线代1-2-工程数学精品PPT课件

交换s、t两行： rs rt 交换s、t两列： cs ct
推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。 证明： 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D＝0
性质3：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素， 等于用数 k 乘此行列式。
推论： 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面
1 j1
sjs
tjt
njn
（1）
因为
a1 j1 asjs atjt anjn a1 j1 atjt asjs anj（n 2）
显然这是 D1 中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且
（2）式右端的n个元素是按它们在 D1 中所处的行标为自然顺序
排好的。因此
(1) a a a a ( j1 jt js jn )
交换s、t 两行，得
at1 at 2 atn
a11 a12 a1n
an1 an2 ann
at1 at 2 atn s行
D1
as1 as2 asn t行
Fra Baidu bibliotek
an1 an2 ann
由行列式定义可知，D中任一项可以写成
(1) a a a a ( j1 js jt jn )
D1
at1
at 2
atn
an1 a11 a12 a1n
an2 a11
ann
a12 a1n
as1 as2 asn
kat1 kat 2 katn
D0 D
at1 at 2 atn
at1 at 2 atn
an1 an2 ann
an1 an2 ann
利用行列式性质计算： 目标
a12
a1n
a22
a2n
(1)t p1 p2
a a pn 1 p1 2 p2
anpn
an1 an2
ann
行列式的性质与计算
性质1： 行列式与它的转置行列式相等。
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
a11 a21 an1
DT
a12
a22
an2
a1n a2n ann
课前复习
D a11 a21
a11 D a21
a31 a11 D a21
a12 a22
a11a22 a12a21 .
a12 a22
a13 a23
a a a 11 22 33 a a a 12 23 31 a a a 13 21 32
a32 a33
a a a 13 22 31 a a a 11 23 32 a a a 12 21 33
1 j1 2 j2
njn
j1 j2 jn
(1) a a a ( j1 j2 jn )
j1 1 j2 2
jnn
D
j1 j2 jn
说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。
性质2： 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
证明： a11 a12 a1n
as1 as2 asn 设 D
记法
第s行乘以k： krs
第s列乘以k: kcs
a11 a12 a1n
a11
a12 a1n
k as1 as2 asn kas1 kas2 kasn
an1 an2 ann
an1
an2 ann
推论： 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。
性质4：
a11
a12
a1n
b1 c1 b2 c2 bn cn
d abcd 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
注： 上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法， 要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次 运算是作用在前一次运算结果上。
例如：
ab
ac bd
ac bd
c d r1 r2 c
d r2 r1 a b
a c
b r2 r1 a
1 j1
tjt
sjs
njn
是 中的一项。
（3）
因为，排列 j1 js jt jn 与排列 j1 jt js jn 的
奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明
了D的任一项的反号是 D1 中的项，同样可以证明 D1 中的
任一项的反号也是D中的项。 因此，D＝－D
记法 行列式的第s行： rs 行列式的第s列： cs
称为D的转置行列式
证明：
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
b11 b12 b1n
设
DT
b21
b22
b2n
bn1 bn2 bnn
则 bij a ji (i, j 1,2,, n)
由行列式定义
DT
(1) b b b ( j1 j2 jn )
记法 证明：
数k乘第 t 行加到第 s 行上： rs krt
(cs kct )
a11 a12 a1n
as1 as2 asn D
at1 at 2 atn
作 rs krt
an1 an2 ann
得
a11
a12
a1n
as1 kat1 as2 kat 2 asn katn
d
ca
b
c
d b r1 r2 c a
d d b
一、余子式与代数余子式
在 阶n行列式中，把元素 所a在ij 的第 行和i 第 列 j
化为三角形行列式
1 1 1 2 1 1 4 1 例1： 计算 D
2 4 6 1 1 2 42
3 1 1 2 5 1 3 4 例2： 计算 D
2 0 1 1 1 5 3 3
例3： 计算
3111 1311 D 1131 1113
例4： 计算
a
a D
a
a
b ab 2a b 3a b
c abc 3a 2b c 6a 3b c
a21
a22
b2 c2
a2n
＝
an1 an2 bn cn ann
a11 a12 b1 a1n
a11 a12 c1 a1n
a21
a22
b2
a2n
a21
a22
c2
a2n
an1 an2 bn ann
an1 an2 cn ann
性质5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
b1
b2 bn
＋ c1 c2 cn
an1 an2 ann
an1 an2 ann
即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。
a11 a12 b1 c1 a1n