序列相关性模型
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2
§1.1
序列相关及其产生的后果
对于线性回归模型
y t = β 0 + β 1 x 1t + β 2 x 2 t + L + β k x kt + u t
随机扰动项之间不相关， 随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为
(1.1)
cov( u t , u t − s ) = 0
s ≠ 0 , t = 1 , 2 ,L , T
ϕ k , j = ϕ k −1, j − ϕ k , k ϕ k −1, k − j
这是偏相关系数的一致估计。 这是偏相关系数的一致估计。
（2.28） ）
8
我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关 和偏自相关系数（在本章5.2.4节给出相应的公式） ， 以 节给出相应的公式） 和偏自相关系数 （在本章 节给出相应的公式 统计量来检验序列相关。 统计量的表 及Ljung-Box Q-统计量来检验序列相关。Q-统计量的表 统计量来检验序列相关 达式为： 达式为：
回归模型中的序列相关性及其修正
古典回归技术及其预测和检验基于如下假定展开： 古典回归技术及其预测和检验基于如下假定展开： （ 1）随机误差项具有零均值和同方差， 并且服从正 ） 随机误差项具有零均值和同方差， 态分布； 态分布； （2）随机误差项之间不相关； ）随机误差项之间不相关； （3）解释变量与随机误差项不相关； ）解释变量与随机误差项不相关； （4）解释变量非随机。 解释变量非随机。
(1.2)
如果扰动项序列u 表现为： 如果扰动项序列 t表现为：
cov( u t , u t − s ) ≠ 0
s ≠ 0 , t = 1 , 2 ,L , T
(1.3)
即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的， 即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的， 而 是 存 在 某 种 相 关 性 ， 则 认 为 出 现 了 序 列 相 关 性 (serial correlation)。 。
1
§1
序列相关理论
如果线性回归方程的扰动项u 满足古典回归假设， 如果线性回归方程的扰动项 t 满足古典回归假设 ， 使用OLS所得到的估计量是线性无偏最优的。 所得到的估计量是线性无偏最优的。 使用 所得到的估计量是线性无偏最优的 但是如果扰动项u 不满足古典回归假设， 但是如果扰动项 t不满足古典回归假设，回归方程的 估计结果会发生怎样的变化呢？ 理论与实践均证明 ， 扰 估计结果会发生怎样的变化呢 ？ 理论与实践均证明， 动项u 关于任何一条古典回归假设的违背， 动项 t关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归 方程的估计结果不再具有上述的良好性质。 因此， 方程的估计结果不再具有上述的良好性质 。 因此 ， 必须 建立相关的理论， 建立相关的理论 ， 解决扰动项不满足古典回归假设所带 来的模型估计问题。 来的模型估计问题。
3
§1.2
序列相关的检验方法
EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。 但 提供了检测序列相关和估计方法的工具。 提供了检测序列相关和估计方法的工具 首先必须排除虚假序列相关。 首先必须排除虚假序列相关 。 虚假序列相关是指模型的 序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。 例如， 序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的 。 例如， 在生产函数模型中， 在生产函数模型中 ， 如果省略了资本这个重要的解释变 资本对产出的影响就被归入随机误差项。 量 ， 资本对产出的影响就被归入随机误差项 。 由于资本 在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性， 在时间上的连续性 ， 以及对产出影响的连续性 ， 必然导 致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下， 致随机误差项的序列相关 。 所以在这种情况下 ， 要把显 著的变量引入到解释变量中。 著的变量引入到解释变量中。
(1.9)
这是对原始回归因子Xt 和直到 阶的滞后残差的回归。 阶的滞后残差的回归。 这是对原始回归因子 和直到p阶的滞后残差的回归 LM检验通常给出两个统计量：F统计量和T×R2统计量。F LM检验通常给出两个统计量 检验通常给出两个统计量： 统计量和T 统计量。 统计量是对式（ ）所有滞后残差联合显著性的一种检验。 统计量是对式（1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检验。 T×R2统计量是 × 统计量是LM检验统计量，是观测值个数 乘以回归 检验统计量， 检验统计量 是观测值个数T乘以回归 方程（ ） 一般情况下， × 方程（1.9）的R2。一般情况下，T×R2统计量服从渐进的χ
ln( inv t ) = β 1 rt −1 + β 2 ln( gnp t ) + u t
t = 1, 2, …, T
11
应用最小二乘法得到的估计方程如下： 应用最小二乘法得到的估计方程如下：
ˆ ln( inv t ) = − 0 . 016 rt −1 + 0 . 734 ln( gnp t ) + u t
9
在EViews软件中的操作方法： EViews软件中的操作方法 软件中的操作方法：
在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogram在方程工具栏选择 Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数 。 将显示残差的自相关和偏自相关函数 以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果残 统计量。 以及对应于高阶序列相关的 统计量 差不存在序列相关， 差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都 接近于零。所有的Q 统计量不显著，并且有大的P 接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。
u t = ρ u t −1 + ε t
(1.6)
D_W统计量检验的原假设：ρ = 0，备选假设是 ρ ≠ 0。 统计量检验的原假设： 统计量检验的原假设
D .W . =
∑
T
t=2
ˆ ˆ ( u t − u t −1 ) 2
∑
T
ˆ ≈ 2 (1 − ρ )
5
t =1
ˆ u t2
Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足 Dubin-Waston 统计量检验序列相关有三个主要不足 ： 统计量检验序列相关有三个主要不足： 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵 。 ． 统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵 2． 回归方程右边如果存在滞后因变量 ， D-W检验不 ． 回归方程右边如果存在滞后因变量， 检验不 再有效。 再有效。 3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。 ．仅仅检验是否存在一阶序列相关。 其他两种检验序列相关方法： 统计量和 统计量和Breush其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和 Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。 检验克服了上述不足， 检验克服了上述不足 应用于大多数场合。
t =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.94
12
Leabharlann Baidu
选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果： 会产生如下结果： 选择 会产生如下结果
虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如 果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显 果自相关值在这个区域内，则在显著水平为 的情形下与零没有显 著区别。 著区别。 本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1 本例 阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在 阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线 阶序列相关。 阶滞后的 统计量的P值很小 拒绝原假设， 阶滞后的Q-统计量的 值很小， 阶序列相关。1阶滞后的 统计量的 值很小，拒绝原假设，残差序列 存在一阶序列相关。 存在一阶序列相关。
10
例1: 利用相关图检验残差序列的相关性 考虑美国的一个投资方程。美国的 考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总 和国内私人总 投资INV是单位为 亿美元的名义值，价格指数 为GNP的 是单位为10亿美元的名义值 投资 是单位为 亿美元的名义值，价格指数P为 的 平减指数（ ），利息率 为半年期商业票据利息。 平减指数（1972=100），利息率 为半年期商业票据利息。 ），利息率R为半年期商业票据利息 回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是 和实际投资； 回归方程所采用的变量都是实际 和实际投资 通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp， 通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母 ， inv表示。实际利息率的近似值 则是通过贴现率 减去价格 表示。 则是通过贴现率R减去价格 表示 实际利息率的近似值r则是通过贴现率 指数变化率p得到的 样本区间： 得到的。 指数变化率 得到的。样本区间：1963年～1984年，建立如 年 年 下线性回归方程： 下线性回归方程：
4
EViews提供了以下 种检测序列相关的方法。 提供了以下3种检测序列相关的方法 提供了以下 种检测序列相关的方法。 1．D_W统计量检验 D_W统计量检验 Durbin-Watson 统计量（简称 统计量（简称D_W统计量）用于检 统计量） 统计量 验一阶序列相关， 验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联 系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程： 对于扰动项 建立一阶自回归方程：
Q LB = T (T + 2 )∑
p
r j2 T− j
(1.7)
j =1
其中： 阶自相关系数， 其中：rj是残差序列的 j 阶自相关系数，T是观测值的个 阶滞后的Q-统计量的 数，p是设定的滞后阶数 。p阶滞后的 统计量的原假设 阶滞后的 统计量的原假设 是：序列不存在p阶自相关；备选假设为：序列存在p阶自 序列不存在p阶自相关；备选假设为：序列存在p 相关。 相关。
6
2 . 相关图和Q -统计量 相关图和Q
1. 自相关系数 滞后k阶的自相关系数由下式估计 时间序列ut滞后 阶的自相关系数由下式估计
rk
其中
∑ =
T
t = k +1
(u t − u )(u t − k T 2 ∑ t =1 (u t − u )
−u)
（2.26） ）
是序列的样本均值， 期值的相关系数。 u 是序列的样本均值，这是相距k期值的相关系数。称 的自相关系数， rk为时间序列ut的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画 一个随机过程的性质。 一个随机过程的性质。它告诉我们在序列ut的邻近数据之间 存在多大程度的相关性。 存在多大程度的相关性。
7
2．偏自相关系数 偏自相关系数是指在给定u 的条件下， 偏自相关系数是指在给定 t-1， ut-2， …，ut-k-1的条件下 ， ， ut与ut-k之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数ϕk,k 之间的条件相关性。 度量。 度量。在k阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下 阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下
ϕ k ,k
r1 = r − k −1 ϕ ∑ j =1 k −1, j rk − j k 1 − ∑ k −1 ϕ k −1, j rk − j j =1
k =1
k >1
（2.27） ）
其中： 是在k阶滞后时的自相关系数估计值 阶滞后时的自相关系数估计值。 其中：rk 是在 阶滞后时的自相关系数估计值。
13
3 . 序列相关的LM检验 序列相关的LM检验
与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关 统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关 不同， 检验（ 不同，Breush-Godfrey LM检验（Lagrange multiplier， 检验 ， 即拉格朗日乘数检验） 即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残 差序列是否存在高阶自相关， 差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后 因变量的情况下， 检验仍然有效 检验仍然有效。 因变量的情况下，LM检验仍然有效。 LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关， LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关， 检验原假设为 p为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶自相关。 为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶自相关。 检验统计量由如下辅助回归计算。 检验统计量由如下辅助回归计算。
14
（1）估计回归方程，并求出残差 t ）估计回归方程，并求出残差e
e t = y t − βˆ 0 − βˆ 1 x 1 t − βˆ 2 x 2 t − L − βˆ k x kt
（2）检验统计量可以基于如下回归得到 ）
(1.8)
e t = X t γ + α 1 e t −1 + L + α p e t − p + v t
§1.1
序列相关及其产生的后果
对于线性回归模型
y t = β 0 + β 1 x 1t + β 2 x 2 t + L + β k x kt + u t
随机扰动项之间不相关， 随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为
(1.1)
cov( u t , u t − s ) = 0
s ≠ 0 , t = 1 , 2 ,L , T
ϕ k , j = ϕ k −1, j − ϕ k , k ϕ k −1, k − j
这是偏相关系数的一致估计。 这是偏相关系数的一致估计。
（2.28） ）
8
我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关 和偏自相关系数（在本章5.2.4节给出相应的公式） ， 以 节给出相应的公式） 和偏自相关系数 （在本章 节给出相应的公式 统计量来检验序列相关。 统计量的表 及Ljung-Box Q-统计量来检验序列相关。Q-统计量的表 统计量来检验序列相关 达式为： 达式为：
回归模型中的序列相关性及其修正
古典回归技术及其预测和检验基于如下假定展开： 古典回归技术及其预测和检验基于如下假定展开： （ 1）随机误差项具有零均值和同方差， 并且服从正 ） 随机误差项具有零均值和同方差， 态分布； 态分布； （2）随机误差项之间不相关； ）随机误差项之间不相关； （3）解释变量与随机误差项不相关； ）解释变量与随机误差项不相关； （4）解释变量非随机。 解释变量非随机。
(1.2)
如果扰动项序列u 表现为： 如果扰动项序列 t表现为：
cov( u t , u t − s ) ≠ 0
s ≠ 0 , t = 1 , 2 ,L , T
(1.3)
即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的， 即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的， 而 是 存 在 某 种 相 关 性 ， 则 认 为 出 现 了 序 列 相 关 性 (serial correlation)。 。
1
§1
序列相关理论
如果线性回归方程的扰动项u 满足古典回归假设， 如果线性回归方程的扰动项 t 满足古典回归假设 ， 使用OLS所得到的估计量是线性无偏最优的。 所得到的估计量是线性无偏最优的。 使用 所得到的估计量是线性无偏最优的 但是如果扰动项u 不满足古典回归假设， 但是如果扰动项 t不满足古典回归假设，回归方程的 估计结果会发生怎样的变化呢？ 理论与实践均证明 ， 扰 估计结果会发生怎样的变化呢 ？ 理论与实践均证明， 动项u 关于任何一条古典回归假设的违背， 动项 t关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归 方程的估计结果不再具有上述的良好性质。 因此， 方程的估计结果不再具有上述的良好性质 。 因此 ， 必须 建立相关的理论， 建立相关的理论 ， 解决扰动项不满足古典回归假设所带 来的模型估计问题。 来的模型估计问题。
3
§1.2
序列相关的检验方法
EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。 但 提供了检测序列相关和估计方法的工具。 提供了检测序列相关和估计方法的工具 首先必须排除虚假序列相关。 首先必须排除虚假序列相关 。 虚假序列相关是指模型的 序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。 例如， 序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的 。 例如， 在生产函数模型中， 在生产函数模型中 ， 如果省略了资本这个重要的解释变 资本对产出的影响就被归入随机误差项。 量 ， 资本对产出的影响就被归入随机误差项 。 由于资本 在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性， 在时间上的连续性 ， 以及对产出影响的连续性 ， 必然导 致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下， 致随机误差项的序列相关 。 所以在这种情况下 ， 要把显 著的变量引入到解释变量中。 著的变量引入到解释变量中。
(1.9)
这是对原始回归因子Xt 和直到 阶的滞后残差的回归。 阶的滞后残差的回归。 这是对原始回归因子 和直到p阶的滞后残差的回归 LM检验通常给出两个统计量：F统计量和T×R2统计量。F LM检验通常给出两个统计量 检验通常给出两个统计量： 统计量和T 统计量。 统计量是对式（ ）所有滞后残差联合显著性的一种检验。 统计量是对式（1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检验。 T×R2统计量是 × 统计量是LM检验统计量，是观测值个数 乘以回归 检验统计量， 检验统计量 是观测值个数T乘以回归 方程（ ） 一般情况下， × 方程（1.9）的R2。一般情况下，T×R2统计量服从渐进的χ
ln( inv t ) = β 1 rt −1 + β 2 ln( gnp t ) + u t
t = 1, 2, …, T
11
应用最小二乘法得到的估计方程如下： 应用最小二乘法得到的估计方程如下：
ˆ ln( inv t ) = − 0 . 016 rt −1 + 0 . 734 ln( gnp t ) + u t
9
在EViews软件中的操作方法： EViews软件中的操作方法 软件中的操作方法：
在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogram在方程工具栏选择 Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数 。 将显示残差的自相关和偏自相关函数 以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果残 统计量。 以及对应于高阶序列相关的 统计量 差不存在序列相关， 差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都 接近于零。所有的Q 统计量不显著，并且有大的P 接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。
u t = ρ u t −1 + ε t
(1.6)
D_W统计量检验的原假设：ρ = 0，备选假设是 ρ ≠ 0。 统计量检验的原假设： 统计量检验的原假设
D .W . =
∑
T
t=2
ˆ ˆ ( u t − u t −1 ) 2
∑
T
ˆ ≈ 2 (1 − ρ )
5
t =1
ˆ u t2
Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足 Dubin-Waston 统计量检验序列相关有三个主要不足 ： 统计量检验序列相关有三个主要不足： 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵 。 ． 统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵 2． 回归方程右边如果存在滞后因变量 ， D-W检验不 ． 回归方程右边如果存在滞后因变量， 检验不 再有效。 再有效。 3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。 ．仅仅检验是否存在一阶序列相关。 其他两种检验序列相关方法： 统计量和 统计量和Breush其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和 Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。 检验克服了上述不足， 检验克服了上述不足 应用于大多数场合。
t =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.94
12
Leabharlann Baidu
选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果： 会产生如下结果： 选择 会产生如下结果
虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如 果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显 果自相关值在这个区域内，则在显著水平为 的情形下与零没有显 著区别。 著区别。 本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1 本例 阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在 阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线 阶序列相关。 阶滞后的 统计量的P值很小 拒绝原假设， 阶滞后的Q-统计量的 值很小， 阶序列相关。1阶滞后的 统计量的 值很小，拒绝原假设，残差序列 存在一阶序列相关。 存在一阶序列相关。
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例1: 利用相关图检验残差序列的相关性 考虑美国的一个投资方程。美国的 考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总 和国内私人总 投资INV是单位为 亿美元的名义值，价格指数 为GNP的 是单位为10亿美元的名义值 投资 是单位为 亿美元的名义值，价格指数P为 的 平减指数（ ），利息率 为半年期商业票据利息。 平减指数（1972=100），利息率 为半年期商业票据利息。 ），利息率R为半年期商业票据利息 回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是 和实际投资； 回归方程所采用的变量都是实际 和实际投资 通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp， 通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母 ， inv表示。实际利息率的近似值 则是通过贴现率 减去价格 表示。 则是通过贴现率R减去价格 表示 实际利息率的近似值r则是通过贴现率 指数变化率p得到的 样本区间： 得到的。 指数变化率 得到的。样本区间：1963年～1984年，建立如 年 年 下线性回归方程： 下线性回归方程：
4
EViews提供了以下 种检测序列相关的方法。 提供了以下3种检测序列相关的方法 提供了以下 种检测序列相关的方法。 1．D_W统计量检验 D_W统计量检验 Durbin-Watson 统计量（简称 统计量（简称D_W统计量）用于检 统计量） 统计量 验一阶序列相关， 验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联 系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程： 对于扰动项 建立一阶自回归方程：
Q LB = T (T + 2 )∑
p
r j2 T− j
(1.7)
j =1
其中： 阶自相关系数， 其中：rj是残差序列的 j 阶自相关系数，T是观测值的个 阶滞后的Q-统计量的 数，p是设定的滞后阶数 。p阶滞后的 统计量的原假设 阶滞后的 统计量的原假设 是：序列不存在p阶自相关；备选假设为：序列存在p阶自 序列不存在p阶自相关；备选假设为：序列存在p 相关。 相关。
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2 . 相关图和Q -统计量 相关图和Q
1. 自相关系数 滞后k阶的自相关系数由下式估计 时间序列ut滞后 阶的自相关系数由下式估计
rk
其中
∑ =
T
t = k +1
(u t − u )(u t − k T 2 ∑ t =1 (u t − u )
−u)
（2.26） ）
是序列的样本均值， 期值的相关系数。 u 是序列的样本均值，这是相距k期值的相关系数。称 的自相关系数， rk为时间序列ut的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画 一个随机过程的性质。 一个随机过程的性质。它告诉我们在序列ut的邻近数据之间 存在多大程度的相关性。 存在多大程度的相关性。
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2．偏自相关系数 偏自相关系数是指在给定u 的条件下， 偏自相关系数是指在给定 t-1， ut-2， …，ut-k-1的条件下 ， ， ut与ut-k之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数ϕk,k 之间的条件相关性。 度量。 度量。在k阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下 阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下
ϕ k ,k
r1 = r − k −1 ϕ ∑ j =1 k −1, j rk − j k 1 − ∑ k −1 ϕ k −1, j rk − j j =1
k =1
k >1
（2.27） ）
其中： 是在k阶滞后时的自相关系数估计值 阶滞后时的自相关系数估计值。 其中：rk 是在 阶滞后时的自相关系数估计值。
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3 . 序列相关的LM检验 序列相关的LM检验
与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关 统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关 不同， 检验（ 不同，Breush-Godfrey LM检验（Lagrange multiplier， 检验 ， 即拉格朗日乘数检验） 即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残 差序列是否存在高阶自相关， 差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后 因变量的情况下， 检验仍然有效 检验仍然有效。 因变量的情况下，LM检验仍然有效。 LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关， LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关， 检验原假设为 p为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶自相关。 为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶自相关。 检验统计量由如下辅助回归计算。 检验统计量由如下辅助回归计算。
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（1）估计回归方程，并求出残差 t ）估计回归方程，并求出残差e
e t = y t − βˆ 0 − βˆ 1 x 1 t − βˆ 2 x 2 t − L − βˆ k x kt
（2）检验统计量可以基于如下回归得到 ）
(1.8)
e t = X t γ + α 1 e t −1 + L + α p e t − p + v t