高中数学复习-数列的概念及简单表示法

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5.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点 数构成的数列的一个通项公式an＝________.
答案 5n－4
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考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例 1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，145，365，683，1909，…； (3)12，2，92，8，225，…； (4)5，55，555，5 555，….
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【训练 1】 (1)数列 0，23，45，67，…的一个通项公式为( )
A.an＝nn－ ＋12(n∈N*)
B.an＝2nn－＋11(n∈N*)
C.an＝2（2nn－ －11）(n∈N*)
D.an＝2n2＋n 1(n∈N*)
(2)数列－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…的一个通项公式 an＝ ________.
从第二项起,有些项大于它的前一项, 摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
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3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与_序__号__n_之间的关系可以 用一个式子_a_n_＝__f(_n_)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项 公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第二 项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的 关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递 推公式. 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn，则 an＝S__S1__n_－__S_n－__1（ _ n＝ （1n） ≥， 2）.
列表法 图象法
பைடு நூலகம்
通项公式法
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2.数列的分类
分类原则 类型
满足条件
有穷数列 按项数分类
无穷数列
项数_有__限_ 项数_无__限__
按项与项间 递增数列
的大小关系 递减数列
分类
常数列
an＋1—＞——an an＋1—＜——an an＋1＝an
其中n∈N*
按其他标准 分类
有界数列
存在正数M,使|an|≤M
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解析 (1)数列：1,2,3和数列：3,2,1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
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2.(2017·长沙模拟)已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此 归纳该数列的通项不可能是( )
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诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达.( ) (4) 根 据 数 列 的 前 几 项 归 纳 出 的 数 列 的 通 项 公 式 可 能 不 止 一 个.( )
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(2)法一 因为 an＝n－n 1an－1(n≥2)，所以 an－1＝nn－ －21·an－2，…， a2＝12a1，以上(n－1)个式子的等号两端分别相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n. 法二 因为 an＝aan－n 1·aann－ －12·aann－ －23·…·aa32·aa21·a1＝n－n 1·nn－ －21·nn－ －12·…·1＝1n. (3)设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1＋t＝ 2(an＋t)，即 an＋1＝2an＋t，解得 t＝3. 故 an＋1＋3＝2(an＋3).令 bn＝an＋3， 则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2.
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解析 (1)注意到分子 0，2，4，6 都是偶数，对照选项排除 即可. (2)这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒 数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)nn（n1＋1）. 答案 (1)C (2)(－1)nn（n1＋1）
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所以{bn}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列.
∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
答案
(1)n（n＋2 1）＋1
1 (2)n
(3)2n＋1－3
规律方法 (1)形如 an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和， 特别注意能消去多少项，保留多少项.
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(2)由 Sn＝23an＋13，得当 n≥2 时，Sn－1＝23an－1＋13，
两式相减，得 an＝23an－23an－1，∴当 n≥2 时，an＝－2an－1， 即aan－n 1＝－2.又 n＝1 时，S1＝a1＝23a1＋13，a1＝1， ∴an＝(－2)n－1.
答案
2，n＝1 (1)6n－5，n≥2
(2)形如 an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为aan＋n 1＝f(n)的形式，可用
累乘法，也可用 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 代入求出通项.
(3)形如 an＋1＝pan＋q 的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x) 的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量 x 是关键.
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(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列 9， 99，999，…的通项为 10n－1，故所求的数列的一个通项公 式为 an＝59(10n－1). 规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观 察分析,抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征； (4)符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观 察、归纳、联想.
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显然当 n＝1 时，不满足上式.∴an＝42， ·3nn－＝1，1n，≥2.
答案
(1)－2n－1
4，n＝1， (2)2·3n－1，n≥2
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考点三 由数列的递推关系求通项公式
【例 3】 在数列{an}中， (1)若 a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式 an＝________. (2)若 a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2)，则通项公式 an＝________. (3)若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式 an＝________.
B.16
C.49
解析 当n＝8时,a8＝S8－S7＝82－72＝15. 答案 A
) D.64
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4.已知an＝n2＋λn,且对于任意的n∈N*,数列{an}是递增数列, 则实数λ的取值范围是________. 解析 因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an＋1 ＞an,即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn,整理, 得2n＋1＋λ＞0,即λ＞－(2n＋1).(*) 因为n≥1,所以－(2n＋1)≤－3,要使不等式(*)恒成立,只需λ ＞－3. 答案 (－3,＋∞)
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【训练 2】 (1)(2017·河南八校一联)在数列{an}中，Sn 是其前 n 项和，且 Sn＝2an＋1，则数列的通项公式 an＝________. (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋1，则数列的通项公式 an ＝________.
解析 (1)依题意得 Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得 Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即 an＋1＝2an，又 S1＝2a1＋1＝a1，因 此 a1＝－1，所以数列{an}是以 a1＝－1 为首项、2 为公比的 等比数列，an＝－2n－1. (2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
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【训练 3】 (1)已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝
3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an＝________.
(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋n（n1＋1），则通项公
式 an＝________.
解析 (1)由 an＋2＋2an－3an＋1＝0，得 an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∴数列{an＋1－an}是以 a2－a1＝3 为首项，2 为公比的等比数 列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴n≥2 时，an－an－1＝3×2n－2，…， a3－a2＝3×2，a2－a1＝3， 将以上各式累加得 an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)， ∴an＝3×2n－1－2(当 n＝1 时，也满足).
(2)(－2)n－1
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规律方法 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝ SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2.①当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－Sn－1，则 n ＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；②当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示. 易错警示 在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易 忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项公式写成 an＝Sn －Sn－1 的形式，但它只适用于 n≥2 的情形.
列中的每一个数叫做这个数列的____项_.
(2)数列与函数的关系：从函数观点看,数列可以看成以正
整数集N*(或它的有限子集)为_定__义__域__的函数an＝f(n),当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
(3)数列有三种表示法,它们分别是_________、________和
____________.
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考点二 由Sn与an的关系求an (易错警示)
【例 2】 (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2－2n＋1，则数
列{an}的通项公式 an＝________.
(2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an＋13，则{an}的通项公
式 an＝________.
解析 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－ 1)＋1]＝6n－5，显然当 n＝1 时，不满足上式.故数列的 通项公式为 an＝26， n－n＝ 5，1， n≥2.
解 (1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(－
1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝
对值大6,故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
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(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数 的乘积，分子依次为 2，4，6，…，相邻的偶数.故所求数列的一 个通项公式为 an＝（2n－1）2n（2n＋1）. (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统 一成分数再观察.即12，42，92，126，225，…，分子为项数的平方，从 而可得数列的一个通项公式为 an＝n22.
• 第1讲 数列的概念及简单表示法
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最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊 函数.
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知识梳理
1.数列的概念 (1)数列的定义：按照_一__定__顺__序__排列的一列数称为数列,数
解析 (1)由题意得，当 n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－ a2) ＋ … ＋ (an － an － 1) ＝ 2 ＋ (2 ＋ 3 ＋ … ＋ n) ＝ 2 ＋ （n－1）2（2＋n）＝n（n＋ 2 1）＋1. 又 a1＝2＝1×（12＋1）＋1，符合上式， 因此 an＝n（n＋ 2 1）＋1.
A.an＝(－1)n－1＋1
B.an＝20，，nn为为奇偶数数，
C.an＝2sinn2π
D.an＝cos(n－1)π＋1
解析 对 n＝1，2，3，4 进行验证，an＝2sinn2π不合题意， 故选 C. 答案 C
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3.设数列{an}的前n项和Sn＝n2,则a8的值为(
A.15