计算流体力学第2讲差分方法2
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精确解：
注意：实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是 为了理论推导方便。若用实数形式 sin(kx), cos(kx)推导 形式上略显繁琐。
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 7
令： 设： （1）式化为：
“半离散化”： 空间导数差分 计算，时间方程
（常微）精确计算
2) 可选用逐点分裂，也可选用特征分裂。
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 35
2020/2/26
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 16
两类典型系数矩阵A： (1) 常系数矩阵A
双曲方程组的原则： 特征分解，找到独立传播的波 常系数矩阵A的情况：完全解耦，独立求解
变系数矩阵A的情况： 局部讨论
Copyright by Li Mingjun
微分与差分方程的影响域
2020/2/26 17
➢如何理论计算修正波数？ 方法：根据差分具体表达式及定义计算
例1： 1阶迎风格式：
令
则：
其中
。于是：
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 12
例2： 2阶迎风格式：
令
则：
其中
。
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 13
第4节 从模型方程推广到NS方程 （Euler方程）
差 和
前
差
局部冻结系数
j+1 …
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 30
(b) 通量分裂表示 通常写成守恒型差分，计算
在基架点上系数 不变
… j-2 j-1 j j+1 …
局部特征值采用
或者
Copyright by Li Mingjun
均可.
2020/2/26 31
(c) 具体步骤 假设初值 U， 且针对模型方程（线性单波方程）
(2) 严格特征分裂—— 基架点上冻结系数
优点： 严格保证（局部）特征方向，数值解质量好； 缺点： 大量矩阵运算，计算量大。
常系数方程组：
完全解 耦
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 29
(a) 变系数情况: 局部冻结系数
… j-2 j-1 j
计算：
分
别
采
用
后
在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 26
概念澄清： 流通矢量分裂本身不带来耗散， 但其会影响到差分的耗散;
精确满足，不引入误差！ 举例：
分裂
耗散 差分格式
分裂过程：
（耗散）
如果差分格式无耗散（例如都用中心差分），则通量分裂 不带来耗散。
Copyright by Li Mingjun
步骤的算法描述 （注意： 实际上是两重循环） do j=1,N do k=j-1,j+1 (网格基，可以是更多或更少点)
enddo
enddo do j=1,N
enddo
Copyright by Li Mingjun
2020/2/2364
作业题：
针对如下Sod 激波管问题
计算其数值解，画出t=0.14时刻密度、速度及压力的分布；并与精确解进 行比较（要求画在一张图上）。 要求: 1) 空间网格数100， 时间推进选用3阶Runge-Kutta,时间步长自选。
3) 利用已构造好的差分格式，计算通量
保持不变
4） 得到总通量
计算fj+1/2用到的点
… j-2 j-1 j j+1 …
5） 计算差分 （j点处）
wenku.baidu.com
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 33
(d) 算法描述例子
✓ 需要多次矩阵运 算，计算量大
✓ 守恒性好，耗散 小，数值解质量好
4.1 Jacobian 系数矩阵及其性质 4.2 对流项的分裂
(1) 两类典型的逐点分裂 (2) 严格特征分裂—— 基架点上冻结系数
2020/2/26
4.1 Jacobian 系数矩阵及其性质
对流项：信息（波）从上游传至下游 ，上游更重要，迎风差分 扩散项： 信息从中心向周围扩散，不区分上、下游，中心差分 迎风差分优点： 有效利用信息传播的方向，增强稳定性
计算流体力学讲义
第二讲 有限差分法（2）
李明军 湘潭大学 数学与计算科学学院 数学楼315； 52377625 email: alimingjun@163.com
第3节 差分格式的进一步分析 第4节 从模型方程推广到NS方程（Euler方程）
2020/2/26
第3节 差分格式的进一步分析
1. 耗散与色散误差 2.半离散分析与全离散分析
2020/2/26
u u 0 t x u(x,0) sin( x)
5
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26
➢对以上“实验现象”进行理论分
析 考查问题：
1阶迎风格式：
2阶迎风格式：
其他格式 ……
精确解： 差分格式： 假设对于：
（1）
有
差分没有误差
（2）
，并注意
2020/2/26 21
B: L-F分裂 特点： 足够大
正特征值 负特征值
缺点：耗散偏大
=
例如，可取
局部L-F分裂，每个点上计算
全局L-F分裂，全局（一维）上计算
常数
+
数学性质（光滑性） 最好，但耗散偏大
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 22
➢ 与迎风格式结合，等价于人工粘性
已构造出差分格式
1） 计算出 各变量在j+1/2的值（例如 术平均 （如
（1）
）可使用j, j+1 点值的算 ）或Roe平均 ;
由
计算；方法很多，例如前面介绍的
或
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 32
2） 在网格基上计算
注意，在该网格基上（例如k=j-1, j, j+1）
或者：
优点：耗散小 缺点：导数间断
=
+
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 19
➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
已知 1） 计算 2） 计算 3） 计算 4） 代入（1）式得到 5） 利用不同的迎风格式，分别计算
（后差，前差）
6）计算
7） 时间推进
隐含假设: 线性差分格式， 非线性 系统作用于单波， 会产 生多个谐波
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 6
2.半离散分析与全离散分析
-----如何理论计算修正波数 ➢半离散分析： 假设时间推进是精确的，仅分析空间
离散带来的误差（难度小、常用）
➢全离散分析： 同时分析时、空离散的误差 （难度大）
(2) 一般Jacobian 系数矩阵 A
N-S方程：
重要 性质
特点： A 可以像常数一样，和求导运算交换
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 18
4.2 对流项的分裂
目的： 确定波传播方向，便于使用迎风差分 方法： (1) 逐点分裂， (2) 严格特征分裂
(1) 两类典型的逐点分裂 （利用性质 A: Steger-Warming 分裂
精确解：
如果
， 无误差！
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 8
分析 （修正波数）与误差的关系：
设
(理想情况：
)
则
的误差导致解的幅值误差 ——耗散误差
的误差导致解传播速度的误差 —— 色散误差
的实部：耗散误差 的虚部：色散误差
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 9
定义：设
，修正波数 定义 为：
含义： 反应波数（谱）空间内差分的误差
任意函数：
求导数，精确解
差分解
Copyright by Li Mingjun
2020/2/2610
Fourier 分析的任务： 计算出 ，并考差其与 反映了一个波内的点数。 PPW （波内的点数）=
的逼近程度。
-----如何理论计算修正波数
2020/2/26
1. 耗散与色散误差
➢数值实验
➢ 时间推进： 3步TVD型Runge-Kutta, 且时间步长足够小 （误差忽略）
➢ 空间离散： 1阶及2阶迎风格式 （20个网格点）
实验观察到的现象—— 两类误差： ➢ 振幅误差 ➢ 相位误差 （波速误差）
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 3
精确解
u( x,t) sin( x t)
u u 0 t x u(x,0) sin( x)
1阶迎风 2阶迎风
uj (uj uj1)/ x
uj (3uj 4uj1 uj2 )/(2x)
4 Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 27
分裂后的流场越偏离原先流场，则总体耗散越大
向上平移
=
+
向下平移
结论：
● 如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏 感 （可使用逐点分裂）
● 如使用低阶精度差分格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用下面将介绍的特征分裂）
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 28
（人工粘性）
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 23
S-W: L-F:
Van Leer:
方式很多，典型的有3种
=
+
=
+
=
+
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2020/2/26 24
➢ 逐点分裂的特征
优点： 无需矩阵运算，计算量小 缺点： 分裂后改变了特征方向， 耗散大
N-S方程：
单波方程：
格式F+ 格式F-
单波方程： 一个波，容易判断波传播方向 N-S对流项（Euler）：方程组，多波问题， 复杂
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 15
何为迎风格式？ 单波方程： 对于正数a,说明波沿x正方向传播，如下图所示：
采用空间向后差分格式：
优秀的差分格式，1 个波长里面6个点 即可
✓ 考察格式分辨率（resolution）的重要指标
精度： 反映
时的情况
精度
分辨率
分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的 性能， 对于多尺度问题，分辨率更重要。 （牺牲精度， 提高分辨率）
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 11
利用性质
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 25
变系数， 不能与导数交换
一般情况下
分裂后 失去了A的性质（可以像常数一样与求导交换）
实质： 没有做到解耦； 只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证 f+ 向正向传播，f-向负向传播
缺点： 由于未解耦，各变量的误差会相互传递
Copyright by Li Mingjun
（1）
2020/2/26 20
➢二维问题的steger-Warming 分裂
令： 则：
对于曲线坐标系 仅需令
具体使用步骤， 以计算
1) 令 2) 计算特征值
3) 分裂特征值，计算
为例
4) 带入左式，计算正、负流通矢量 5) 计算
计算 设置
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注意：实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是 为了理论推导方便。若用实数形式 sin(kx), cos(kx)推导 形式上略显繁琐。
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2020/2/26 7
令： 设： （1）式化为：
“半离散化”： 空间导数差分 计算，时间方程
（常微）精确计算
2) 可选用逐点分裂，也可选用特征分裂。
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 35
2020/2/26
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 16
两类典型系数矩阵A： (1) 常系数矩阵A
双曲方程组的原则： 特征分解，找到独立传播的波 常系数矩阵A的情况：完全解耦，独立求解
变系数矩阵A的情况： 局部讨论
Copyright by Li Mingjun
微分与差分方程的影响域
2020/2/26 17
➢如何理论计算修正波数？ 方法：根据差分具体表达式及定义计算
例1： 1阶迎风格式：
令
则：
其中
。于是：
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 12
例2： 2阶迎风格式：
令
则：
其中
。
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 13
第4节 从模型方程推广到NS方程 （Euler方程）
差 和
前
差
局部冻结系数
j+1 …
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 30
(b) 通量分裂表示 通常写成守恒型差分，计算
在基架点上系数 不变
… j-2 j-1 j j+1 …
局部特征值采用
或者
Copyright by Li Mingjun
均可.
2020/2/26 31
(c) 具体步骤 假设初值 U， 且针对模型方程（线性单波方程）
(2) 严格特征分裂—— 基架点上冻结系数
优点： 严格保证（局部）特征方向，数值解质量好； 缺点： 大量矩阵运算，计算量大。
常系数方程组：
完全解 耦
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 29
(a) 变系数情况: 局部冻结系数
… j-2 j-1 j
计算：
分
别
采
用
后
在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 26
概念澄清： 流通矢量分裂本身不带来耗散， 但其会影响到差分的耗散;
精确满足，不引入误差！ 举例：
分裂
耗散 差分格式
分裂过程：
（耗散）
如果差分格式无耗散（例如都用中心差分），则通量分裂 不带来耗散。
Copyright by Li Mingjun
步骤的算法描述 （注意： 实际上是两重循环） do j=1,N do k=j-1,j+1 (网格基，可以是更多或更少点)
enddo
enddo do j=1,N
enddo
Copyright by Li Mingjun
2020/2/2364
作业题：
针对如下Sod 激波管问题
计算其数值解，画出t=0.14时刻密度、速度及压力的分布；并与精确解进 行比较（要求画在一张图上）。 要求: 1) 空间网格数100， 时间推进选用3阶Runge-Kutta,时间步长自选。
3) 利用已构造好的差分格式，计算通量
保持不变
4） 得到总通量
计算fj+1/2用到的点
… j-2 j-1 j j+1 …
5） 计算差分 （j点处）
wenku.baidu.com
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2020/2/26 33
(d) 算法描述例子
✓ 需要多次矩阵运 算，计算量大
✓ 守恒性好，耗散 小，数值解质量好
4.1 Jacobian 系数矩阵及其性质 4.2 对流项的分裂
(1) 两类典型的逐点分裂 (2) 严格特征分裂—— 基架点上冻结系数
2020/2/26
4.1 Jacobian 系数矩阵及其性质
对流项：信息（波）从上游传至下游 ，上游更重要，迎风差分 扩散项： 信息从中心向周围扩散，不区分上、下游，中心差分 迎风差分优点： 有效利用信息传播的方向，增强稳定性
计算流体力学讲义
第二讲 有限差分法（2）
李明军 湘潭大学 数学与计算科学学院 数学楼315； 52377625 email: alimingjun@163.com
第3节 差分格式的进一步分析 第4节 从模型方程推广到NS方程（Euler方程）
2020/2/26
第3节 差分格式的进一步分析
1. 耗散与色散误差 2.半离散分析与全离散分析
2020/2/26
u u 0 t x u(x,0) sin( x)
5
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26
➢对以上“实验现象”进行理论分
析 考查问题：
1阶迎风格式：
2阶迎风格式：
其他格式 ……
精确解： 差分格式： 假设对于：
（1）
有
差分没有误差
（2）
，并注意
2020/2/26 21
B: L-F分裂 特点： 足够大
正特征值 负特征值
缺点：耗散偏大
=
例如，可取
局部L-F分裂，每个点上计算
全局L-F分裂，全局（一维）上计算
常数
+
数学性质（光滑性） 最好，但耗散偏大
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 22
➢ 与迎风格式结合，等价于人工粘性
已构造出差分格式
1） 计算出 各变量在j+1/2的值（例如 术平均 （如
（1）
）可使用j, j+1 点值的算 ）或Roe平均 ;
由
计算；方法很多，例如前面介绍的
或
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 32
2） 在网格基上计算
注意，在该网格基上（例如k=j-1, j, j+1）
或者：
优点：耗散小 缺点：导数间断
=
+
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2020/2/26 19
➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
已知 1） 计算 2） 计算 3） 计算 4） 代入（1）式得到 5） 利用不同的迎风格式，分别计算
（后差，前差）
6）计算
7） 时间推进
隐含假设: 线性差分格式， 非线性 系统作用于单波， 会产 生多个谐波
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2020/2/26 6
2.半离散分析与全离散分析
-----如何理论计算修正波数 ➢半离散分析： 假设时间推进是精确的，仅分析空间
离散带来的误差（难度小、常用）
➢全离散分析： 同时分析时、空离散的误差 （难度大）
(2) 一般Jacobian 系数矩阵 A
N-S方程：
重要 性质
特点： A 可以像常数一样，和求导运算交换
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2020/2/26 18
4.2 对流项的分裂
目的： 确定波传播方向，便于使用迎风差分 方法： (1) 逐点分裂， (2) 严格特征分裂
(1) 两类典型的逐点分裂 （利用性质 A: Steger-Warming 分裂
精确解：
如果
， 无误差！
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 8
分析 （修正波数）与误差的关系：
设
(理想情况：
)
则
的误差导致解的幅值误差 ——耗散误差
的误差导致解传播速度的误差 —— 色散误差
的实部：耗散误差 的虚部：色散误差
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 9
定义：设
，修正波数 定义 为：
含义： 反应波数（谱）空间内差分的误差
任意函数：
求导数，精确解
差分解
Copyright by Li Mingjun
2020/2/2610
Fourier 分析的任务： 计算出 ，并考差其与 反映了一个波内的点数。 PPW （波内的点数）=
的逼近程度。
-----如何理论计算修正波数
2020/2/26
1. 耗散与色散误差
➢数值实验
➢ 时间推进： 3步TVD型Runge-Kutta, 且时间步长足够小 （误差忽略）
➢ 空间离散： 1阶及2阶迎风格式 （20个网格点）
实验观察到的现象—— 两类误差： ➢ 振幅误差 ➢ 相位误差 （波速误差）
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 3
精确解
u( x,t) sin( x t)
u u 0 t x u(x,0) sin( x)
1阶迎风 2阶迎风
uj (uj uj1)/ x
uj (3uj 4uj1 uj2 )/(2x)
4 Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 27
分裂后的流场越偏离原先流场，则总体耗散越大
向上平移
=
+
向下平移
结论：
● 如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏 感 （可使用逐点分裂）
● 如使用低阶精度差分格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用下面将介绍的特征分裂）
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2020/2/26 28
（人工粘性）
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 23
S-W: L-F:
Van Leer:
方式很多，典型的有3种
=
+
=
+
=
+
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 24
➢ 逐点分裂的特征
优点： 无需矩阵运算，计算量小 缺点： 分裂后改变了特征方向， 耗散大
N-S方程：
单波方程：
格式F+ 格式F-
单波方程： 一个波，容易判断波传播方向 N-S对流项（Euler）：方程组，多波问题， 复杂
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2020/2/26 15
何为迎风格式？ 单波方程： 对于正数a,说明波沿x正方向传播，如下图所示：
采用空间向后差分格式：
优秀的差分格式，1 个波长里面6个点 即可
✓ 考察格式分辨率（resolution）的重要指标
精度： 反映
时的情况
精度
分辨率
分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的 性能， 对于多尺度问题，分辨率更重要。 （牺牲精度， 提高分辨率）
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2020/2/26 11
利用性质
Copyright by Li Mingjun
2020/2/26 25
变系数， 不能与导数交换
一般情况下
分裂后 失去了A的性质（可以像常数一样与求导交换）
实质： 没有做到解耦； 只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证 f+ 向正向传播，f-向负向传播
缺点： 由于未解耦，各变量的误差会相互传递
Copyright by Li Mingjun
（1）
2020/2/26 20
➢二维问题的steger-Warming 分裂
令： 则：
对于曲线坐标系 仅需令
具体使用步骤， 以计算
1) 令 2) 计算特征值
3) 分裂特征值，计算
为例
4) 带入左式，计算正、负流通矢量 5) 计算
计算 设置
Copyright by Li Mingjun