个整数τ = τ1T +τ 2 使得 ] L 上的两个移位序列 e = (e0 , e1,", eT −1) 和
f = ( f0 , f1,", fT −1) 满足如下方程组：
ft
=
⎧⎪ ⎨
et
+τ
2
⎪⎩et +τ 2
+τ1(mod L), +τ1 +1(mod L),
10 14
18⎥⎥
⎢12 13 11 15⎥
⎢
⎥
⎢15 16 8 12⎥
⎢⎣18 19 5 9 ⎥⎦
从矩阵 B ' 中的行向量构造移位序列 ei , 0 ≤ i < m ,这些移位序列都不满足式(1)。根据步
骤 2-4 得到一个 (84,28,3)-ZCZ 序列集 Ψ = {uij : 0 ≤ i < 7, 0 ≤ j < 4} ，如下所示。
本文给出了ZCZ序列的系统化构造方法。该方法以最佳自相关序列为基序列，通过构造 一组合适的移位序列，利用交织方法得到一组交织序列，最后利用正交矩阵将这组交织序列 扩为含有更多序列的ZCZ序列集。通过该方法，可以得到一大类ZCZ序列集，Matsufuji等和
Hayashi等构造的ZCZ序列集都是该方法的特例。进一步，对于任意的 T ≥ 4 阶正交矩阵，利
根据 a 和 e，可得如下矩阵
⎛ ⎜
a0+e0
U
=
⎜ ⎜
⎜
a1+e0 #
⎜⎝ aL−1+e0
a0+e1 a1+e1
" "
a ⎞⎟ 0+eT−1 a ⎟ 1+eT−1
#%
#
⎟ ⎟
a " a ⎟⎠ L−1+e1
L−1+eT −1
逐行读出矩阵 U 的元素，得到周期为 TL 的交织序列 u = (u0 , u1,"uTL−1) ，其中
1．引言
近年来，零相关区 ( zero correlation zone) 序列的设计及其在准同步CDMA系统中的应 用被广泛研究[ 2-11 ]。与传统扩频序列相比较，零相关区序列具有显著的优势，即在同步误范 围内(如1个或几个码片周期)仍然具有理想的自相关特性和理想互相关特性[3]。 ZCZ序列作 为准同步CDMA系统的主要扩频序列，扮演着重要的角色，直接影响系统性能的优劣。
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一类最优 ZCZ 序列集的构造1
周正春 1 2，潘臻 2，唐小虎 2
1 西南交通大学数学系，成都 (610031)
2 西南交通大学信息编码与传输四川省重点实验室，成都 (610031)
E-mail：zzc@home.swjtu.edu.cn
摘 要：基于交织技术，提出了 ZCZ 序列构造的新方法。对于任意长度为 L=m(2k+1), m≥4, k≥0 的最佳自相关序列和 T≥4 阶正交矩阵，用该方法可以构造达到理论界的 ZCZ 序列集， 且序列集中所有的序列都循环移位不等价，克服了已有方法的不足。 关键词：扩频序列；零相关区（ZCZ）；交织序列 中图分类号：TN914.42
步骤 3：利用正交矩阵 H 扩展序列的数目。即利用 H 和矩阵Ui 构造一组矩阵： Uij = hj :Ui , 0 ≤ i < m, 0 ≤ j < T
这里，
⎡ ⎢
h a j,0 0+ei,0
Uij
= hj
:Ui
=
⎢ ⎢ ⎢
h a j,0 1+ei,0 #
h a j,1 0+ei,1 h a j,1 1+ei,1
u2 0 = {-+-0+++-+-0+-0--0+0-+0--0++-+----+-+++-+++-0++-++++-+-+0--00-0++0----+0-+00+00+00---}
u3 0 = {---0+-++++0--0-+0-0++0-+0-++++-+----+---+--0+---+-+++++0-+00-0+-0+-+--0++00-00+00+-+}
定义 2[2] 设 a = (a0 , a1,"aL−1) ，若 ∀τ ≠ 0 (mod L), Ra,a (τ ) = 0 ，则称 a 为最佳自相关序
列。
1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20020004020）和新世纪优秀人才支持计划（项 目编号：04-0888）的资助。
-1-